Γ-convergencia

En el campo del análisis matemático para el cálculo de variaciones , la Γ-convergencia ( Gamma-convergencia ) es un concepto de convergencia para funcionales , introducido por Ennio De Giorgi .

Definición

Sea un espacio topológico y denote el conjunto de todos los vecindarios del punto . Sea además una secuencia de funcionales en . El Γ-límite inferior y el Γ-límite superior se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),}$

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)}$.

${\displaystyle F_{n}}$se dice que -convergen a , si existe un funcional tal que . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}=F}$

Definición en espacios de primer conteo

En espacios de primer orden contable , la definición anterior se puede caracterizar en términos de convergencia secuencial de la siguiente manera. Sea un espacio de primer orden contable y una secuencia de funcionales en . Entonces se dice que convergen al límite si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• Desigualdad de límite inferior: Para cada secuencia tal que como , ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle n\to +\infty }$

${\displaystyle F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).}$

• Desigualdad de límite superior: Para cada , existe una secuencia que converge a tal que ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})}$

La primera condición significa que proporciona un límite inferior común asintótico para . La segunda condición significa que este límite inferior es óptimo. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Relación con la convergencia de Kuratowski

${\displaystyle \Gamma }$-La convergencia está relacionada con la noción de convergencia de conjuntos de Kuratowski . Sea el epígrafe de una función y sea una secuencia de funcionales en . Entonces ${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

donde denota los limes de Kuratowski inferiores y los limes de Kuratowski superiores en la topología del producto de . En particular, -converge a en si y solo si -converge a en . Esta es la razón por la que la -convergencia a veces se denomina epiconvergencia . ${\displaystyle {\text{K-}}\liminf }$ ${\displaystyle {\text{K-}}\limsup }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (F_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ({\text{epi}}(F_{n}))_{n}}$ ${\displaystyle {\text{K}}}$ ${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Propiedades

• Los minimizadores convergen a minimizadores: si -convergen a , y es un minimizador para , entonces cada punto del clúster de la secuencia es un minimizador de . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle \Gamma }$-Los límites son siempre semicontinuos inferiores .
• ${\displaystyle \Gamma }$-La convergencia es estable bajo perturbaciones continuas: si -converge a y es continua, entonces -convergerá a . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G:X\to [0,+\infty )}$ ${\displaystyle F_{n}+G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F+G}$
• Una secuencia constante de funcionales no necesariamente converge a , sino a la relajación de , el funcional semicontinuo inferior más grande por debajo de . ${\displaystyle F_{n}=F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Aplicaciones

Un uso importante de la convergencia es en la teoría de la homogeneización . También se puede utilizar para justificar rigurosamente el paso de teorías discretas a teorías continuas para materiales, por ejemplo, en la teoría de la elasticidad . ${\displaystyle \Gamma }$

Véase también

• Convergencia de Moscú
• Convergencia de Kuratowski
• Epiconvergencia

Referencias

• A. Braides: Γ-convergencia para principiantes . Oxford University Press, 2002.
• G. Dal Maso: Una introducción a la Γ-convergencia . Birkhäuser, Basilea 1993.