Hemicontinuidad

Semicontinuidad para funciones con valores conjuntos

En matemáticas , la hemicontinuidad superior y la hemicontinuidad inferior son extensiones de las nociones de semicontinuidad superior e inferior de funciones univaluadas a funciones con valores conjuntos . Se dice que una función con valores conjuntos que es tanto hemicontinua superior como inferior es continua en analogía con la propiedad del mismo nombre para funciones univaluadas.

Para explicar ambas nociones, considere una secuencia a de puntos en un dominio y una secuencia b de puntos en el rango. Decimos que b corresponde a a si cada punto en b está contenido en la imagen del punto correspondiente en a .

• La hemicontinuidad superior requiere que, para cualquier secuencia convergente a en un dominio, y para cualquier secuencia convergente b que corresponda a a , la imagen del límite de a contenga el límite de b .
• La hemicontinuidad inferior requiere que, para cualquier secuencia convergente a en un dominio, y para cualquier punto x en la imagen del límite de a , exista una secuencia b que corresponda a una subsecuencia de a , que converge a x .

Ejemplos

Esta función de valor conjunto es hemicontinua superior en todas partes, pero no hemicontinua inferior en  : para una secuencia de puntos que converge a tenemos un ( ) tal que ninguna secuencia de converge a donde cada uno está en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{m}\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in f(x)}$ ${\displaystyle \left(y_{m}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{m}}$ ${\displaystyle f\left(x_{m}\right).}$

Esta función con valores de conjunto es hemicontinua inferior en todas partes, pero no hemicontinua superior en porque el gráfico (conjunto) no está cerrado. ${\displaystyle x,}$

La imagen de la derecha muestra una función que no es hemicontinua inferior en x . Para ver esto, sea a una sucesión que converge a x desde la izquierda. La imagen de x es una línea vertical que contiene algún punto ( x , y ). Pero toda sucesión b que corresponde a a está contenida en la línea horizontal inferior, por lo que no puede converger a y . En contraste, la función es hemicontinua superior en todas partes. Por ejemplo, considerando cualquier sucesión a que converge a x desde la izquierda o desde la derecha, y cualquier sucesión correspondiente b , el límite de b está contenido en la línea vertical que es la imagen del límite de a .

La imagen de la izquierda muestra una función que no es hemicontinua superior en x . Para ver esto, sea a una sucesión que converge a x desde la derecha. La imagen de a contiene líneas verticales, por lo que existe una sucesión correspondiente b en la que todos los elementos están acotados a partir de f ( x ). La imagen del límite de a contiene un único punto f ( x ), por lo que no contiene el límite de b . En contraste, esa función es hemicontinua inferior en todas partes. Por ejemplo, para cualquier sucesión a que converge a x , desde la izquierda o desde la derecha, f ( x ) contiene un único punto, y existe una sucesión correspondiente b que converge a f ( x ).

Definiciones

Hemicontinuidad superior

Se dice que una función con valores de conjunto es hemicontinua superior en un punto si, para cada abierto con existe un entorno de tal que para todo es un subconjunto de ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle V\subset B}$ ${\displaystyle \Gamma (a)\subset V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle V.}$

Hemicontinuidad inferior

Se dice que una función con valores de conjunto es hemicontinua inferior en el punto si para cada conjunto abierto que interseca existe un vecindario de tal que interseca para todos (aquí interseca significa intersección no vacía ). ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Gamma (a),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V\cap S\neq \varnothing }$

Continuidad

Si una función con valores conjuntos es a la vez hemicontinua superior y hemicontinua inferior, se dice que es continua.

Propiedades

Hemicontinuidad superior

Caracterización secuencial

Teorema  —  Para una función con valores cerrados, si es hemicontinua superior en entonces para cada secuencia en y cada secuencia tal que ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),}$

Si y entonces ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{m}=a}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=b}$ ${\displaystyle b\in \Gamma (a).}$

Si es compacto, entonces lo inverso también es cierto. ${\displaystyle B}$

Como ejemplo, observe la imagen de la derecha y considere la secuencia a en el dominio que converge a x (ya sea desde la izquierda o desde la derecha). Entonces, cualquier secuencia b que satisfaga los requisitos converge a algún punto en f ( x ).

Teorema del grafo cerrado

El gráfico de una función de valor conjunto es el conjunto definido por El gráfico de es el conjunto de todos los que no están vacíos. ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$

Teorema  —  Si es una función de conjunto hemicontinua superior con dominio cerrado (es decir, el dominio de es cerrado) y valores cerrados (es decir, es cerrado para todos los ), entonces es cerrado. ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma )}$

Si es compacto, entonces la inversa también es cierta. ^[1] ${\displaystyle B}$

Hemicontinuidad inferior

Caracterización secuencial

Teorema  —  es hemicontinuo inferior en si y solo si para cada secuencia en tal que en y todos existe una subsecuencia de y también una secuencia tal que y para cada ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b\in \Gamma (a),}$ ${\displaystyle \left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{\bullet }}$ ${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{\bullet }\to b}$ ${\displaystyle b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)}$ ${\displaystyle k.}$

Teorema de grafo abierto

Se dice que una función con valores de conjunto tiene secciones inferiores abiertas si el conjunto está abierto en para cada Si los valores son todos conjuntos abiertos en entonces se dice que tiene secciones superiores abiertas . ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Si tiene un gráfico abierto entonces tiene secciones superior e inferior abiertas y si tiene secciones inferiores abiertas entonces es hemicontinuo inferior. ^[2] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma ),}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Teorema de grafos abiertos  :  Si es una función con valores convexos y secciones superiores abiertas, entonces tiene un grafo abierto en si y solo si es hemicontinuo inferior. ^[2] ${\displaystyle \Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Operaciones que preservan la hemicontinuidad

Las operaciones de teoría de conjuntos, algebraicas y topológicas sobre funciones con valores de conjunto (como unión, composición, suma, envoltura convexa, clausura) suelen conservar el tipo de continuidad. Pero esto debe tomarse con el debido cuidado ya que, por ejemplo, existe un par de funciones con valores de conjunto hemicontinuas inferiores cuya intersección no es hemicontinua inferior. Esto se puede solucionar fortaleciendo las propiedades de continuidad: si una de esas multifunciones hemicontinuas inferiores tiene un grafo abierto, entonces su intersección es nuevamente hemicontinua inferior.

Selecciones de funciones

De crucial importancia para el análisis de conjuntos valuados (en vista de las aplicaciones) son la investigación de selecciones de un solo valor y aproximaciones a funciones de conjuntos valuados. Típicamente, las funciones de conjuntos valuados hemicontinuos inferiores admiten selecciones de un solo valor ( teorema de selección de Michael , teorema de selección direccionalmente continua de Bressan-Colombo, selección de funciones descomponibles de Fryszkowski). Asimismo, las funciones hemicontinuas superiores admiten aproximaciones (por ejemplo, teorema de Ancel-Granas-Górniewicz-Kryszewski).

Otros conceptos de continuidad

La hemicontinuidad superior e inferior podrían considerarse como una continuidad habitual:

Teorema  —  Una función con valores conjuntos es hemicontinua inferior [o superior] si y solo si la función es continua donde el hiperespacio P(B) ha sido dotado con la topología de Vietoris inferior [o superior] . ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle \Gamma :A\to P(B)}$

(Para la noción de hiperespacio compárese también el conjunto potencia y el espacio funcional ).

Utilizando la uniformidad de Hausdorff inferior y superior también podemos definir los llamados mapas semicontinuos superior e inferior en el sentido de Hausdorff (también conocidos como mapas semicontinuos inferior/superior métricamente ).

Véase también

• Inclusión diferencial
• Distancia de Hausdorff  : distancia entre dos subconjuntos del espacio métrico
• Semicontinuidad  – Propiedad de las funciones que es más débil que la continuidad.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de selección : teorema sobre la construcción de una función de un solo valor a partir de una función de valor conjunto.

Notas

1. Proposición 1.4.8 de Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos. Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
2. Zhou, JX (agosto de 1995). "Sobre la existencia de equilibrio para economías abstractas". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 193 (3): 839–858. doi : 10.1006/jmaa.1995.1271 .

Referencias

• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (tercera edición). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7.OCLC 262692874  .
• Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Inclusiones diferenciales: mapas con valores de conjunto y teoría de la viabilidad. Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264. Berlín: Springer. ISBN. 0-387-13105-1.
• Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos. Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
• Deimling, Klaus (1992). Ecuaciones diferenciales multivaluadas. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013212-5.
• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D. ; Green, Jerry R. (1995). Análisis microeconómico. Nueva York: Oxford University Press. pp. 949–951. ISBN 0-19-507340-1.
• Ok, Efe A. (2007). Análisis real con aplicaciones económicas . Princeton University Press. pp. 216–226. ISBN 978-0-691-11768-3.