Teorema de selección

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, un teorema de selección es un teorema que garantiza la existencia de una función de selección de un solo valor a partir de un mapa de valores de conjunto dado . Existen varios teoremas de selección y son importantes en las teorías de inclusiones diferenciales , control óptimo y economía matemática . ^[1]

Preliminares

Dados dos conjuntos X e Y , sea F una función de valor conjunto de X e Y . Equivalentemente, es una función de X elevado al conjunto potencia de Y . ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Se dice que una función es una selección de F si ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

En otras palabras, dada una entrada x para la cual la función original F devuelve múltiples valores, la nueva función f devuelve un único valor. Este es un caso especial de una función de elección .

El axioma de elección implica que siempre existe una función de selección; sin embargo, a menudo es importante que la selección tenga algunas propiedades "agradables", como la continuidad o la mensurabilidad . Aquí es donde entran en acción los teoremas de selección: garantizan que, si F satisface ciertas propiedades, entonces tiene una selección f que es continua o tiene otras propiedades deseables.

Teoremas de selección para funciones de valores conjuntos

El teorema de selección de Michael ^[2] dice que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de una selección continua :

• X es un espacio paracompacto ;
• Y es un espacio de Banach ;
• F es hemicontinuo inferior ;
• para todo x en X , el conjunto F ( x ) es no vacío, convexo y cerrado .

El teorema de selección aproximada ^[3] establece lo siguiente:

Supóngase que X es un espacio métrico compacto, Y un subconjunto compacto y convexo no vacío de un espacio vectorial normado y Φ: X → una multifunción cuyos valores son todos compactos y convexos. Si graph(Φ) es cerrado, entonces para cada ε > 0 existe una función continua f  : X → Y con graph( f ) ⊂ [graph(Φ)] _ε . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$

Aquí, denota la -dilatación de , es decir, la unión de bolas abiertas de radio centradas en puntos en . El teorema implica la existencia de una selección aproximada continua . ${\displaystyle [S]_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle S}$

Otro conjunto de condiciones suficientes para la existencia de una selección aproximada continua lo da el teorema de Deutsch-Kenderov , ^[4] cuyas condiciones son más generales que las del teorema de Michael (y por tanto la selección es sólo aproximada):

• X es un espacio paracompacto ;
• Y es un espacio vectorial normado ;
• F es casi hemicontinuo inferior , es decir, en cada , para cada vecindad de existe una vecindad de tal que ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$
• para todo x en X , el conjunto F ( x ) es no vacío y convexo .

En una nota posterior, Xu demostró que el teorema de Deutsch-Kenderov también es válido si es un espacio vectorial topológico localmente convexo . ^[5] ${\displaystyle Y}$

El teorema de selección de Yannelis-Prabhakar ^[6] dice que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de una selección continua :

• X es un espacio de Hausdorff paracompacto ;
• Y es un espacio topológico lineal ;
• para todo x en X , el conjunto F ( x ) no es vacío y es convexo ;
• para todo y en Y , el conjunto inverso F ⁻¹ ( y ) es un conjunto abierto en X .

El teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski dice que si X es un espacio polaco y su σ-álgebra de Borel , es el conjunto de subconjuntos cerrados no vacíos de X , es un espacio medible y es una función -débilmente medible (es decir, para cada subconjunto abierto tenemos ), entonces tiene una selección que es - medible . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (X)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle \{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$

Otros teoremas de selección para funciones con valores conjuntos incluyen:

• Teorema de selección direccional continua de Bressan-Colombo
• Teorema de representación de Castaing
• Selección de mapas descomponibles de Fryszkowski
• Teorema de selección de Helly
• Teorema de selección de Michael de dimensión cero
• Teorema de selección medible de Robert Aumann

Teoremas de selección para secuencias de valores conjuntos

• Teorema de selección de Blaschke
• Teorema del máximo

Referencias

1. Border, Kim C. (1989). Teoremas del punto fijo con aplicaciones a la economía y la teoría de juegos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
2. Michael, Ernest (1956). "Selecciones continuas. I". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 63 (2): 361–382. doi :10.2307/1969615. hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR  1969615. MR  0077107.
3. Shapiro, Joel H. (2016). Un farrago de punto fijo. Springer International Publishing. págs. 68-70. ISBN 978-3-319-27978-7.OCLC 984777840  .
4. Deutsch, Frank; Kenderov, Petar (enero de 1983). "Selecciones continuas y selección aproximada para aplicaciones con valores de conjunto y aplicaciones a proyecciones métricas". Revista SIAM sobre análisis matemático . 14 (1): 185–194. doi :10.1137/0514015.
5. Xu, Yuguang (diciembre de 2001). "Una nota sobre un teorema de selección aproximada continua". Journal of Approximation Theory . 113 (2): 324–325. doi : 10.1006/jath.2001.3622 .
6. Yannelis, Nicholas C.; Prabhakar, ND (1983-12-01). "Existencia de elementos máximos y equilibrios en espacios topológicos lineales". Journal of Mathematical Economics . 12 (3): 233–245. CiteSeerX 10.1.1.702.2938 . doi :10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN  0304-4068. 
7. VI Bogachev, "Teoría de la medida", Volumen II, página 36.