Transformada de dispersión inversa

En matemáticas , la transformada de dispersión inversa es un método que resuelve el problema del valor inicial de una ecuación diferencial parcial no lineal utilizando métodos matemáticos relacionados con la dispersión de ondas . ^[1]^{: 4960} La transformada de dispersión directa describe cómo una función dispersa ondas o genera estados límite . ^[2]^{: 39–43} La transformada de dispersión inversa utiliza datos de dispersión de ondas para construir la función responsable de la dispersión de ondas. ^[2]^{: 66–67} Las transformadas de dispersión directa e inversa son análogas a las transformadas de Fourier directa e inversa que se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales . ^[2]^{: 66–67}

Usando un par de operadores diferenciales , un algoritmo de 3 pasos puede resolver ecuaciones diferenciales no lineales ; la solución inicial se transforma en datos dispersos (transformación de dispersión directa), los datos dispersos evolucionan hacia adelante en el tiempo (evolución temporal) y los datos dispersos reconstruyen la solución hacia adelante en el tiempo (transformación de dispersión inversa). ^[2]^{: 66–67}

Este algoritmo simplifica la resolución de una ecuación diferencial parcial no lineal para resolver 2 ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y una ecuación integral ordinaria , un método que en última instancia conduce a soluciones analíticas para muchas ecuaciones diferenciales parciales no lineales que de otro modo serían difíciles de resolver. ^[2]^{: 72}

Historia

La transformación de dispersión inversa surgió del estudio de ondas solitarias. JS Russell describió una "ola de traslación" u "ola solitaria" que se produce en aguas poco profundas. ^[3] Primero JV Boussinesq y posteriormente D. Korteweg y G. deVries descubrieron la ecuación de Korteweg-deVries (KdV) , una ecuación diferencial parcial no lineal que describe estas ondas. ^[3] Más tarde, N. Zabusky y M. Kruskal, utilizando métodos numéricos para investigar el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou , descubrieron que las ondas solitarias tenían las propiedades elásticas de las partículas en colisión; Las amplitudes y velocidades iniciales y finales de las ondas permanecieron sin cambios después de las colisiones de olas. ^[3] Estas ondas parecidas a partículas se llaman solitones y surgen en ecuaciones no lineales debido a un débil equilibrio entre los efectos dispersivos y no lineales. ^[3]

Gardner, Greene, Kruskal y Miura introdujeron la transformada de dispersión inversa para resolver la ecuación de Korteweg-de Vries . ^[4] Lax, Ablowitz, Kaup, Newell y Segur generalizaron este enfoque que llevó a resolver otras ecuaciones no lineales, incluida la ecuación no lineal de Schrödinger , la ecuación seno-Gordon , la ecuación modificada de Korteweg-De Vries , la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , la ecuación de Ishimori , Toda la ecuación reticular y la ecuación de Dym . ^[3]^[5]^[6] Este enfoque también se ha aplicado a diferentes tipos de ecuaciones no lineales, incluidas ecuaciones en diferencias diferenciales, diferencias parciales, multidimensionales y sistemas no lineales integrables fraccionarios. ^[3]

Descripción

Ecuación diferencial parcial no lineal

Las variables independientes son una variable espacial y una variable temporal . Los subíndices u operadores diferenciales ( ) indican diferenciación. La función es una solución de una ecuación diferencial parcial no lineal, con condición inicial (valor) . ^[2]^{: 72} $x$ $t$ ${\textstyle \partial _ {x}, \partial _ {t}}$ $u(x,t)$ ${\estilo de texto u_ {t}+N(u)=0}$ ${\estilo de texto u(x,0)}$

Requisitos

La solución de la ecuación diferencial cumple las condiciones de integrabilidad y Fadeev: ^[2]^{: 40}

Condición de integrabilidad:

\int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty

Condición de Fadeev:

\int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty

Par de operadores diferenciales

Los operadores diferenciales de Lax , y , son operadores diferenciales ordinarios lineales con coeficientes que pueden contener la función o sus derivadas. El operador autoadjunto tiene una derivada del tiempo y genera una ecuación de valores propios (espectrales) con funciones propias y valores propios constantes en el tiempo ( parámetros espectrales ) . ^[1]^{: 4963}^[2]^{: 98} ${\estilo de texto L}$ ${\estilo de texto M}$ ${\estilo de texto u(x,t)}$ ${\estilo de texto L}$ ${\estilo de texto L_ {t}}$ ${\estilo de texto \psi }$ ${\estilo de texto \lambda }$

L(\psi )=\lambda \psi ,\

{\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}

El operador describe cómo evolucionan las funciones propias con el tiempo y genera una nueva función propia del operador a partir de la función propia de . ^[1]^{: 4963} ${\estilo de texto M}$ ${\textstyle \psi ^{\prime }}$ ${\estilo de texto L}$ ${\estilo de texto \psi }$ ${\estilo de texto L}$

\psi ^{\prime }=\psi _ {t}-M(\psi )\

Los operadores Lax se combinan para formar un operador multiplicativo, no un operador diferencial, de las funciones propias . ^[1]^{: 4963} ${\estilo de texto \psi }$

(L_{t}+LM-ML)\psi =0

Los operadores Lax se eligen para hacer que el operador multiplicativo sea igual a la ecuación diferencial no lineal. ^[1]^{: 4963}

L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0

Los operadores diferenciales AKNS , desarrollados por Ablowitz, Kaup, Newell y Segur, son una alternativa a los operadores diferenciales Lax y consiguen un resultado similar. ^[1]^{: 4964}^[7]^[8]

Transformación de dispersión directa

La transformación de dispersión directa genera datos de dispersión iniciales; esto puede incluir los coeficientes de reflexión, el coeficiente de transmisión, los datos de valores propios y las constantes de normalización de las soluciones de funciones propias para esta ecuación diferencial. ^[2]^{: 39–48}

L(\psi )=\lambda \psi

Evolución del tiempo de datos de dispersión

Las ecuaciones que describen cómo evolucionan los datos de dispersión a lo largo del tiempo ocurren como soluciones a una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con respecto al tiempo. Utilizando distintos enfoques, esta ecuación diferencial lineal de primer orden puede surgir de los operadores diferenciales lineales (par Lax, par AKNS), una combinación de los operadores diferenciales lineales y la ecuación diferencial no lineal, o mediante operaciones adicionales de sustitución, integración o diferenciación. Las ecuaciones espacialmente asintóticas ( ) simplifican la resolución de estas ecuaciones diferenciales. ^[1]^{: 4967–4968}^[2]^{: 68–72}^[4] ${\textstyle x\to \pm \infty }$

Transformada de dispersión inversa

La ecuación de Marchenko combina los datos de dispersión en una ecuación integral lineal de Fredholm . La solución de esta ecuación integral conduce a la solución, u(x,t), de la ecuación diferencial no lineal. ^[2]^{: 48–57}

Ejemplo: ecuación de Korteweg-De Vries

La ecuación diferencial no lineal de Korteweg-De Vries es ^[9]^{: 4}

u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

Operadores laxos

Los operadores Lax son: ^[2]^{: 97–102}

L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\

{\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}

El operador multiplicativo es:

L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

Transformación de dispersión directa

Las soluciones a esta ecuación diferencial.

{\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }

puede incluir soluciones de dispersión con un rango continuo de valores propios ( espectro continuo ) y soluciones de estado ligado con valores propios discretos ( espectro discreto ). Los datos de dispersión incluyen coeficientes de transmisión , coeficiente de reflexión izquierdo , coeficiente de reflexión derecho , valores propios discretos y constantes de normalización (normas) de estado límite izquierdo y derecho . ^[1]^{: 4960} ${\textstyle T(k,0)}$ ${\textstyle R_{L}(k,0)}$ ${\textstyle R_{R}(k,0)}$ ${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$

c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N

c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N

Evolución del tiempo de datos de dispersión

Las funciones de Jost espacialmente asintóticas izquierda y derecha simplifican este paso. ^[1]^{: 4965–4966} ${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$ ${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$

{\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}

Las constantes de dependencia relacionan las funciones Jost derecha e izquierda y las constantes de normalización derecha e izquierda. ^[1]^{: 4965–4966} ${\textstyle \gamma _{j}(t)}$

\gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}

El operador diferencial de Lax genera una función propia que puede expresarse como una combinación lineal dependiente del tiempo de otras funciones propias. ^[1]^{: 4967} ${\textstyle M}$

\partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)

\partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)

Las soluciones a estas ecuaciones diferenciales, determinadas utilizando funciones de Jost espacialmente asintóticas de estado límite y de dispersión, indican un coeficiente de transmisión constante en el tiempo , pero coeficientes de reflexión y coeficientes de normalización dependientes del tiempo. ^[1]^{: 4967–4968} ${\textstyle T(k,t)}$

{\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}

Transformada de dispersión inversa

El núcleo de Marchenko es . ^[1]^{: 4968–4969} ${\textstyle F(x,t)}$

F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}

La ecuación integral de Marchenko es una ecuación integral lineal resuelta para . ^[1]^{: 4968–4969} ${\textstyle K(x,y,t)}$

K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0

La solución de la ecuación de Marchenko , genera la solución de la ecuación diferencial parcial no lineal. ^[1]^{: 4969} ${\textstyle K(x,y,t)}$ ${\textstyle u(x,t)}$

u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}

Ejemplos de ecuaciones integrables

Ver también

Citas

^ abcdefghijklmno Aktosun 2009.
^ abcdefghijkl Drazin y Johnson 1989.
^ abcdef Ablowitz 2023.
^ ab Gardner y col. 1967.
^ Konopelchenko y Dubrowsky 1991.
^ Oono 1996.
^ Ablowitz y col. 1973.
^ Ablowitz y col. 1974.
^ Ablowitz y Segur 1981.

Referencias

Ablowitz, MJ; Kaup, DJ; Newell, CA; Segur, H. (1973). "Método para resolver la ecuación seno-Gordon". Cartas de revisión física . 30 (25): 1262-1264. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1262.

Ablowitz, MJ; Kaup, DJ; Newell, CA; Segur, H. (1974). "La transformada de dispersión inversa: análisis de Fourier para problemas no lineales". Estudios en Matemática Aplicada . 53 : 249–315.

Ablowitz, Mark J.; Segur, Harvey (1981). Solitones y la transformada de dispersión inversa. SIAM. ISBN 978-0-89871-477-7.

Ablowitz, Mark J. (2023). "Ondas no lineales y transformada de dispersión inversa". Optik . 278 : 170710. doi : 10.1016/j.ijleo.2023.170710.

Aktosun, Tuncay (2009). "Transformada de dispersión inversa y la teoría de los solitones". Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas. Saltador. págs. 4960–4971. ISBN 978-0-387-30440-3.

Drazin, PG; Johnson, RS (1989). Solitones: una introducción. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-33655-0.

Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martín D.; Miura, Robert M. (1967). "Método para resolver la ecuación de Korteweg-deVries". Cartas de revisión física . 19 (19): 1095–1097. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1095.

Konopelchenko, BG; Dubrowsky, VG (1991). "Solitones localizados para la ecuación de Ishimori". En Sattinger, David H.; Tracy, California; Venákides, Stephanos (eds.). Dispersión inversa y aplicaciones. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 77–90. ISBN 978-0-8218-5129-6.

Oono, H. (1996). "Solución de N-Soliton de la ecuación de Harry Dym mediante el método de dispersión inversa". En Alfinito, E.; Boiti, M.; Martina, L. (eds.). Física no lineal: teoría y experimento. Compañía editorial científica mundial Pte Limited. págs. 241–248. ISBN 978-981-02-2559-9.

Otras lecturas

Ablowitz, Mark J.; Clarkson, PA (12 de diciembre de 1991). Solitones, ecuaciones de evolución no lineal y dispersión inversa. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-38730-9.

Bullough, RK; Caudrey, PJ (11 de noviembre de 2013). Solitones. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-81448-8.

Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martín D.; Miura, Robert M. (1974), "Ecuación y generalización de Korteweg-deVries. VI. Métodos para la solución exacta", Comm. Pura aplicación. Matemáticas. , 27 : 97–133, doi : 10.1002/cpa.3160270108, SEÑOR 0336122

Gelfand, Izrail Moiseevich (1955). Sobre la determinación de una ecuación diferencial a partir de su función espectral. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 253-304.

Marchenko, Vladimir A. (1986). Operadores y aplicaciones de Sturm-Liouville. Basilea: Birkhäuser.

Shaw, JK (1 de mayo de 2004). Principios matemáticos de la comunicación por fibra óptica. SIAM. ISBN 978-0-89871-556-9.

enlaces externos

"Artículo introductorio a las matemáticas sobre IST" (PDF) . (300 KiB )
Transformada de dispersión inversa y teoría de los solitones