En matemáticas y física , un solitón es un paquete de ondas localizado, no lineal, que se refuerza a sí mismo y que es fuertemente estable , en el sentido de que conserva su forma mientras se propaga libremente, a velocidad constante, y la recupera incluso después de colisiones con otros paquetes de ondas localizados similares. Su notable estabilidad se debe a una cancelación equilibrada de los efectos no lineales y dispersivos en el medio. (Los efectos dispersivos son una propiedad de ciertos sistemas donde la velocidad de una onda depende de su frecuencia). Posteriormente se descubrió que los solitones proporcionaban soluciones estables de una amplia clase de ecuaciones diferenciales parciales dispersivas débilmente no lineales que describen sistemas físicos.
El fenómeno del solitón fue descrito por primera vez en 1834 por John Scott Russell (1808-1882), quien observó una ola solitaria en el Union Canal en Escocia. Reprodujo el fenómeno en un tanque de olas y lo llamó " Ola de Traslación ". El término solitón fue acuñado por Zabusky y Kruskal para describir soluciones de propagación localizadas y fuertemente estables de la ecuación de Korteweg-de Vries , que modela ondas del tipo visto por Russell. El nombre pretendía caracterizar la naturaleza solitaria de las ondas, con el sufijo 'on' recordando el uso de partículas como electrones , bariones o hadrones , reflejando su comportamiento observado como partícula . [1]
Es difícil encontrar una definición única y consensuada de solitón. Drazin y Johnson (1989, p. 15) atribuyen tres propiedades a los solitones:
Existen definiciones más formales, pero requieren matemáticas sustanciales. Además, algunos científicos utilizan el término solitón para fenómenos que no tienen estas tres propiedades (por ejemplo, las ' balas de luz ' de la óptica no lineal a menudo se denominan solitones a pesar de perder energía durante la interacción). [2]
La dispersión y la no linealidad pueden interactuar para producir formas de onda permanentes y localizadas . Considere un pulso de luz que viaja a través de un vidrio. Se puede considerar que este pulso está formado por luz de varias frecuencias diferentes. Dado que el vidrio muestra dispersión, estas diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades y, por lo tanto, la forma del pulso cambia con el tiempo. Sin embargo, también se produce el efecto Kerr no lineal ; El índice de refracción de un material a una frecuencia determinada depende de la amplitud o intensidad de la luz. Si el pulso tiene la forma correcta, el efecto Kerr cancela exactamente el efecto de dispersión y la forma del pulso no cambia con el tiempo. Por tanto, el pulso es un solitón. Consulte solitón (óptica) para obtener una descripción más detallada.
Muchos modelos que se pueden resolver exactamente tienen soluciones de solitones, incluida la ecuación de Korteweg-de Vries , la ecuación de Schrödinger no lineal , la ecuación de Schrödinger no lineal acoplada y la ecuación del seno-Gordon . Las soluciones de solitones se obtienen normalmente mediante la transformada de dispersión inversa y deben su estabilidad a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. La teoría matemática de estas ecuaciones es un campo amplio y muy activo de investigación matemática.
Algunos tipos de mareas , un fenómeno ondulatorio de algunos ríos, incluido el río Severn , son "undulares": un frente de onda seguido por un tren de solitones. Otros solitones ocurren como ondas internas submarinas , iniciadas por la topografía del fondo marino , que se propagan en la picnoclina oceánica . También existen solitones atmosféricos, como la nube campanilla del Golfo de Carpentaria , donde los solitones de presión que viajan en una capa de inversión de temperatura producen vastas nubes enrolladas lineales . El reciente y no ampliamente aceptado modelo de solitones en neurociencia propone explicar la conducción de señales dentro de las neuronas como solitones de presión.
Un solitón topológico , también llamado defecto topológico, es cualquier solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que sea estable frente a la desintegración a la "solución trivial". La estabilidad del solitón se debe a restricciones topológicas, más que a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. Las restricciones surgen casi siempre porque las ecuaciones diferenciales deben obedecer a un conjunto de condiciones de frontera , y la frontera tiene un grupo de homotopía no trivial , preservado por las ecuaciones diferenciales. Por tanto, las soluciones de ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en clases de homotopía .
Ninguna transformación continua asigna una solución en una clase de homotopía a otra. Las soluciones son verdaderamente distintas y mantienen su integridad, incluso frente a fuerzas extremadamente poderosas. Ejemplos de solitones topológicos incluyen la dislocación del tornillo en una red cristalina , la cuerda de Dirac y el monopolo magnético en electromagnetismo , el Skyrmion y el modelo de Wess-Zumino-Witten en la teoría cuántica de campos , el skyrmion magnético en la física de la materia condensada y las cuerdas cósmicas y Muros de dominio en cosmología .
En 1834, John Scott Russell describe su ola de traducción . [nb 1] El descubrimiento se describe aquí en las propias palabras de Scott Russell: [nb 2]
Estaba observando el movimiento de un barco que era arrastrado rápidamente a lo largo de un canal estrecho por un par de caballos, cuando el barco se detuvo de repente; no así la masa de agua en el canal que había puesto en movimiento; se acumuló alrededor de la proa del barco en un estado de violenta agitación, luego, dejándola atrás repentinamente, rodó hacia adelante con gran velocidad, tomando la forma de una gran elevación solitaria, un montón de agua redondeado, liso y bien definido, que continuaba su curso a lo largo del canal aparentemente sin cambio de forma ni disminución de velocidad. Lo seguí a caballo y lo alcancé rodando todavía a una velocidad de ocho o nueve millas por hora, conservando su figura original, unos treinta pies de largo y de un pie a pie y medio de alto. Su altura disminuyó gradualmente y después de una persecución de una o dos millas lo perdí en las curvas del canal. Ésta fue, en el mes de agosto de 1834, mi primera entrevista casual con ese singular y hermoso fenómeno que he llamado Ola de Traducción. [3]
Scott Russell dedicó algún tiempo a realizar investigaciones prácticas y teóricas de estas ondas. Construyó tanques de olas en su casa y notó algunas propiedades clave:
El trabajo experimental de Scott Russell parecía estar en desacuerdo con las teorías de la hidrodinámica de Isaac Newton y Daniel Bernoulli . George Biddell Airy y George Gabriel Stokes tuvieron dificultades para aceptar las observaciones experimentales de Scott Russell porque no podían explicarse mediante las teorías existentes sobre las ondas de agua. Henry Bazin informó sobre observaciones adicionales en 1862 después de experimentos realizados en el canal de Borgoña en Francia. [4] Sus contemporáneos dedicaron algún tiempo a intentar ampliar la teoría, pero sería necesario hasta la década de 1870 antes de que Joseph Boussinesq [5] y Lord Rayleigh publicaran un tratamiento teórico y soluciones. [nb 3] En 1895, Diederik Korteweg y Gustav de Vries proporcionaron lo que ahora se conoce como la ecuación de Korteweg-de Vries , que incluye soluciones de ondas solitarias y ondas cnoidales periódicas . [6] [nota 4]
En 1965, Norman Zabusky de Bell Labs y Martin Kruskal de la Universidad de Princeton demostraron por primera vez el comportamiento de un solitón en medios sujetos a la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV) en una investigación computacional utilizando un enfoque de diferencias finitas . También mostraron cómo este comportamiento explicaba los desconcertantes trabajos anteriores de Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou . [1]
En 1967, Gardner, Greene, Kruskal y Miura descubrieron una transformada de dispersión inversa que permitía la solución analítica de la ecuación de KdV. [8] El trabajo de Peter Lax sobre los pares de Lax y la ecuación de Lax desde entonces lo ha extendido a la solución de muchos sistemas generadores de solitones relacionados.
Tenga en cuenta que los solitones, por definición, no modifican su forma ni su velocidad por una colisión con otros solitones. [9] Entonces, las ondas solitarias en una superficie de agua son casi -solitones, pero no exactamente: después de la interacción de dos ondas solitarias (que chocan o se adelantan), han cambiado un poco en amplitud y queda un residuo oscilatorio. [10]
Los solitones también se estudian en la mecánica cuántica, gracias a que pudieron proporcionar una nueva base a la misma a través del programa inacabado de De Broglie , conocido como "Teoría de la doble solución" o "Mecánica ondulatoria no lineal". Esta teoría, desarrollada por De Broglie en 1927 y revivida en la década de 1950, es la continuación natural de sus ideas desarrolladas entre 1923 y 1926, que extendieron la dualidad onda-partícula introducida por Albert Einstein para los cuantos de luz , a todas las partículas de materia. . La observación del solitón de onda de agua de gravedad superficial acelerada utilizando un potencial lineal hidrodinámico externo se demostró en 2019. Este experimento también demostró la capacidad de excitar y medir las fases de solitones balísticos. [11]
Se han realizado muchos experimentos utilizando solitones en aplicaciones de fibra óptica. Los solitones en un sistema de fibra óptica se describen mediante las ecuaciones de Manakov . La estabilidad inherente de los solitones hace posible la transmisión a larga distancia sin el uso de repetidores y también podría duplicar la capacidad de transmisión. [12]
Los solitones pueden aparecer en proteínas [16] y ADN. [17] Los solitones están relacionados con el movimiento colectivo de baja frecuencia en las proteínas y el ADN. [18]
Un modelo desarrollado recientemente en neurociencia propone que las señales, en forma de ondas de densidad, se conducen dentro de las neuronas en forma de solitones. [19] [20] [21] Los solitones pueden describirse como una transferencia de energía casi sin pérdidas en cadenas o redes biomoleculares como propagaciones ondulatorias de perturbaciones conformacionales y electrónicas acopladas. [22]
Los solitones pueden aparecer en materiales, como los ferroeléctricos , en forma de paredes de dominio. Los materiales ferroeléctricos exhiben polarización espontánea o dipolos eléctricos, que están acoplados a configuraciones de la estructura del material. Dentro de un solo material pueden estar presentes dominios de polarizaciones de polos opuestos, ya que las configuraciones estructurales correspondientes a las polarizaciones opuestas son igualmente favorables sin la presencia de fuerzas externas. Los límites de dominio, o "muros", que separan estas configuraciones estructurales locales son regiones de dislocaciones reticulares . [23] Las paredes del dominio pueden propagarse a medida que las polarizaciones y, por lo tanto, las configuraciones estructurales locales pueden cambiar dentro de un dominio con fuerzas aplicadas como polarización eléctrica o tensión mecánica. En consecuencia, las paredes del dominio pueden describirse como solitones, regiones discretas de dislocaciones que pueden deslizarse o propagarse y mantener su forma en ancho y largo. [24] [25] [26]
En la literatura reciente, se ha observado ferroelectricidad en bicapas retorcidas de materiales de van der Waal como el disulfuro de molibdeno y el grafeno . [23] [27] [28] La superred muaré que surge del ángulo de torsión relativo entre las monocapas de van der Waal genera regiones de diferentes órdenes de apilamiento de los átomos dentro de las capas. Estas regiones exhiben simetría de inversión rompiendo configuraciones estructurales que permiten la ferroelectricidad en la interfaz de estas monocapas. Las paredes de dominio que separan estas regiones están compuestas de dislocaciones parciales donde la red experimenta diferentes tipos de tensiones y, por tanto, deformaciones. Se ha observado que la propagación de la pared del solitón o del dominio a lo largo de una longitud moderada de la muestra (del orden de nanómetros a micrómetros) puede iniciarse aplicando tensión desde una punta de AFM en una región fija. La propagación del solitón conlleva la perturbación mecánica con poca pérdida de energía a través del material, lo que permite el cambio de dominio en forma de dominó. [25]
También se ha observado que el tipo de dislocaciones encontradas en las paredes puede afectar parámetros de propagación como la dirección. Por ejemplo, las mediciones STM mostraron cuatro tipos de deformaciones de diversos grados de corte, compresión y tensión en las paredes del dominio dependiendo del tipo de orden de apilamiento localizado en el grafeno bicapa retorcido. Se logran diferentes direcciones de deslizamiento de las paredes con diferentes tipos de deformaciones encontradas en los dominios, lo que influye en la dirección de propagación de la red de solitones. [25]
Las no idealidades, como las interrupciones en la red de solitones y las impurezas de la superficie, también pueden influir en la propagación de los solitones. Las paredes de dominio pueden encontrarse en los nodos y quedar fijadas de manera efectiva, formando dominios triangulares, que se han observado fácilmente en varios sistemas bicapa ferroeléctricos retorcidos. [23] Además, los bucles cerrados de las paredes de los dominios que encierran múltiples dominios de polarización pueden inhibir la propagación del solitón y, por tanto, el cambio de polarizaciones a través de él. [25] Además, las paredes del dominio pueden propagarse y encontrarse en arrugas e irregularidades superficiales dentro de las capas de van der Waal, que pueden actuar como obstáculos que obstruyen la propagación. [25]
En los imanes también existen diferentes tipos de solitones y otras ondas no lineales. [29] Estos solitones magnéticos son una solución exacta de ecuaciones diferenciales no lineales clásicas: ecuaciones magnéticas, por ejemplo, la ecuación de Landau-Lifshitz , el modelo continuo de Heisenberg , la ecuación de Ishimori , la ecuación no lineal de Schrödinger y otras.
Los núcleos atómicos pueden exhibir un comportamiento solitónico. [30] Aquí se predice que toda la función de onda nuclear existirá como un solitón bajo ciertas condiciones de temperatura y energía. Se sugiere que existen tales condiciones en los núcleos de algunas estrellas en las que los núcleos no reaccionarían sino que pasarían entre sí sin cambios, reteniendo sus ondas de solitón a través de una colisión entre núcleos.
El modelo Skyrme es un modelo de núcleos en el que cada núcleo se considera una solución solitón topológicamente estable de una teoría de campo con número bariónico conservado.
El estado ligado de dos solitones se conoce como bión , [31] [32] [33] [34] o en sistemas donde el estado ligado oscila periódicamente, un respiro . Las fuerzas de tipo interferencia entre solitones podrían usarse para formar biones. [35] Sin embargo, estas fuerzas son muy sensibles a sus fases relativas. Alternativamente, el estado unido de los solitones podría formarse revistiendo átomos con niveles de Rydberg altamente excitados. [34] El perfil de potencial autogenerado resultante [34] presenta un núcleo blando atractivo interno que soporta el solitón autoatrapado en 3D, una capa repulsiva intermedia (barrera) que previene la fusión de los solitones y una capa atractiva externa (pozo) utilizada para completando el estado unido dando como resultado moléculas de solitón gigantes estables. En este esquema, la distancia y el tamaño de los solitones individuales en la molécula se pueden controlar dinámicamente con el ajuste del láser.
En la teoría de campos , bion suele referirse a la solución del modelo de Born-Infeld . El nombre parece haber sido acuñado por GW Gibbons para distinguir esta solución del solitón convencional, entendido como una solución regular , de energía finita (y generalmente estable) de una ecuación diferencial que describe algún sistema físico. [36] La palabra regular significa una solución fluida que no conlleva ninguna fuente. Sin embargo, la solución del modelo de Born-Infeld todavía conlleva una fuente en forma de función delta de Dirac en el origen. Como consecuencia muestra una singularidad en este punto (aunque el campo eléctrico es regular en todas partes). En algunos contextos físicos (por ejemplo, la teoría de cuerdas) esta característica puede ser importante, lo que motivó la introducción de un nombre especial para esta clase de solitones.
Por otro lado, cuando se suma la gravedad (es decir, al considerar el acoplamiento del modelo de Born-Infeld a la relatividad general), la solución correspondiente se llama EBIon , donde "E" significa Einstein.
Erik Lentz, físico de la Universidad de Göttingen, ha teorizado que los solitones podrían permitir la generación de burbujas de deformación de Alcubierre en el espacio-tiempo sin necesidad de materia exótica, es decir, materia con masa negativa. [37]
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