Homogeneización asintótica

En matemáticas y física , la homogeneización es un método para estudiar ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes que oscilan rápidamente, ^{[1] [2] [3]} como

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f}$

donde es un parámetro muy pequeño y es un coeficiente 1-periódico: , . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A\left({\vec {y}}\right)}$ ${\displaystyle A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Resulta que el estudio de estas ecuaciones también es de gran importancia en física e ingeniería, ya que ecuaciones de este tipo gobiernan la física de materiales no homogéneos o heterogéneos. Por supuesto, toda materia es no homogénea en alguna escala, pero con frecuencia es conveniente tratarla como homogénea. Un buen ejemplo es el concepto de continuo que se utiliza en mecánica de medios continuos . Bajo este supuesto, materiales como fluidos , sólidos , etc. pueden tratarse como materiales homogéneos y asociados a estos materiales están las propiedades del material como el módulo de corte , los módulos elásticos , etc.

Con frecuencia, los materiales no homogéneos (como los materiales compuestos ) poseen una microestructura y, por lo tanto, están sujetos a cargas o fuerzas que varían en una escala de longitud que es mucho mayor que la escala de longitud característica de la microestructura. En esta situación, a menudo se puede reemplazar la ecuación anterior con una ecuación de la forma

${\displaystyle \nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f}$

donde es un coeficiente tensorial constante y se conoce como la propiedad efectiva asociada con el material en cuestión. Puede calcularse explícitamente como ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n}$

a partir de funciones 1-periódicas que satisfacen: ${\displaystyle w_{j}}$

${\displaystyle \nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).}$

Este proceso de sustitución de una ecuación con un coeficiente altamente oscilatorio por otra con un coeficiente homogéneo (uniforme) se conoce como homogeneización . Este tema está indisolublemente ligado al de la micromecánica por esta misma razón.

En la homogeneización, una ecuación se reemplaza por otra si es suficientemente pequeña , siempre que se cumpla alguna norma apropiada como . ${\displaystyle u_{\epsilon }\approx u}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle u_{\epsilon }\to u}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

Como resultado de lo anterior, la homogeneización puede considerarse como una extensión del concepto de continuo a los materiales que poseen microestructura. El análogo del elemento diferencial en el concepto de continuo (que contiene suficiente átomo o estructura molecular para ser representativo de ese material) se conoce como el " elemento de volumen representativo " ^[4] en homogeneización y micromecánica. Este elemento contiene suficiente información estadística sobre el medio no homogéneo para ser representativo del material. Por lo tanto, el promedio sobre este elemento proporciona una propiedad efectiva como la anterior. ${\displaystyle A^{*}}$

Los resultados clásicos de la teoría de homogeneización ^{[1] [2] [3]} se obtuvieron para medios con microestructura periódica modelados por ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes periódicos. Estos resultados se generalizaron posteriormente a medios aleatorios espacialmente homogéneos modelados por ecuaciones diferenciales con coeficientes aleatorios cuyas propiedades estadísticas son las mismas en cada punto del espacio. ^{[5] [6]} En la práctica, muchas aplicaciones requieren una forma más general de modelado que no sea periódica ni estadísticamente homogénea. Para este fin, los métodos de la teoría de homogeneización se han extendido a ecuaciones diferenciales parciales, cuyos coeficientes no son periódicos ni estadísticamente homogéneos (los llamados coeficientes arbitrariamente aproximados). ^{[7] [8]}

El método de homogeneización asintótica

La teoría de homogeneización matemática se remonta a las escuelas francesa, rusa e italiana. ^{[1] [2] [3] [9]} El método de homogeneización asintótica procede introduciendo la variable rápida y planteando una expansión formal en : ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,}$

lo que genera una jerarquía de problemas. La ecuación homogeneizada se obtiene y los coeficientes efectivos se determinan resolviendo los llamados "problemas de celda" para la función . ${\displaystyle u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )}$

Véase también

• Análisis asintótico
• Γ-convergencia
• Convergencia de Moscú
• Aproximaciones medias efectivas

Notas

1. Sanchez-Palencia, E. (1980). Medios no homogéneos y teoría de vibraciones . Lecture Notes in Physics. Vol. 127. Springer Verlag. doi :10.1007/3-540-10000-8. ISBN 978-3-540-10000-3.
2. Bakhvalov, N. ; Panasenko, G. (1989). Homogeneización: procesos de promediado en medios periódicos . Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht: Kluwer. doi :10.1007/978-94-009-2247-1. ISBN 978-94-010-7506-0.
3. Bensoussan, A.; Lions, JL ; Papanicolaou, G. (1978). Análisis asintótico para estructuras periódicas . Estudios de matemáticas y sus aplicaciones. Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-85172-0.
4. Ostoja-Starzewski, M. (2007). Aleatoriedad microestructural y escalamiento en materiales . Mecánica y matemáticas modernas. Chapman y Hall/CRC Press. ISBN 9781584884170.
5. Kozlov, SM (1979). "Homogeneización de operadores aleatorios". Mat. Sbornik . 109 (151): 188–202.(Traducción al español: Math. URSS, Sb. 37:2, 1980, págs. 167-180)
6. Papanicolaou, GC; Varadhan, SR (1981). "Problemas de valores de contorno con coeficientes que oscilan rápidamente" (PDF) . Seria Colloq. Math. Society Janos Bolyai . 27. Ámsterdam: 835–873.
7. Berlyand, L. ; Owhadi, H. (noviembre de 2010). "Enfoque de norma de flujo para aproximaciones de homogeneización de dimensión finita con escalas no separadas y alto contraste". Archivo de Mecánica racional y análisis . 198 (2): 677–721. arXiv : 0901.1463 . Código Bibliográfico :2010ArRMA.198..677B. doi :10.1007/s00205-010-0302-1. S2CID  1337370.
8. Målqvist, A.; Peterseim, D. (2014). "Localización de problemas elípticos multiescala". Matemáticas de la computación . 83 (290): 2583–2603. arXiv : 1110.0692 . doi : 10.1090/S0025-5718-2014-02868-8 .
9. Dal Maso, G. (1993). Introducción a la convergencia Γ . Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones. Birkhauser. doi :10.1007/978-1-4612-0327-8. ISBN 9780817636791.

Referencias

• Kozlov, SM; Oleinik, OA ; Zhikov, VV (1994), Homogeneización de operadores diferenciales y funcionales integrales , Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 3-540-54809-2, Zbl0838.35001 ​
• Oleinik, OA ; Shamaev, AS; Yosifian, GA (1991), Problemas matemáticos en elasticidad y homogeneización , Estudios en matemáticas y sus aplicaciones, vol. 26, Ámsterdam - Londres - Nueva York - Tokio : Holanda Septentrional , ISBN 0-444-88441-6, Zbl  0768.73003
• Hornung, Ulrich (Ed.). (1997), Homogeneización y medios porosos , Matemáticas aplicadas interdisciplinarias, vol. 6, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-1920-0, ISBN 978-1-4612-7339-4
• Bakhvalov, NS ; Panasenko, GP (1984), Promedio de procesos en medios periódicos (traducción al inglés: Kluwer, 1989) , Moscú : Nauka , Zbl  0607.73009
• Braides, A.; Defranceschi, A. (1998), Homogeneización de integrales múltiples , Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, Oxford : Clarendon Press , ISBN 978-0-198-50246-3