Convergencia de Kuratowski

En matemáticas , la convergencia de Kuratowski o convergencia de Painlevé-Kuratowski es una noción de convergencia para subconjuntos de un espacio topológico . Introducido por primera vez por Paul Painlevé en conferencias sobre análisis matemático en 1902, ^[1] el concepto fue popularizado en textos de Felix Hausdorff ^[2] y Kazimierz Kuratowski . ^[3] Intuitivamente, el límite de Kuratowski de una secuencia de conjuntos es donde los conjuntos se " acumulan ".

Definiciones

Para una secuencia dada de puntos en un espacio , un punto límite de la secuencia puede entenderse como cualquier punto donde la secuencia eventualmente se vuelve arbitrariamente cercana a . Por otro lado, un punto de agrupamiento de la secuencia puede considerarse como un punto donde la secuencia frecuentemente se vuelve arbitrariamente cercana a . Los límites de Kuratowski inferior y superior generalizan esta intuición de puntos límite y de agrupamiento a subconjuntos del espacio dado . ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Espacios métricos

Sea un espacio métrico , donde es un conjunto dado. Para cualquier punto y cualquier subconjunto no vacío , defina la distancia entre el punto y el subconjunto: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y),\qquad x\in X.}$

Para cualquier secuencia de subconjuntos de , el límite de Kuratowski inferior (o límite inferior cerrado ) de como ; es el límite de Kuratowski superior (o límite superior cerrado ) de como ; es Si los límites de Kuratowski inferior y superior concuerdan, entonces el conjunto común se llama límite de Kuratowski de y se denota . ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{for all open neighbourhoods }}U{\mbox{ of }}x,U\cap A_{n}\neq \emptyset {\mbox{ for large enough }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\limsup _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}:=&\left\{x\in X:{\begin{matrix}{\mbox{for all open neighbourhoods }}U{\mbox{ of }}x,U\cap A_{n}\neq \emptyset {\mbox{ for infinitely many }}n\end{matrix}}\right\}\\=&\left\{x\in X:\liminf _{n\to \infty }d(x,A_{n})=0\right\};\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } _{n\to \infty }A_{n}}$

Espacios topológicos

Si es un espacio topológico , y son una red de subconjuntos de , los límites inferior y superior siguen una construcción similar. Para un punto dado denotamos la colección de vecindades abiertas de . El límite de Kuratowski inferior de es el conjunto y el límite de Kuratowski superior es el conjunto Los elementos de se llaman puntos límite de y los elementos de se llaman puntos de agrupamiento de . En otras palabras, es un punto límite de si cada una de sus vecindades se interseca para todos en un subconjunto "residual" de , mientras que es un punto de agrupamiento de si cada una de sus vecindades se interseca para todos en un subconjunto cofinal de . ${\textstyle (X,\tau )}$ ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ $${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{i}:=\left\{x\in X:{\mbox{for all }}U\in {\mathcal {N}}(x){\mbox{ there exists }}i_{0}\in I{\mbox{ such that }}U\cap A_{i}\neq \emptyset {\text{ if }}i_{0}\leq i\right\},}$$ $${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}:=\left\{x\in X:{\mbox{for all }}U\in {\mathcal {N}}(x){\mbox{ and }}i\in I{\mbox{ there exists }}i'\in I{\mbox{ such that }}i\leq i'{\mbox{ and }}U\cap A_{i'}\neq \emptyset \right\}.}$$ ${\textstyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{i}}$ ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{i}}$ ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

Cuando estos conjuntos concuerdan, el conjunto común es el límite de Kuratowski de , denotado . ${\textstyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{i}}$

Ejemplos

• Supóngase que es separable donde es un conjunto perfecto , y sea una enumeración de un subconjunto denso contable de . Entonces la secuencia definida por tiene . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D=\{d_{1},d_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A_{n}:=\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=X}$
• Dados dos subconjuntos cerrados , al definir y para cada uno se obtiene y . ${\displaystyle B,C\subset X}$ ${\displaystyle A_{2n-1}:=B}$ ${\displaystyle A_{2n}:=C}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}=B\cap C}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=B\cup C}$
• La secuencia de bolas cerradas converge en el sentido de Kuratowski cuando en y en , y en particular, . Si , entonces mientras . ${\displaystyle A_{n}:=\{y\in X:d(x_{n},y)\leq r_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{n}\to r}$ ${\displaystyle [0,+\infty )}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } (A_{n})=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$ ${\displaystyle r_{n}\to +\infty }$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=X}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } (X\setminus A_{n})=\emptyset }$
• Sea . Entonces converge en el sentido de Kuratowski a toda la línea. ${\textstyle A_{n}:=\{x\in \mathbb {R} :\sin(nx)=0\}}$ ${\displaystyle A_{n}}$
• En un espacio vectorial topológico , si es una sucesión de conos , entonces también lo son los límites de Kuratowski superior e inferior. Por ejemplo, los conjuntos convergen a . ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A_{n}:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq n|x|\}}$ ${\displaystyle \{(0,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq 0\}}$

Propiedades

Las siguientes propiedades son válidas para los límites inferior y superior tanto en el contexto métrico como en el topológico, pero se indican en la formulación métrica para facilitar la lectura. ^[4]

• Tanto y son subconjuntos cerrados de , y siempre se cumple. ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}}$
• Los límites superior e inferior no distinguen entre conjuntos y sus cierres : y . ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$
• Si es una secuencia constante, entonces . ${\displaystyle A_{n}:=A}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } A}$
• Si es una secuencia de singletons, entonces y consisten en los puntos límite y los puntos de clúster, respectivamente, de la secuencia . ${\displaystyle A_{n}:=\{x_{n}\}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X}$
• Si y , entonces . ${\displaystyle A_{n}\subset B_{n}\subset C_{n}}$ ${\displaystyle B:=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {Lim} } C_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } B_{n}=B}$
• ( Criterios de acierto y error ) Para un subconjunto cerrado , se tiene ${\displaystyle A\subset X}$
  • ${\displaystyle A\subset \mathop {\mathrm {Li} } A_{n}}$, si y sólo si para cada conjunto abierto con existe tal que para todo , ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle A\cap U\neq \emptyset }$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle A_{n}\cap U\neq \emptyset }$ ${\displaystyle n_{0}\leq n}$
  • ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Ls} } A_{n}\subset A}$, si y sólo si para cada conjunto compacto con existe tal que para todo . ${\displaystyle K\subset X}$ ${\displaystyle A\cap K\neq \emptyset }$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle A_{n}\cap K\neq \emptyset }$ ${\displaystyle n_{0}\leq n}$
• Si entonces existe el límite de Kuratowski, y . A la inversa, si entonces existe el límite de Kuratowski, y . ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots }$ ${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\mathop {\mathrm {cl} } \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)}$ ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$ ${\textstyle \mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\mathop {\mathrm {cl} } (A_{n})}$
• Si denota métrica de Hausdorff , entonces implica . Sin embargo, los conjuntos cerrados no compactos pueden converger en el sentido de Kuratowski mientras que para cada ^[5] ${\displaystyle d_{H}}$ ${\displaystyle d_{H}(A_{n},A)\to 0}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {cl} } A=\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n}}$ ${\displaystyle d_{H}(A_{n},\mathop {\mathrm {Lim} } A_{n})=+\infty }$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$
• La convergencia en el sentido de Kuratowski es más débil que la convergencia en el sentido de Vietoris, pero equivalente a la convergencia en el sentido de Fell. Si es compacta, entonces todas son equivalentes y concuerdan con la convergencia en la métrica de Hausdorff. ${\displaystyle X}$

Continuidad de funciones de valores conjuntos de Kuratowski

Sea una función de valor conjunto entre los espacios y ; es decir, para todo . Denotemos . Podemos definir los operadores donde significa convergencia en sucesiones cuando es metrizable y convergencia en redes en caso contrario. Entonces, ${\displaystyle S:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S(x)\subset Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S^{-1}(y)=\{x\in X:y\in S(x)\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcap _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Li} } S(x'),\qquad x\in X\\\mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x'):=&\bigcup _{x'\to x}\mathop {\mathrm {Ls} } S(x'),\qquad x\in X\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x'\to x}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S}$es semicontinuo interno en si ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle S(x)\subset \mathop {\mathrm {Li} } _{x'\to x}S(x')}$
• ${\displaystyle S}$es semicontinuo exterior en si . ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle \mathop {\mathrm {Ls} } _{x'\to x}S(x')\subset S(x)}$

Cuando es tanto interno como externo semicontinuo en , decimos que es continuo (o continuo en el sentido de Kuratowski ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$

La continuidad de funciones con valores de conjunto se define comúnmente en términos de hemicontinuidad inferior y superior popularizada por Berge . ^[6] En este sentido, una función con valores de conjunto es continua si y solo si la función definida por es continua con respecto a la topología del hiperespacio de Vietoris de . Para funciones con valores de conjunto con valores cerrados, la continuidad en el sentido de Vietoris-Berge es más fuerte que la continuidad en el sentido de Kuratowski. ${\displaystyle f_{S}:X\to 2^{Y}}$ ${\displaystyle f(x)=S(x)}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$

Ejemplos

• La función de valor conjunto es continua . ${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$ ${\displaystyle X\times [0,+\infty )\rightrightarrows X}$
• Dada una función , la aplicación del conjunto de supernivel es semicontinua externa en , si y solo si es semicontinua inferior en . De manera similar, es semicontinua interna en , si y solo si es semicontinua superior en . ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle S_{f}(x):=\{\lambda \in \mathbb {R} :f(x)\leq \lambda \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{f}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Propiedades

• Si es continua en , entonces es cerrada. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S(x)}$
• ${\displaystyle S}$es semicontinua exterior en , si y sólo si para cada hay vecindades y tales que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\notin S(x)}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle U\cap S^{-1}(V)=\emptyset }$
• ${\displaystyle S}$es semicontinua internamente en , si y solo si para cada vecindad y hay una vecindad tal que para todo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in S(x)}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle V\cap S(x')\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x'\in U}$
• ${\displaystyle S}$es (globalmente) semicontinuo externo, si y sólo si su gráfico es cerrado. ${\displaystyle \{(x,y)\in X\times Y:y\in S(x)\}}$
• ( Relaciones con la continuidad Vietoris-Berge ). Supóngase que está cerrado. ${\displaystyle S(x)}$
  • ${\displaystyle S}$es semicontinuo interno en , si y sólo si es hemicontinuo inferior en en el sentido de Vietoris-Berge. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$
  • Si es hemicontinuo superior en , entonces es semicontinuo externo en . La inversa es falsa en general, pero se cumple cuando es un espacio compacto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Y}$
• Si tiene un grafo convexo, entonces es semicontinua internamente en cada punto del interior del dominio de . Por el contrario, dada cualquier función de valor conjunto semicontinua internamente , la función de envoltura convexa también es semicontinua internamente. ${\displaystyle S:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(x):=\mathop {\mathrm {conv} } S(x)}$

Epiconvergencia y Γ-convergencia

Para el espacio métrico una sucesión de funciones , el epilímite inferior (o epilímite inferior ) es la función definida por la ecuación del epígrafe y de manera similar el epilímite superior (o epilímite superior ) es la función definida por la ecuación del epígrafe Como los límites superior e inferior de Kuratowski son conjuntos cerrados, se deduce que ambos y son funciones semicontinuas inferiores . De manera similar, como , se deduce que uniformemente. Estas funciones concuerdan, si y solo si existe, y la función asociada se llama epilímite de . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f_{n}:X\to [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}}$ $${\displaystyle \mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Ls} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right),}$$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}}$ $${\displaystyle \mathop {\mathrm {epi} } \left(\mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}\right):=\mathop {\mathrm {Li} } \left(\mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\right).}$$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \limsup } f_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Li} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}\subset \mathop {\mathrm {Ls} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}\leq \mathop {\mathrm {e} \liminf } f_{n}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Lim} } \mathop {\mathrm {epi} } f_{n}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Cuando es un espacio topológico, la epiconvergencia de la secuencia se denomina Γ-convergencia. Desde la perspectiva de la convergencia de Kuratowski no hay distinción entre epilímites y Γ-límites. Los conceptos suelen estudiarse por separado, porque la epiconvergencia admite caracterizaciones especiales que se basan en la estructura del espacio métrico de , que no se cumple en los espacios topológicos en general. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Límite de teoría de conjuntos
• Lema de Borel-Cantelli , pero tenga en cuenta que los límites de la teoría de conjuntos y los límites de Kuratowski no concuerdan.
• Convergencia de Wijsman
• Distancia de Hausdorff
• Hemicontinuidad
• Topología de Vietoris
• Epiconvergencia
• Convergencia gamma

Notas

1. Esto se informa en la sección de Comentarios del Capítulo 4 del texto de Rockafellar y Wets.
2. Hausdorff, Félix (1927). Mengenlehre (en alemán) (2ª ed.). Berlín: Walter de Gruyter & Co.
3. Kuratowski, Kazimierz (1933). Topología, I y II (en francés). Varsovia: Panstowowe Wyd Nauk.
4. El lector interesado puede consultar el texto de Beer, en particular el Capítulo 5, Sección 2, para obtener estos y otros resultados técnicos en el contexto topológico. Para los espacios euclidianos, Rockafellar y Wets informan hechos similares en el Capítulo 4.
5. Como ejemplo, consideremos la secuencia de conos de la sección anterior.
6. Rockafellar y Wets escriben en el Comentario al Capítulo 6 de su texto: "La terminología de semicontinuidad 'interna' y 'externa', en lugar de 'inferior' y 'superior', nos ha sido impuesta por el hecho de que la definición predominante de 'semicontinuidad superior' en la literatura está fuera de sintonía con los desarrollos en convergencia de conjuntos y el alcance de las aplicaciones que deben manejarse, ahora que las asignaciones con rango ilimitado e incluso conjuntos de valores ilimitados son tan importantes... A pesar de la justificación histórica, ya no se puede cambiar la marea en el significado de 'semicontinuidad superior', sin embargo, el concepto de 'continuidad' es demasiado crucial para que las aplicaciones se dejen en la forma poco utilizable que se basa en una propiedad tan desafortunadamente restrictiva [de semicontinuidad superior]"; consulte las páginas 192-193. Obsérvese también que los autores difieren en cuanto a si "semicontinuidad" o "hemicontinuidad" es el lenguaje preferido para los conceptos de continuidad de Vietoris-Berge. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(x)}$

Referencias

• Beer, Gerald (1993). Topologías en conjuntos cerrados y convexos cerrados . Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340.

• Kuratowski, Kazimierz (1966). Topología. Volúmenes I y II . Nueva edición, revisada y aumentada. Traducido del francés por J. Jaworowski. Nueva York: Academic Press. pp. xx+560. Sr. 0217751
• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (1998). Análisis variacional. Berlín. ISBN 978-3-642-02431-3.OCLC 883392544  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)