Economía matemática

Aplicación de métodos matemáticos para representar teorías y analizar problemas en economía.

La economía matemática es la aplicación de métodos matemáticos para representar teorías y analizar problemas en economía . A menudo, estos métodos aplicados van más allá de la simple geometría y pueden incluir cálculo diferencial e integral , ecuaciones diferenciales y en diferencias , álgebra matricial , programación matemática u otros métodos computacionales . ^{[1] [2]} Los defensores de este enfoque afirman que permite la formulación de relaciones teóricas con rigor, generalidad y simplicidad. ^[3]

Las matemáticas permiten a los economistas formular proposiciones significativas y comprobables sobre temas complejos y de amplio alcance que difícilmente podrían expresarse de manera informal. Además, el lenguaje de las matemáticas permite a los economistas hacer afirmaciones específicas y positivas sobre temas controvertidos o polémicos que serían imposibles sin las matemáticas. ^[4] Gran parte de la teoría económica se presenta actualmente en términos de modelos económicos matemáticos , un conjunto de relaciones matemáticas estilizadas y simplificadas afirmadas para aclarar supuestos e implicaciones. ^[5]

Las aplicaciones amplias incluyen:

• Problemas de optimización en cuanto al equilibrio objetivo, ya sea de un hogar, una empresa comercial o un formulador de políticas.
• Análisis estático (o de equilibrio ) en el que la unidad económica (como un hogar) o el sistema económico (como un mercado o la economía ) se modela como si no cambiara.
• Estática comparativa en cuanto a un cambio de un equilibrio a otro inducido por un cambio en uno o más factores.
• Análisis dinámico , que rastrea cambios en un sistema económico a lo largo del tiempo, por ejemplo a partir del crecimiento económico . ^{[2] [6] [7]}

El modelado económico formal comenzó en el siglo XIX con el uso del cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la maximización de la utilidad , una de las primeras aplicaciones económicas de la optimización matemática . La economía se volvió más matemática como disciplina a lo largo de la primera mitad del siglo XX, pero la introducción de técnicas nuevas y generalizadas en el período alrededor de la Segunda Guerra Mundial , como en la teoría de juegos , ampliaría enormemente el uso de formulaciones matemáticas en economía. ^{[8] [7]}

Esta rápida sistematización de la economía alarmó a los críticos de la disciplina, así como a algunos economistas destacados. John Maynard Keynes , Robert Heilbroner , Friedrich Hayek y otros han criticado el amplio uso de modelos matemáticos para el comportamiento humano, argumentando que algunas elecciones humanas son irreductibles a las matemáticas.

Historia

El uso de las matemáticas al servicio del análisis social y económico se remonta al siglo XVII. Luego, principalmente en las universidades alemanas , surgió un estilo de enseñanza que se ocupaba específicamente de la presentación detallada de datos relacionados con la administración pública. Gottfried Achenwall dio una conferencia de esta manera y acuñó el término estadística . Al mismo tiempo, un pequeño grupo de profesores en Inglaterra estableció un método de "razonamiento mediante cifras sobre cuestiones relacionadas con el gobierno" y se refirió a esta práctica como Aritmética Política . ^[9] Sir William Petty escribió extensamente sobre temas que luego preocuparían a los economistas, como los impuestos, la velocidad del dinero y el ingreso nacional , pero si bien su análisis era numérico, rechazó la metodología matemática abstracta. El uso que hizo Petty de datos numéricos detallados (junto con John Graunt ) influiría en los estadísticos y economistas durante algún tiempo, aunque los estudiosos ingleses ignoraron en gran medida las obras de Petty. ^[10]

La matematización de la economía comenzó en serio en el siglo XIX. La mayor parte del análisis económico de la época fue lo que más tarde se llamaría economía clásica . Se discutieron y prescindieron de los temas mediante medios algebraicos , pero no se utilizó el cálculo. Más importante aún, hasta El estado aislado de Johann Heinrich von Thünen en 1826, los economistas no desarrollaron modelos explícitos y abstractos de comportamiento para aplicar las herramientas de las matemáticas. El modelo de uso de la tierra agrícola de Thünen representa el primer ejemplo de análisis marginal. ^[11] El trabajo de Thünen fue en gran medida teórico, pero también extrajo datos empíricos para intentar respaldar sus generalizaciones. En comparación con sus contemporáneos, Thünen construyó modelos y herramientas económicos, en lugar de aplicar herramientas anteriores a nuevos problemas. ^[12]

Mientras tanto, una nueva cohorte de académicos formados en los métodos matemáticos de las ciencias físicas gravitó hacia la economía, defendiendo y aplicando esos métodos a su materia, ^[13] y que hoy se describe como un paso de la geometría a la mecánica . ^[14] Entre ellos se encontraba WS Jevons , quien presentó un artículo sobre una "teoría matemática general de la economía política" en 1862, proporcionando un esquema para el uso de la teoría de la utilidad marginal en la economía política. ^[15] En 1871, publicó Los principios de economía política , declarando que la materia como ciencia "debe ser matemática simplemente porque trata de cantidades". Jevons esperaba que sólo la recopilación de estadísticas sobre precios y cantidades permitiría que el tema presentado se convirtiera en una ciencia exacta. ^[16] Otros precedieron y siguieron en la ampliación de las representaciones matemáticas de los problemas económicos .^[17]

Los marginalistas y las raíces de la economía neoclásica

Cantidades de equilibrio como solución a dos funciones de reacción en el duopolio de Cournot. Cada función de reacción se expresa como una ecuación lineal que depende de la cantidad demandada.

Augustin Cournot y Léon Walras construyeron las herramientas de la disciplina axiomáticamente en torno a la utilidad, argumentando que los individuos buscaban maximizar su utilidad a través de opciones de una manera que pudiera describirse matemáticamente. ^[18] En ese momento, se pensaba que la utilidad era cuantificable, en unidades conocidas como utils . ^[19] Cournot, Walras y Francis Ysidro Edgeworth son considerados los precursores de la economía matemática moderna. ^[20]

Agustín Cournot

Cournot, profesor de matemáticas, desarrolló un tratamiento matemático en 1838 para el duopolio , una condición de mercado definida por la competencia entre dos vendedores. ^[20] Este tratamiento de la competencia, publicado por primera vez en Investigaciones sobre los principios matemáticos de la riqueza , ^[21] se conoce como duopolio de Cournot . Se supone que ambos vendedores tenían igual acceso al mercado y podían producir sus bienes sin costo. Además, supuso que ambos bienes eran homogéneos . Cada vendedor variaría su producción en función de la producción del otro y el precio de mercado estaría determinado por la cantidad total ofrecida. El beneficio de cada empresa se determinaría multiplicando su producción por el precio unitario de mercado . Diferenciar la función de beneficio con respecto a la cantidad ofrecida por cada empresa dejó un sistema de ecuaciones lineales, cuya solución simultánea dio la cantidad, el precio y los beneficios de equilibrio. ^[22] Las contribuciones de Cournot a la matematización de la economía serían ignoradas durante décadas, pero finalmente influyeron en muchos de los marginalistas . ^{[22] [23]} Los modelos de duopolio y oligopolio de Cournot también representan una de las primeras formulaciones de juegos no cooperativos . Hoy en día la solución puede darse como un equilibrio de Nash , pero el trabajo de Cournot precedió a la teoría de juegos moderna en más de 100 años. ^[24]

leon walras

Mientras Cournot proporcionó una solución para lo que más tarde se llamaría equilibrio parcial, Léon Walras intentó formalizar la discusión de la economía en su conjunto a través de una teoría del equilibrio competitivo general . El comportamiento de cada actor económico se consideraría tanto desde el punto de vista de la producción como del consumo. Walras presentó originalmente cuatro modelos de intercambio separados, cada uno incluido recursivamente en el siguiente. La solución del sistema de ecuaciones resultante (tanto lineal como no lineal) es el equilibrio general. ^[25] En ese momento, no se podía expresar ninguna solución general para un sistema de muchas ecuaciones arbitrarias, pero los intentos de Walras produjeron dos resultados famosos en economía. La primera es la ley de Walras y la segunda es el principio de tâtonnement . El método de Walras se consideraba altamente matemático para la época y Edgeworth comentó extensamente sobre este hecho en su reseña de Éléments d'économie politique pure (Elementos de economía pura). ^[26]

La ley de Walras se introdujo como una respuesta teórica al problema de determinar las soluciones en equilibrio general. Su notación es diferente de la notación moderna, pero se puede construir utilizando una notación de suma más moderna. Walras supuso que, en equilibrio, todo el dinero se gastaría en todos los bienes: cada bien se vendería al precio de mercado de ese bien y cada comprador gastaría su último dólar en una cesta de bienes. Partiendo de este supuesto, Walras podría demostrar que si hubiera n mercados y n-1 mercados se liquidaran (se alcanzaran condiciones de equilibrio), el enésimo mercado también se liquidaría. Esto es más fácil de visualizar con dos mercados (considerados en la mayoría de los textos como un mercado de bienes y un mercado de dinero). Si uno de dos mercados ha alcanzado un estado de equilibrio, ningún bien adicional (o, por el contrario, dinero) puede entrar o salir del segundo mercado, por lo que también debe estar en un estado de equilibrio. Walras utilizó esta afirmación para avanzar hacia una prueba de la existencia de soluciones al equilibrio general, pero hoy en día se usa comúnmente para ilustrar la compensación del mercado en los mercados monetarios a nivel universitario. ^[27]

Tâtonnement (aproximadamente, tantear en francés ) estaba destinado a servir como expresión práctica del equilibrio general walrasiano. Walras abstrajo el mercado como una subasta de bienes donde el subastador anunciaría los precios y los participantes del mercado esperarían hasta que cada uno pudiera satisfacer sus precios de reserva personales para la cantidad deseada (recordando aquí que esta es una subasta de todos los bienes, por lo que todos tienen una precio de reserva para su cesta de productos deseada). ^[28]

Sólo cuando todos los compradores estén satisfechos con el precio de mercado dado se producirán transacciones. El mercado se "vaciaría" a ese precio: no existiría excedente ni escasez. La palabra tâtonnement se utiliza para describir las direcciones que toma el mercado para buscar a tientas el equilibrio, estableciendo precios altos o bajos para diferentes bienes hasta que se acuerde un precio para todos los bienes. Si bien el proceso parece dinámico, Walras sólo presentó un modelo estático, ya que no se producirían transacciones hasta que todos los mercados estuvieran en equilibrio. En la práctica, muy pocos mercados operan de esta manera. ^[29]

Francisco Ysidro Edgeworth

Edgeworth introdujo elementos matemáticos en la economía explícitamente en Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences , publicado en 1881. ^[30] Adoptó el cálculo feliz de Jeremy Bentham para el comportamiento económico, permitiendo que el resultado de cada decisión sea convertido en un cambio de utilidad. ^[31] Utilizando este supuesto, Edgeworth construyó un modelo de intercambio sobre tres supuestos: los individuos tienen intereses propios, los individuos actúan para maximizar la utilidad y los individuos son "libres de volver a contratar con otro independientemente de... cualquier tercero". ^[32]

Un cuadro de Edgeworth que muestra la curva de contrato de una economía con dos participantes. Conocido como el "núcleo" de la economía en el lenguaje moderno, hay infinitas soluciones a lo largo de la curva para economías con dos participantes ^[33]

Dados dos individuos, el conjunto de soluciones en las que ambos individuos pueden maximizar la utilidad se describe mediante la curva de contrato en lo que ahora se conoce como Caja de Edgeworth . Técnicamente, la construcción de la solución bipersonal al problema de Edgeworth no fue desarrollada gráficamente hasta 1924 por Arthur Lyon Bowley . ^[34] La curva de contrato de la caja de Edgeworth (o más generalmente, de cualquier conjunto de soluciones al problema de Edgeworth para más actores) se conoce como el núcleo de una economía. ^[35]

Edgeworth dedicó un esfuerzo considerable a insistir en que las demostraciones matemáticas eran apropiadas para todas las escuelas de pensamiento en economía. Mientras estaba al frente de The Economic Journal , publicó varios artículos criticando el rigor matemático de investigadores rivales, incluido Edwin Robert Anderson Seligman , un destacado escéptico de la economía matemática. ^[36] Los artículos se centraron en un vaivén sobre la incidencia fiscal y las respuestas de los productores. Edgeworth notó que un monopolio que producía un bien que tenía oferta conjunta pero no demanda conjunta (como primera clase y clase económica en un avión, si el avión vuela, ambos juegos de asientos vuelan con él) en realidad podría reducir el precio visto por el consumidor de uno de los dos bienes si se aplicara un impuesto. El sentido común y el análisis numérico más tradicional parecían indicar que esto era absurdo. Seligman insistió en que los resultados que logró Edgeworth fueron una peculiaridad de su formulación matemática. Sugirió que el supuesto de una función de demanda continua y un cambio infinitesimal en el impuesto daba como resultado predicciones paradójicas. Harold Hotelling demostró más tarde que Edgeworth tenía razón y que el mismo resultado (una "disminución del precio como resultado del impuesto") podría ocurrir con una función de demanda discontinua y grandes cambios en la tasa impositiva. ^[37]

Economía matemática moderna

Desde finales de la década de 1930, se utilizó una serie de nuevas herramientas matemáticas del cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales, los conjuntos convexos y la teoría de grafos para hacer avanzar la teoría económica de una manera similar a los nuevos métodos matemáticos aplicados anteriormente a la física. ^{[8] [38]} Más tarde se describió que el proceso pasaba de la mecánica a la axiomática . ^[39]

Calculo diferencial

Vilfredo Pareto analizó la microeconomía tratando las decisiones de los actores económicos como intentos de cambiar una determinada asignación de bienes por otra asignación más preferida. Los conjuntos de asignaciones podrían entonces ser tratados como eficientes en el sentido de Pareto (el óptimo de Pareto es un término equivalente) cuando no pueden ocurrir intercambios entre actores que puedan mejorar la situación de al menos un individuo sin empeorar la situación de ningún otro. ^[40] La prueba de Pareto comúnmente se combina con el equilibrio walrassiano o se atribuye informalmente a la hipótesis de la mano invisible de Adam Smith . ^[41] Más bien, la afirmación de Pareto fue la primera afirmación formal de lo que se conocería como el primer teorema fundamental de la economía del bienestar . ^[42] Estos modelos carecían de las desigualdades de la próxima generación de economía matemática.

En el tratado histórico Fundamentos del análisis económico (1947), Paul Samuelson identificó un paradigma y una estructura matemática comunes en múltiples campos del tema, basándose en trabajos anteriores de Alfred Marshall . Las fundaciones tomaron conceptos matemáticos de la física y los aplicaron a problemas económicos. Esta visión amplia (por ejemplo, comparar el principio de Le Chatelier con el tâtonnement ) impulsa la premisa fundamental de la economía matemática: los sistemas de actores económicos pueden ser modelados y su comportamiento descrito de manera muy similar a cualquier otro sistema. Esta extensión siguió el trabajo de los marginalistas del siglo anterior y lo amplió significativamente. Samuelson abordó los problemas de aplicar la maximización de la utilidad individual sobre grupos agregados con estática comparativa , que compara dos estados de equilibrio diferentes después de un cambio exógeno en una variable. Este y otros métodos del libro sentaron las bases de la economía matemática en el siglo XX. ^{[7] [43]}

Modelos lineales

John von Neumann formuló modelos restringidos de equilibrio general en 1937. ^[44] A diferencia de versiones anteriores, los modelos de von Neumann tenían restricciones de desigualdad. Para su modelo de economía en expansión, von Neumann demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema del punto fijo de Brouwer . El modelo de von Neumann de una economía en expansión consideraba la matriz lápiz  A - λ B con matrices no negativas  A y B ; von Neumann buscó vectores de probabilidad p y  q y un número positivo  λ que resolviera la ecuación de complementariedad  

p ^T  ( A − λ  B )  q = 0,

junto con dos sistemas de desigualdad que expresan eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad ( transpuesto ) p representa los precios de los bienes, mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se ejecutaría el proceso de producción. La solución única λ representa la tasa de crecimiento de la economía, que es igual a la tasa de interés . Demostrar la existencia de una tasa de crecimiento positiva y demostrar que la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés fueron logros notables, incluso para von Neumann. ^{[45] [46] [47]} Los resultados de Von Neumann se han visto como un caso especial de programación lineal , donde el modelo de von Neumann utiliza sólo matrices no negativas. ^[48] ​​El estudio del modelo de von Neumann de una economía en expansión continúa interesando a los economistas matemáticos interesados ​​en la economía computacional. ^{[49] [50] [51]}

Economía insumo-producto

En 1936, el economista nacido en Rusia Wassily Leontief construyó su modelo de análisis insumo-producto a partir de las tablas de "equilibrio de materiales" construidas por los economistas soviéticos, que a su vez seguían trabajos anteriores de los fisiócratas . Con su modelo, que describía un sistema de procesos de producción y demanda, Leontief describió cómo los cambios en la demanda en un sector económico influirían en la producción en otro. ^[52] En la práctica, Leontief estimó los coeficientes de sus modelos simples, para abordar cuestiones económicamente interesantes. En economía de la producción , las "tecnologías de Leontief" producen productos utilizando proporciones constantes de insumos, independientemente del precio de los insumos, lo que reduce el valor de los modelos de Leontief para comprender las economías pero permite estimar sus parámetros con relativa facilidad. Por el contrario, el modelo de von Neumann de una economía en expansión permite la elección de técnicas , pero los coeficientes deben estimarse para cada tecnología. ^{[53] [54]}

Optimización matemática

Punto rojo en la dirección z como máximo para la función paraboloide de entradas (x, y)

En matemáticas, la optimización matemática (u optimización o programación matemática) se refiere a la selección del mejor elemento de un conjunto de alternativas disponibles. ^[55] En el caso más simple, un problema de optimización implica maximizar o minimizar una función real seleccionando valores de entrada de la función y calculando los valores correspondientes de la función. El proceso de solución incluye satisfacer las condiciones generales necesarias y suficientes para la optimización . Para problemas de optimización, se puede utilizar notación especializada en cuanto a la función y sus entradas. De manera más general, la optimización incluye encontrar el mejor elemento disponible de alguna función dado un dominio definido y puede utilizar una variedad de técnicas de optimización computacional diferentes . ^[56]

La economía está tan estrechamente vinculada a la optimización por parte de los agentes de una economía que una definición influyente describe la economía en cuanto ciencia como el "estudio del comportamiento humano como una relación entre fines y medios escasos " con usos alternativos. ^[57] Los problemas de optimización atraviesan la economía moderna, muchos de ellos con restricciones económicas o técnicas explícitas. En microeconomía, el problema de maximización de la utilidad y su problema dual , el problema de minimización del gasto para un nivel dado de utilidad, son problemas de optimización económica. ^[58] La teoría postula que los consumidores maximizan su utilidad , sujetos a sus restricciones presupuestarias y que las empresas maximizan sus ganancias , sujetas a sus funciones de producción , costos de insumos y demanda del mercado . ^[59]

El equilibrio económico se estudia en la teoría de la optimización como un ingrediente clave de los teoremas económicos que, en principio, podrían contrastarse con datos empíricos. ^{[7] [60]} Se han producido nuevos desarrollos en la programación dinámica y la optimización del modelado con riesgo e incertidumbre , incluidas aplicaciones a la teoría de carteras , la economía de la información y la teoría de la búsqueda . ^[59]

Las propiedades de optimidad para todo un sistema de mercado pueden expresarse en términos matemáticos, como en la formulación de los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar ^[61] y en el modelo de equilibrio general de Arrow-Debreu (que también se analiza más adelante). ^[62] Más concretamente, muchos problemas son susceptibles de solución analítica (fórmula). Muchos otros pueden ser lo suficientemente complejos como para requerir métodos numéricos de solución, con la ayuda de software. ^[56] Otros más son complejos pero lo suficientemente manejables como para permitir métodos computables de solución, en particular modelos de equilibrio general computables para toda la economía. ^[63]

La programación lineal y no lineal ha afectado profundamente a la microeconomía, que anteriormente sólo había considerado restricciones de igualdad. ^[64] Muchos de los economistas matemáticos que recibieron premios Nobel de Economía habían realizado investigaciones notables utilizando programación lineal: Leonid Kantorovich , Leonid Hurwicz , Tjalling Koopmans , Kenneth J. Arrow , Robert Dorfman , Paul Samuelson y Robert Solow . ^[65] Tanto Kantorovich como Koopmans reconocieron que George B. Dantzig merecía compartir su Premio Nobel de programación lineal. Los economistas que realizaron investigaciones sobre programación no lineal también ganaron el premio Nobel, en particular Ragnar Frisch, además de Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow y Samuelson.

Optimización lineal

La programación lineal se desarrolló para ayudar a la asignación de recursos en empresas e industrias durante la década de 1930 en Rusia y durante la década de 1940 en Estados Unidos. Durante el puente aéreo de Berlín (1948) , se utilizó la programación lineal para planificar el envío de suministros para evitar que Berlín muriera de hambre tras el bloqueo soviético. ^{[66] [67]}

Programación no lineal

En 1951, Albert W. Tucker y Harold Kuhn lograron extensiones a la optimización no lineal con restricciones de desigualdad , quienes consideraron el problema de optimización no lineal :

Minimizar sujeto a y dónde ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}$ ${\displaystyle h_{j}(x)=0}$

${\displaystyle f(\cdot )}$es la función a minimizar

${\displaystyle g_{i}(\cdot )}$son las funciones de las restricciones de desigualdad donde ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle h_{j}(\cdot )}$son las funciones de las restricciones de igualdad donde . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,l}$

Al permitir restricciones de desigualdad, el enfoque de Kuhn-Tucker generalizó el método clásico de los multiplicadores de Lagrange , que (hasta entonces) había permitido sólo restricciones de igualdad. ^[68] El enfoque de Kuhn-Tucker inspiró más investigaciones sobre la dualidad lagrangiana, incluido el tratamiento de las restricciones de desigualdad. ^{[69] [70]} La teoría de la dualidad de la programación no lineal es particularmente satisfactoria cuando se aplica a problemas de minimización convexa , que disfrutan de la teoría de la dualidad analítica convexa de Fenchel y Rockafellar ; esta dualidad convexa es particularmente fuerte para funciones convexas poliédricas , como las que surgen en la programación lineal . La dualidad lagrangiana y el análisis convexo se utilizan a diario en la investigación de operaciones , en la programación de centrales eléctricas, la planificación de programas de producción para fábricas y el trazado de rutas de las aerolíneas (rutas, vuelos, aviones, tripulaciones). ^[70]

Cálculo variacional y control óptimo.

La dinámica económica permite cambios en las variables económicas a lo largo del tiempo, incluso en los sistemas dinámicos . El problema de encontrar funciones óptimas para tales cambios se estudia en el cálculo variacional y en la teoría del control óptimo . Antes de la Segunda Guerra Mundial, Frank Ramsey y Harold Hotelling utilizaron el cálculo de variaciones con ese fin.

Siguiendo el trabajo de Richard Bellman sobre programación dinámica y la traducción al inglés de 1962 del trabajo anterior de L. Pontryagin et al ., ^[71] la teoría del control óptimo se utilizó más ampliamente en economía para abordar problemas dinámicos, especialmente en lo que respecta al equilibrio del crecimiento económico y estabilidad de los sistemas económicos, ^[72] de los cuales un ejemplo de libro de texto es el consumo y el ahorro óptimos . ^[73] Una distinción crucial es entre modelos de control deterministas y estocásticos. ^[74] Otras aplicaciones de la teoría del control óptimo incluyen aquellas en finanzas, inventarios y producción, por ejemplo. ^[75]

Análisis funcional

Fue en el curso de la demostración de la existencia de un equilibrio óptimo en su modelo de crecimiento económico de 1937 que John von Neumann introdujo métodos analíticos funcionales para incluir la topología en la teoría económica, en particular, la teoría del punto fijo a través de su generalización de la teoría del punto fijo de Brouwer. teorema del punto . ^{[8] [44] [76]} Siguiendo el programa de von Neumann, Kenneth Arrow y Gérard Debreu formularon modelos abstractos de equilibrios económicos utilizando conjuntos convexos y teoría del punto fijo. Al introducir el modelo Arrow-Debreu en 1954, demostraron la existencia (pero no la unicidad) de un equilibrio y también demostraron que todo equilibrio de Walras es eficiente en Pareto ; en general, los equilibrios no tienen por qué ser únicos. ^[77] En sus modelos, el espacio vectorial ("primario") representaba cantidades mientras que el espacio vectorial "dual" representaba precios . ^[78]

En Rusia, el matemático Leonid Kantorovich desarrolló modelos económicos en espacios vectoriales parcialmente ordenados , que enfatizaban la dualidad entre cantidades y precios. ^[79] Kantorovich cambió el nombre de los precios a "valoraciones objetivamente determinadas", que en ruso se abreviaron como "o. o. o.", en alusión a la dificultad de discutir los precios en la Unión Soviética. ^{[78] [80] [81]}

Incluso en dimensiones finitas, los conceptos del análisis funcional han iluminado la teoría económica, particularmente al aclarar el papel de los precios como vectores normales a un hiperplano que sostiene un conjunto convexo, que representa posibilidades de producción o consumo. Sin embargo, los problemas de describir la optimización a lo largo del tiempo o bajo incertidumbre requieren el uso de espacios funcionales de dimensión infinita, porque los agentes eligen entre funciones o procesos estocásticos . ^{[78] [82] [83] [84]}

Disminución y ascenso diferencial

El trabajo de John von Neumann sobre análisis funcional y topología abrió nuevos caminos en matemáticas y teoría económica. ^{[44] [85]} También dejó a la economía matemática avanzada con menos aplicaciones de cálculo diferencial. En particular, los teóricos del equilibrio general utilizaron la topología general , la geometría convexa y la teoría de la optimización más que el cálculo diferencial, porque el enfoque del cálculo diferencial no había logrado establecer la existencia de un equilibrio.

Sin embargo, no se debe exagerar el declive del cálculo diferencial, porque el cálculo diferencial siempre se ha utilizado en la formación de posgrado y en aplicaciones. Además, el cálculo diferencial ha vuelto a los niveles más altos de la economía matemática, la teoría del equilibrio general (GET), tal como lo practica el " conjunto GET " (la denominación humorística debida a Jacques H. Drèze ). Sin embargo, en las décadas de 1960 y 1970, Gérard Debreu y Stephen Smale lideraron un resurgimiento del uso del cálculo diferencial en la economía matemática. En particular, pudieron demostrar la existencia de un equilibrio general, donde los escritores anteriores habían fracasado, debido a sus novedosas matemáticas: la categoría de Baire de la topología general y el lema de Sard de la topología diferencial . Otros economistas asociados con el uso del análisis diferencial incluyen a Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell e Yves Balasko . ^{[86] [87]} Estos avances han cambiado la narrativa tradicional de la historia de la economía matemática, siguiendo a von Neumann, que celebró el abandono del cálculo diferencial.

Teoría de juego

John von Neumann, trabajando con Oskar Morgenstern en la teoría de juegos , abrió nuevos caminos matemáticos en 1944 al extender los métodos analíticos funcionales relacionados con conjuntos convexos y la teoría topológica del punto fijo al análisis económico. ^{[8] [85]} Su trabajo evitó así el cálculo diferencial tradicional , para el cual el operador máximo no se aplicaba a funciones no diferenciables. Continuando con el trabajo de von Neumann en la teoría de juegos cooperativos , los teóricos de juegos Lloyd S. Shapley , Martin Shubik , Hervé Moulin , Nimrod Megiddo y Bezalel Peleg influyeron en la investigación económica en política y economía. Por ejemplo, la investigación sobre los precios justos en los juegos cooperativos y los valores justos para los juegos de votación condujo a cambios en las reglas para votar en las legislaturas y para contabilizar los costos en proyectos de obras públicas. Por ejemplo, la teoría de juegos cooperativos se utilizó para diseñar el sistema de distribución de agua del sur de Suecia y para fijar las tarifas de las líneas telefónicas exclusivas en Estados Unidos.

La teoría neoclásica anterior había limitado sólo el rango de resultados de la negociación y en casos especiales, por ejemplo, el monopolio bilateral o a lo largo de la curva contractual de la caja de Edgeworth . ^[88] Los resultados de Von Neumann y Morgenstern fueron igualmente débiles. Sin embargo, siguiendo el programa de von Neumann, John Nash utilizó la teoría del punto fijo para demostrar las condiciones bajo las cuales el problema de negociación y los juegos no cooperativos pueden generar una solución de equilibrio única . ^[89] La teoría de juegos no cooperativos ha sido adoptada como un aspecto fundamental de la economía experimental , ^[90] la economía del comportamiento , ^[91] la economía de la información , ^[92] la organización industrial , ^[93] y la economía política . ^[94] También ha dado lugar al tema del diseño de mecanismos (a veces llamado teoría de juegos inversos), que tiene aplicaciones de políticas públicas y privadas en cuanto a formas de mejorar la eficiencia económica a través de incentivos para compartir información. ^[95]

En 1994, Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo sobre juegos no cooperativos. Harsanyi y Selten fueron premiados por su trabajo en partidas repetidas . Trabajos posteriores ampliaron sus resultados a métodos computacionales de modelado. ^[96]

Economía computacional basada en agentes

La economía computacional basada en agentes (ACE) como campo con nombre es relativamente reciente y data aproximadamente de la década de 1990 en cuanto a trabajos publicados. Estudia los procesos económicos, incluidas economías enteras , como sistemas dinámicos de agentes que interactúan a lo largo del tiempo. Como tal, cae en el paradigma de los sistemas adaptativos complejos . ^[97] En los modelos correspondientes basados ​​en agentes , los agentes no son personas reales sino "objetos computacionales modelados para interactuar de acuerdo con reglas"... "cuyas interacciones a nivel micro crean patrones emergentes" en el espacio y el tiempo. ^[98] Las reglas están formuladas para predecir el comportamiento y las interacciones sociales basándose en incentivos e información. El supuesto teórico de optimización matemática por parte de los agentes de los mercados es reemplazado por el postulado menos restrictivo de agentes con racionalidad limitada que se adaptan a las fuerzas del mercado. ^[99]

Los modelos ACE aplican métodos numéricos de análisis a simulaciones por computadora de problemas dinámicos complejos para los cuales los métodos más convencionales, como la formulación de teoremas, pueden no encontrar un uso fácil. ^[100] A partir de condiciones iniciales especificadas, se modela que el sistema económico computacional evoluciona a lo largo del tiempo a medida que sus agentes constituyentes interactúan repetidamente entre sí. En estos aspectos, ACE se ha caracterizado como un enfoque de abajo hacia arriba para el estudio de la economía. ^[101] A diferencia de otros métodos de modelado estándar, los eventos ACE son impulsados ​​únicamente por las condiciones iniciales, existan o no equilibrios o sean computacionalmente manejables. El modelado ACE, sin embargo, incluye adaptación, autonomía y aprendizaje del agente. ^[102] Tiene una similitud y se superpone con la teoría de juegos como método basado en agentes para modelar interacciones sociales. ^[96] Otras dimensiones del enfoque incluyen temas económicos estándar como competencia y colaboración , ^[103] estructura de mercado y organización industrial , ^[104] costos de transacción , ^[105] economía del bienestar ^[106] y diseño de mecanismos , ^[95] información y incertidumbre , ^[107] y macroeconomía . ^{[108] [109]}

Se dice que el método se beneficia de las continuas mejoras en las técnicas de modelado de la informática y del aumento de las capacidades informáticas. Los problemas incluyen aquellos comunes a la economía experimental en general ^[110] y en comparación ^[111] y al desarrollo de un marco común para la validación empírica y la resolución de preguntas abiertas en el modelado basado en agentes. ^[112] El objetivo científico último del método ha sido descrito como "probar los hallazgos teóricos contra datos del mundo real de manera que permitan que las teorías respaldadas empíricamente se acumulen con el tiempo, con el trabajo de cada investigador basándose adecuadamente en el trabajo realizado". antes". ^[113]

Matematización de la economía.

La superficie de la sonrisa de volatilidad es una superficie tridimensional en la que la volatilidad implícita actual del mercado (eje Z) para todas las opciones sobre el subyacente se traza en función del precio de ejercicio y el tiempo hasta el vencimiento (ejes X e Y). ^[114]

A lo largo del siglo XX, los artículos de las "revistas principales" ^[115] de economía han sido escritos casi exclusivamente por economistas académicos . Como resultado, gran parte del material transmitido en esas revistas se relaciona con la teoría económica, y "la teoría económica misma ha sido cada vez más abstracta y matemática". ^[116] Una evaluación subjetiva de las técnicas matemáticas ^[117] empleadas en estas revistas principales mostró una disminución en los artículos que no utilizan representaciones geométricas ni notación matemática del 95% en 1892 al 5,3% en 1990. ^[118] Una encuesta de 2007 de diez de Las principales revistas económicas encuentran que sólo el 5,8% de los artículos publicados en 2003 y 2004 carecían de análisis estadístico de datos y carecían de expresiones matemáticas indexadas con números al margen de la página. ^[119]

Econometría

Entre las guerras mundiales, los avances en la estadística matemática y un grupo de economistas con formación matemática llevaron a la econometría , que fue el nombre propuesto para la disciplina del avance de la economía mediante el uso de las matemáticas y la estadística. Dentro de la economía, la "econometría" se ha utilizado a menudo para métodos estadísticos en economía, en lugar de economía matemática. La econometría estadística presenta la aplicación de regresión lineal y análisis de series de tiempo a datos económicos.

Ragnar Frisch acuñó la palabra "econometría" y ayudó a fundar la Sociedad Econométrica en 1930 y la revista Econometrica en 1933. ^{[120] [121]} Un estudiante de Frisch, Trygve Haavelmo publicó The Probability Approach in Econometrics en 1944, donde afirmó que el análisis estadístico preciso podría usarse como herramienta para validar teorías matemáticas sobre actores económicos con datos de fuentes complejas. ^[122] Esta vinculación del análisis estadístico de sistemas a la teoría económica también fue promulgada por la Comisión Cowles (ahora Fundación Cowles ) a lo largo de las décadas de 1930 y 1940. ^[123]

Las raíces de la econometría moderna se remontan al economista estadounidense Henry L. Moore . Moore estudió la productividad agrícola e intentó ajustar los valores cambiantes de productividad de parcelas de maíz y otros cultivos a una curva utilizando diferentes valores de elasticidad. Moore cometió varios errores en su trabajo, algunos por la elección de modelos y otros por limitaciones en el uso de las matemáticas. La precisión de los modelos de Moore también se vio limitada por los deficientes datos de las cuentas nacionales de Estados Unidos en ese momento. Si bien sus primeros modelos de producción eran estáticos, en 1925 publicó un modelo dinámico de "equilibrio móvil" diseñado para explicar los ciclos económicos; esta variación periódica debido a una sobrecorrección en las curvas de oferta y demanda se conoce ahora como el modelo de telaraña . Posteriormente, Nicholas Kaldor hizo una derivación más formal de este modelo , a quien se le atribuye en gran medida su exposición. ^[124]

Solicitud

El modelo IS/LM es un modelo macroeconómico keynesiano diseñado para hacer predicciones sobre la intersección de la actividad económica "real" (por ejemplo, gasto, ingresos , tasas de ahorro) y decisiones tomadas en los mercados financieros ( oferta monetaria y preferencia de liquidez ). El modelo ya no se enseña ampliamente a nivel de posgrado, pero es común en los cursos de macroeconomía de pregrado. ^[125]

Gran parte de la economía clásica se puede presentar en términos geométricos simples o en notación matemática elemental. La economía matemática, sin embargo, convencionalmente utiliza el cálculo y el álgebra matricial en el análisis económico para hacer afirmaciones poderosas que serían más difíciles sin tales herramientas matemáticas. Estas herramientas son requisitos previos para el estudio formal, no sólo de la economía matemática sino de la teoría económica contemporánea en general. Los problemas económicos a menudo involucran tantas variables que las matemáticas son la única forma práctica de atacarlos y resolverlos. Alfred Marshall argumentó que todo problema económico que pueda cuantificarse, expresarse analíticamente y resolverse debe tratarse mediante trabajo matemático. ^[126]

La economía se ha vuelto cada vez más dependiente de los métodos matemáticos y las herramientas matemáticas que emplea se han vuelto más sofisticadas. Como resultado, las matemáticas se han vuelto considerablemente más importantes para los profesionales de la economía y las finanzas. Los programas de posgrado tanto en economía como en finanzas requieren una sólida preparación universitaria en matemáticas para su admisión y, por esta razón, atraen a un número cada vez mayor de matemáticos . Los matemáticos aplicados aplican principios matemáticos a problemas prácticos, como el análisis económico y otras cuestiones relacionadas con la economía, y muchos problemas económicos a menudo se definen como integrados en el alcance de las matemáticas aplicadas. ^[18]

Esta integración resulta de la formulación de problemas económicos como modelos estilizados con supuestos claros y predicciones falsables. Este modelado puede ser informal o prosaico, como lo fue en La riqueza de las naciones de Adam Smith , o puede ser formal, riguroso y matemático.

En términos generales, los modelos económicos formales pueden clasificarse como estocásticos o deterministas y discretos o continuos. A nivel práctico, los modelos cuantitativos se aplican a muchas áreas de la economía y varias metodologías han evolucionado más o menos independientemente unas de otras. ^[127]

• Los modelos estocásticos se formulan mediante procesos estocásticos . Modelan valores económicamente observables a lo largo del tiempo. La mayor parte de la econometría se basa en la estadística para formular y probar hipótesis sobre estos procesos o estimar parámetros para los mismos. Entre las guerras mundiales, Herman Wold desarrolló una representación de los procesos estocásticos estacionarios en términos de modelos autorregresivos y una tendencia determinista. Wold y Jan Tinbergen aplicaron análisis de series temporales a datos económicos. La investigación contemporánea sobre estadísticas de series de tiempo considera formulaciones adicionales de procesos estacionarios, como los modelos de media móvil autorregresivos . Los modelos más generales incluyen modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) y modelos ARCH generalizados ( GARCH ).
• Los modelos matemáticos no estocásticos pueden ser puramente cualitativos (por ejemplo, modelos involucrados en algún aspecto de la teoría de la elección social ) o cuantitativos (que implican la racionalización de variables financieras, por ejemplo con coordenadas hiperbólicas , y/o formas específicas de relaciones funcionales entre variables). En algunos casos, las predicciones económicas de un modelo simplemente afirman la dirección del movimiento de las variables económicas, por lo que las relaciones funcionales se utilizan sólo en un sentido cualitativo: por ejemplo, si el precio de un artículo aumenta, entonces la demanda de ese artículo disminuirá. . Para tales modelos, los economistas suelen utilizar gráficos bidimensionales en lugar de funciones.
• Ocasionalmente se utilizan modelos cualitativos . Un ejemplo es la planificación cualitativa de escenarios en los que se desarrollan posibles acontecimientos futuros. Otro ejemplo es el análisis de árboles de decisión no numéricos. Los modelos cualitativos a menudo adolecen de falta de precisión.

Ejemplo: El efecto de un recorte del impuesto de sociedades sobre los salarios

El gran atractivo de la economía matemática es que aporta cierto grado de rigor al pensamiento económico, particularmente en torno a temas políticos cargados. Por ejemplo, durante la discusión sobre la eficacia de un recorte del impuesto corporativo para aumentar los salarios de los trabajadores, un modelo matemático simple resultó beneficioso para comprender los problemas en cuestión.

Como ejercicio intelectual, el profesor Greg Mankiw de la Universidad de Harvard planteó el siguiente problema : ^[128]

Una economía abierta tiene la función de producción , donde es la producción por trabajador y el capital por trabajador. El stock de capital se ajusta de modo que el producto marginal del capital después de impuestos sea igual a la tasa de interés mundial dada exógenamente ... ¿En qué medida aumentará los salarios el recorte de impuestos? ${\textstyle y=f(k)}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle r}$

Para responder a esta pregunta, seguimos a John H. Cochrane de la Hoover Institution . ^[129] Supongamos que una economía abierta tiene la función de producción :

$${\displaystyle Y=F(K,L)=f(k)L,\quad k=K/L}$$

• ${\textstyle Y}$es la producción total
• ${\textstyle F(K,L)}$es la función de producción
• ${\textstyle K}$es el capital social total
• ${\textstyle L}$es el stock total de mano de obra

La elección estándar para la función de producción es la función de producción Cobb-Douglas :

$${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }=Ak^{\alpha }L,\quad \alpha \in [0,1]}$$

factor de productividad ${\textstyle A}$

$${\displaystyle J=\max _{K,L}\;(1-\tau )\left[F(K,L)-wL\right]-rK\equiv \max _{K,L}\;(1-\tau )\left[f(k)-w\right]L-rK}$$

condiciones de optimización de primer orden ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial J}{\partial K}}&=(1-\tau )f'(k)-r\\{\frac {\partial J}{\partial L}}&=(1-\tau )\left[f(k)-f'(k)k-w\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle r=(1-\tau )f'(k),\quad w=f(k)-f'(k)k}$$

${\textstyle X=\tau [F(K,L)-wL]}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle x=\tau [f(k)-w]=\tau f'(k)k}$$

$${\displaystyle {dx \over {d\tau }}=\underbrace {f'(k)k} _{\text{Static}}+\underbrace {\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}} _{\text{Dynamic}}}$$

$${\displaystyle {\frac {dw}{d\tau }}=\left[f'(k)-f'(k)-f''(k)k\right]{\frac {dk}{d\tau }}=-f''(k)k{\frac {dk}{d\tau }}}$$

${\textstyle r}$ ${\textstyle dr/d\tau =0}$

$${\displaystyle {dk \over {d\tau }}={f'(k) \over {(1-\tau )f''(k)}}}$$

estático ${\textstyle dx/d\tau =f'(k)k}$

$${\displaystyle {dw \over {d\tau }}=-{\frac {f'(k)k}{1-\tau }}=-{1 \over {1-\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}}$$

estático

$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1 \over {1-\tau }}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dx \over {d\tau }}&=f'(k)k+\tau \left[f'(k)+f''(k)k\right]{dk \over {d\tau }}\\&=f'(k)k+{\tau \over {1-\tau }}{[f'(k)]^{2}+f'(k)f''(k)k \over {f''(k)}}\\&={\tau \over {1-\tau }}{f'(k)^{2} \over {f''(k)}}+{1 \over {1-\tau }}f'(k)k\\&={f'(k) \over {1-\tau }}\left[\tau {f'(k) \over {f''(k)}}+k\right]\end{aligned}}}$$

${\textstyle dw/d\tau =-f'(k)k/(1-\tau )}$

$${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{{\frac {f'(k)k}{1-\tau }} \over {{\frac {f'(k)}{1-\tau }}\left[\tau {\frac {f'(k)}{f''(k)}}+k\right]}}=-{\frac {1}{\tau {\frac {f'(k)}{kf''(k)}}+1}}}$$

$${\displaystyle {f'(k) \over {kf''(k)}}=-{1 \over {1-\alpha }}}$$

dinámico

$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{1-\alpha \over {1-\tau -\alpha }}}$$

la acumulación de capital ${\textstyle \alpha =\tau =1/3}$

1. El resultado estándar es que en una economía pequeña y abierta el trabajo soporta el 100% del impuesto sobre la renta del capital pequeño.
2. El hecho de que, partiendo de un tipo impositivo positivo, la carga de un aumento fiscal supere la recaudación de ingresos debido a la pérdida de eficiencia de primer orden

Este resultado que muestra que, bajo ciertos supuestos, un recorte del impuesto corporativo puede aumentar los salarios de los trabajadores en más que la pérdida de ingresos no implica que la magnitud sea correcta. Más bien, sugiere una base para el análisis de políticas que no se basa en gestos de mano. Si los supuestos son razonables, entonces el modelo es una aproximación aceptable de la realidad; si no es así, entonces deberían desarrollarse mejores modelos.

Función de producción CES

Ahora supongamos que en lugar de la función de producción Cobb-Douglas tenemos una función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES) más general :

$${\displaystyle f(k)=A\left[\alpha k^{\rho }+(1-\alpha )\right]^{1/\rho }}$$

, ${\textstyle \rho =1-\sigma ^{-1}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle f'/kf''}$

$${\displaystyle {f' \over {kf''}}=-{1 \over {1-\rho -{\alpha (1-\rho ) \over {\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }}}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1+\tau {f' \over {kf''}}&=1-{\tau [\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }] \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\\[6pt]&={(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {dw \over {dx}}=-{(1-\rho )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho ) \over {(1-\rho -\tau )[\alpha +(1-\alpha )k^{-\rho }]-\alpha (1-\rho )}}}$$

${\textstyle \rho =0}$ ${\textstyle \rho =1}$ ${\textstyle dw/dx=0}$ ${\textstyle \rho =-\infty }$ ${\textstyle dw/dx=-1}$

Críticas y defensas

Adecuación de las matemáticas para la economía cualitativa y complicada.

La escuela austriaca –si bien presenta muchos de los mismos argumentos económicos normativos que los economistas tradicionales de tradiciones marginalistas, como la escuela de Chicago– difiere metodológicamente de las principales escuelas neoclásicas de economía, en particular en sus agudas críticas a la matematización de la economía. ^[130] Friedrich Hayek sostuvo que el uso de técnicas formales proyecta una exactitud científica que no tiene en cuenta adecuadamente las limitaciones de información que enfrentan los agentes económicos reales. ^[131]

En una entrevista de 1999, el historiador económico Robert Heilbroner afirmó: ^[132]

Supongo que el enfoque científico empezó a penetrar y pronto a dominar la profesión en los últimos veinte o treinta años. Esto se debió en parte a la "invención" del análisis matemático de diversos tipos y, de hecho, a mejoras considerables en el mismo. Esta es la era en la que no sólo tenemos más datos sino también un uso más sofisticado de los datos. Por lo tanto, existe un fuerte sentimiento de que se trata de una ciencia cargada de datos y una empresa cargada de datos que, en virtud de los números, las ecuaciones y el aspecto de una página de revista, tiene cierta semejanza con la ciencia. . . Esa actividad central parece científica. Entiendo que. Creo que eso es genuino. Se acerca a ser una ley universal. Pero parecerse a una ciencia es diferente de ser una ciencia.

Heilbroner afirmó que "parte o gran parte de la economía no es naturalmente cuantitativa y, por lo tanto, no se presta a una exposición matemática". ^[133]

Probando predicciones de economía matemática.

El filósofo Karl Popper analizó la posición científica de la economía en las décadas de 1940 y 1950. Sostuvo que la economía matemática adolecía de ser tautológica. En otras palabras, en la medida en que la economía se convirtió en una teoría matemática, la economía matemática dejó de depender de la refutación empírica y se basó más bien en pruebas y refutaciones matemáticas . ^[134] Según Popper, los supuestos falsables pueden probarse mediante experimentos y observaciones, mientras que los supuestos infalsables pueden explorarse matemáticamente en busca de sus consecuencias y su coherencia con otros supuestos. ^[135]

Compartiendo las preocupaciones de Popper sobre los supuestos en la economía en general, y no sólo en la economía matemática, Milton Friedman declaró que "todos los supuestos son poco realistas". Friedman propuso juzgar los modelos económicos por su desempeño predictivo y no por la correspondencia entre sus supuestos y la realidad. ^[136]

La economía matemática como forma de matemática pura.

Considerando la economía matemática, JM Keynes escribió en The General Theory : ^[137]

Es un gran defecto de los métodos pseudomatemáticos simbólicos de formalizar un sistema de análisis económico... que asumen expresamente una independencia estricta entre los factores involucrados y pierden su contundencia y autoridad si se rechaza esta hipótesis; Considerando que, en el discurso ordinario, donde no manipulamos ciegamente y sabemos todo el tiempo lo que estamos haciendo y lo que significan las palabras, podemos mantener "en el fondo de nuestra cabeza" las reservas y cualificaciones necesarias y los ajustes que tendremos que hacer. más adelante, de manera que no podamos mantener complicadas derivadas parciales "al final" de varias páginas de álgebra que suponen que todas desaparecen. Una proporción demasiado grande de la economía "matemática" reciente son meros brebajes, tan imprecisos como los supuestos iniciales en los que se basan, que permiten al autor perder de vista las complejidades e interdependencias del mundo real en un laberinto de símbolos pretenciosos e inútiles.

Defensa de la economía matemática

En respuesta a estas críticas, Paul Samuelson sostuvo que las matemáticas son un lenguaje, repitiendo una tesis de Josiah Willard Gibbs . En economía, el lenguaje de las matemáticas es a veces necesario para representar problemas sustantivos. Además, la economía matemática ha dado lugar a avances conceptuales en economía. ^[138] En particular, Samuelson dio el ejemplo de la microeconomía , escribiendo que "pocas personas son lo suficientemente ingeniosas como para comprender [sus] partes más complejas... sin recurrir al lenguaje de las matemáticas, mientras que la mayoría de los individuos comunes y corrientes pueden hacerlo con bastante facilidad con la ayuda de las matemáticas." ^[139]

Algunos economistas afirman que la economía matemática merece apoyo al igual que otras formas de matemáticas, en particular sus vecinas en optimización matemática y estadística matemática y cada vez más en informática teórica . La economía matemática y otras ciencias matemáticas tienen una historia en la que los avances teóricos han contribuido regularmente a la reforma de las ramas más aplicadas de la economía. En particular, siguiendo el programa de John von Neumann , la teoría de juegos proporciona ahora las bases para describir gran parte de la economía aplicada, desde la teoría de la decisión estadística (como "juegos contra la naturaleza") y la econometría hasta la teoría del equilibrio general y la organización industrial. En la última década, con el auge de Internet, los economistas matemáticos, los expertos en optimización y los científicos informáticos han trabajado en problemas de fijación de precios para servicios en línea, y sus contribuciones utilizaron matemáticas de la teoría de juegos cooperativos, la optimización no diferenciable y los juegos combinatorios.

Robert M. Solow concluyó que la economía matemática era la " infraestructura " central de la economía contemporánea:

La economía ya no es un tema de conversación adecuado para damas y caballeros. Se ha convertido en un tema técnico. Como cualquier tema técnico, atrae a algunas personas que están más interesadas en la técnica que en el tema. Es una lástima, pero puede que sea inevitable. En cualquier caso, no se engañen: el núcleo técnico de la economía es una infraestructura indispensable para la economía política. Por eso, si consultas [una referencia en economía contemporánea] en busca de información sobre el mundo actual, serás conducido a la economía técnica, o a la historia, o a nada en absoluto. ^[140]

Economistas matemáticos

Entre los economistas matemáticos destacados se incluyen los siguientes.

Siglo 19

siglo 20

Ver también

• Portal de economía y negocios
• Portal de matemáticas

• Econofísica
• finanzas matemáticas

Referencias

1. Elaborado en los códigos de clasificación JEL , Métodos matemáticos y cuantitativos JEL: Subcategorías C.
2. Chiang, Alfa C .; Kevin Wainwright (2005). Métodos Fundamentales de Economía Matemática . McGraw-Hill Irwin. págs. 3–4. ISBN 978-0-07-010910-0.TOC. Archivado el 8 de marzo de 2012 en la Wayback Machine.
3. Debreu, Gérard ([1987] 2008). "economía matemática", sección II, Diccionario de economía New Palgrave , 2.ª edición. Abstracto. Archivado el 16 de mayo de 2013 en Wayback Machine. Republicado con revisiones de 1986, "Modelos teóricos: forma matemática y contenido económico", Econometrica , 54 (6), págs. 1259 Archivado el 5 de agosto de 2017 en Wayback Machine -1270.
4. Varian, Hal (1997). "¿Para qué sirve la teoría económica?" en A. D'Autume y J. Cartelier, ed., ¿Se está convirtiendo la economía en una ciencia dura? , Eduardo Elgar. PDF previo a la publicación. Archivado el 25 de junio de 2006 en Wayback Machine. Consultado el 1 de abril de 2008.
5. * Como en Handbook of Mathematical Economics , enlaces de capítulos de la primera página:
        Arrow, Kenneth J. y Michael D. Intriligator, ed., (1981), v. 1
        _____ (1982). v.2
        _____ (1986). v. 3
        Hildenbrand, Werner y Hugo Sonnenschein , ed. (1991). v.4. Archivado el 15 de abril de 2013 en Wayback Machine.
   • Debreu, Gerard (1983). Economía matemática: veinte artículos de Gérard Debreu , Contenidos Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
   • Glaister, Stephen (1984). Métodos matemáticos para economistas , 3ª ed., Blackwell. Contenido. Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine.
   • Takayama, Akira (1985). Economía Matemática , 2ª ed. Cambridge.
   Descripción Archivado el 01 de julio de 2023 en Wayback Machine y Contenidos Archivado el 01 de julio de 2023 en Wayback Machine .
   • Michael Carter (2001). Fundamentos de la economía matemática , MIT Press. Descripción y contenidos Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
6. Chiang, Alfa C. (1992). Elementos de optimización dinámica , Waveland. Enlace TOC y Amazon.com Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine al interior, primeras págs.
7. Samuelson, Paul (1947) [1983]. Fundamentos del Análisis Económico . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0-674-31301-9.
8. * Debreu, Gérard ([1987] 2008). "economía matemática", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Abstracto. Archivado el 16 de mayo de 2013 en Wayback Machine. Republicado con revisiones de 1986, "Modelos teóricos: forma matemática y contenido económico", Econometrica , 54 (6), págs. 1259 Archivado el 5 de agosto de 2017 en Wayback Machine -1270.
   • von Neumann, John y Oskar Morgenstern (1944). Teoría de los Juegos y del Comportamiento Económico . Prensa de la Universidad de Princeton.
9. Schumpeter, JA (1954). Elizabeth B. Schumpeter (ed.). Historia del Análisis Económico. Nueva York: Oxford University Press. págs. 209-212. ISBN 978-0-04-330086-2. OCLC  13498913. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
10. Schumpeter (1954) pág. 212-215
11. Schnieder, Erich (1934). "Johann Heinrich von Thünen". Econométrica . 2 (1): 1–12. doi :10.2307/1907947. ISSN  0012-9682. JSTOR  1907947. OCLC  35705710.
12. Schumpeter (1954) pág. 465-468
13. Philip Mirowski , 1991. "El cuándo, el cómo y el por qué de la expresión matemática en la historia del análisis económico", Journal of Economic Perspectives , 5(1) págs. ^{[ enlace muerto permanente ]}
14. Weintraub, E. Roy (2008). "matemáticas y economía", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 16 de mayo de 2013 en Wayback Machine .
15. Jevons, WS (1866). "Breve descripción de una teoría matemática general de la economía política", Revista de la Royal Statistical Society , XXIX (junio) págs. Leer en la Sección F de la Asociación Británica, 1862. PDF.
16. Jevons, W. Stanley (1871). Los principios de economía política, págs. 4, 25. Macmillan. La teoría de la economía política, jevons 1871.
17. Consulte el prefacio Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine de la obra de Irving Fisher de 1897, Una breve introducción al cálculo infinitesimal: diseñada especialmente para ayudar en la lectura de economía matemática y estadística .
18. Sheila C., Dow (21 de mayo de 1999). "El uso de las matemáticas en la economía". Seminario ESRC sobre comprensión pública de las matemáticas . Birmingham : Consejo de Investigaciones Económicas y Sociales . Consultado el 6 de julio de 2008 .
19. Si bien el concepto de cardinalidad ha caído en desgracia en la economía neoclásica , las diferencias entre utilidad cardinal y utilidad ordinal son menores para la mayoría de las aplicaciones.
20. Nicola, PierCarlo (2000). La economía matemática convencional en el siglo XX. Saltador. pag. 4.ISBN _ 978-3-540-67084-1. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
21. Augustin Cournot (1838, tr. 1897) Investigaciones sobre los principios matemáticos de la riqueza . Enlaces a descripción Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine y capítulos. Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine.
22. Hotelling, Harold (1990). "Estabilidad en la Competición". En Darnell, Adrian C. (ed.). Los artículos de economía recopilados de Harold Hotelling . Saltador. págs.51, 52. ISBN 978-3-540-97011-8. OCLC  20217006. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
23. "Antoine Augustin Cournot, 1801-1877". Sitio web de historia del pensamiento económico . La Nueva Escuela de Investigación Social. Archivado desde el original el 9 de julio de 2000 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
24. Gibbons, Robert (1992). Teoría de juegos para economistas aplicados. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs.14, 15. ISBN 978-0-691-00395-5.^{[ enlace muerto permanente ]}
25. Nicola, pág. 9-12
26. Edgeworth, Francis Ysidro (5 de septiembre de 1889). "La teoría matemática de la economía política: revisión de Léon Walras, Éléments d'économie politique pure" (PDF) . Naturaleza . 40 (1036): 434–436. doi :10.1038/040434a0. ISSN  0028-0836. S2CID  21004543. Archivado desde el original (PDF) el 11 de abril de 2003 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
27. Nicholson, Walter; Snyder, Christopher, pág. 350-353.
28. Dixon, Robert. "Ley Walras y Macroeconomía". Guía de leyes de Walras . Departamento de Economía, Universidad de Melbourne. Archivado desde el original el 17 de abril de 2008 . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
29. Dixon, Robert. "Una prueba formal de la ley Walras". Guía de leyes de Walras . Departamento de Economía, Universidad de Melbourne. Archivado desde el original el 30 de abril de 2008 . Consultado el 28 de septiembre de 2008 .
30. Rima, Ingrid H. (1977). "Neoclasicismo y disidencia 1890-1930". En Weintraub, Sidney (ed.). Pensamiento Económico Moderno . Prensa de la Universidad de Pensilvania. págs.10, 11. ISBN 978-0-8122-7712-8. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 31 de mayo de 2021 .
31. Heilbroner, Robert L. (1999) [1953]. Los filósofos mundanos (Séptima ed.). Nueva York: Simon y Schuster. págs. 172-175, 313. ISBN 978-0-684-86214-9. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
32. Edgeworth, Francis Ysidro (1961) [1881]. Psíquicos matemáticos. Londres: Kegan Paul [AM Kelley]. págs. 15-19. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
33. Nicola, pág. 14, 15, 258-261
34. Bowley, Arthur Lyon (1960) [1924]. La base matemática de la economía: un tratado introductorio. Oxford: Clarendon Press [Kelly]. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
35. Gillies, DB (1969). "Soluciones para juegos generales de suma distinta de cero". En Tucker, Alabama; Luce, RD (eds.). Aportaciones a la Teoría de Juegos . Anales de Matemáticas . vol. 40. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . págs. 47–85. ISBN 978-0-691-07937-0. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
36. Moss, Lawrence S. (2003). "El debate Seligman-Edgeworth sobre el análisis de la incidencia fiscal: el advenimiento de la economía matemática, 1892-1910". Historia de la Economía Política . 35 (2): 207, 212, 219, 234–237. doi :10.1215/00182702-35-2-205. ISSN  0018-2702.
37. Hotelling, Harold (1990). "Nota sobre el fenómeno fiscal de Edgeworth y las funciones de condición bajo demanda adicionales del profesor Garver". En Darnell, Adrian C. (ed.). Los artículos de economía recopilados de Harold Hotelling . Saltador. págs. 94-122. ISBN 978-3-540-97011-8. OCLC  20217006. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 26 de agosto de 2008 .
38. Herstein, IN (octubre de 1953). "Algunos métodos y técnicas matemáticas en economía". Trimestral de Matemática Aplicada . 11 (3): 249–262. doi : 10.1090/qam/60205 . ISSN  1552-4485.[Páginas. 249-62.
39. * Weintraub, E. Roy (2008). "matemáticas y economía", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 16 de mayo de 2013 en Wayback Machine .
    • _____ (2002). Cómo la economía se convirtió en una ciencia matemática . Prensa de la Universidad de Duke. Descripción y vista previa Archivado el 4 de junio de 2023 en Wayback Machine .
40. Nicholson, Walter; Snyder, Christopher (2007). "Equilibrio general y bienestar". Microeconomía intermedia y sus aplicaciones (10ª ed.). Thompson. págs.364, 365. ISBN 978-0-324-31968-2.
41. * Jolink, Albert (2006). "¿Qué salió mal con Walras?". En Backhaus, Jürgen G.; Maks, JA Hans (eds.). De Walras a Pareto . El patrimonio europeo en economía y ciencias sociales. vol. IV. Saltador. págs. 69–80. doi :10.1007/978-0-387-33757-9_6. ISBN 978-0-387-33756-2.
    • Blaug, Mark (2007). "Los teoremas fundamentales de la economía del bienestar moderna, históricamente contemplados". Historia de la Economía Política . 39 (2): 186–188. doi :10.1215/00182702-2007-001. ISSN  0018-2702. S2CID  154074343.
42. Blaug (2007), pág. 185, 187
43. Metzler, Lloyd (1948). "Revisión de Fundamentos del Análisis Económico ". Revista económica estadounidense . 38 (5): 905–910. ISSN  0002-8282. JSTOR  1811704.
44. Neumann, J. von (1937). "Über ein ökonomisches Gleichungssystem und ein Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes", Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums , 8, págs. 73–83, traducido y publicado en 1945-46, como "Un modelo de equilibrio general", Review of Economic Studies , 13, págs. 1–9.
45. Para que este problema tenga una solución única, basta con que las matrices no negativas  A y  B satisfagan una condición de irreductibilidad , generalizando la del teorema de Perron-Frobenius de matrices no negativas, que considera el problema de valores propios (simplificado)

    A − λ I q = 0,

    donde la matriz no negativa  A debe ser cuadrada y donde la matriz diagonal  I es la matriz identidad . La condición de irreductibilidad de von Neumann fue denominada hipótesis de las "ballenas y wranglers " por David Champernowne, quien proporcionó un comentario verbal y económico sobre la traducción al inglés del artículo de von Neumann. La hipótesis de Von Neumann implicaba que todo proceso económico utilizaba una cantidad positiva de cada bien económico. David Gale y John Kemeny , Oskar Morgenstern y Gerald L. Thompson dieron condiciones de "irreductibilidad" más débiles en la década de 1950 y luego Stephen M. Robinson en la década de 1970.
46. David Gale. La teoría de los modelos económicos lineales . McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
47. Morgenstern, Oskar ; Thompson, Gerald L. (1976). Teoría matemática de las economías en expansión y contracción . Libros de Lexington. Lexington, Massachusetts: DC Heath and Company. págs. xviii+277.
48. Alexander Schrijver , Teoría de la programación lineal y entera . John Wiley e hijos, 1998, ISBN 0-471-98232-6 . 
49. • Rockafellar, R. Tyrrell (1967). Procesos monótonos de tipo convexo y cóncavo . Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. págs.i+74.
    • Rockafellar, RT (1974). "Álgebra convexa y dualidad en modelos dinámicos de producción". En Josef Loz; María Loz (eds.). Modelos matemáticos en economía (Proc. Sympos. y Conf. von Neumann Models, Varsovia, 1972) . Ámsterdam: Academia de Ciencias de Holanda Septentrional y Polaca (PAN). págs. 351–378.
    • Rockafellar, RT (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.
50. Kenneth Arrow , Paul Samuelson , John Harsanyi , Sidney Afriat, Gerald L. Thompson y Nicholas Kaldor . (1989). Mohammed Doré; Sukhamoy Chakravarty; Richard Goodwin (eds.). John Von Neumann y la economía moderna . Oxford: Clarendon. pag. 261.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
51. Capítulo 9.1 "El modelo de crecimiento de von Neumann" (páginas 277–299): Yinyu Ye . Algoritmos de puntos interiores: teoría y análisis . Wiley. 1997.
52. Screpanti, Ernesto; Zamagni, Stefano (1993). Un esbozo de la historia del pensamiento económico . Nueva York: Oxford University Press . págs. 288–290. ISBN 978-0-19-828370-6. OCLC  57281275.
53. David Gale . La teoría de los modelos económicos lineales . McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
54. Morgenstern, Oskar ; Thompson, Gerald L. (1976). Teoría matemática de las economías en expansión y contracción . Libros de Lexington. Lexington, Massachusetts: DC Heath and Company. págs. xviii+277.
55. "La Naturaleza de la Programación Matemática", Glosario de Programación Matemática , Sociedad de Computación INFORMA.
56. Schmedders, Karl (2008). "Métodos de optimización numérica en economía", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición, v. 6, págs. Abstracto. Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
57. Robbins, Lionel (1935, 2ª ed.). Un ensayo sobre la naturaleza y la importancia de la ciencia económica , Macmillan, p. dieciséis.
58. Blume, Lawrence E. (2008). "dualidad", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Abstracto. Archivado el 2 de febrero de 2017 en la Wayback Machine.
59. Dixit, AK ([1976] 1990). Optimización en teoría económica , 2ª ed., Oxford. Descripción Archivado el 01 de julio de 2023 en Wayback Machine y vista previa de contenidos Archivado el 01 de julio de 2023 en Wayback Machine .
60. * Samuelson, Paul A., 1998. "Cómo surgieron las fundaciones ", Revista de literatura económica , 36 (3), págs.
    • _____ (1970). "Principios máximos en economía analítica" Archivado el 11 de octubre de 2012 en Wayback Machine , conferencia del Premio Nobel.
61. * Allan M. Feldman (3008). "economía del bienestar", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
    • Mas-Colell, Andreu , Michael D. Whinston y Jerry R. Green (1995), Teoría microeconómica , Capítulo 16. Oxford University Press, ISBN 0-19-510268-1 . Descripción Archivado el 26 de enero de 2012 en Wayback Machine y contenidos Archivado el 26 de enero de 2012 en Wayback Machine . 
62. * Geanakoplos, John ([1987] 2008). "Modelo de equilibrio general Arrow-Debreu", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
    • Arrow, Kenneth J. y Gérard Debreu (1954). "Existencia de un equilibrio para una economía competitiva", Econometrica 22(3), págs. 265-290.
63. * Bufanda, Herbert E. (2008). "cálculo de equilibrios generales", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Abstracto. Archivado el 23 de mayo de 2009 en la Wayback Machine.
     
    • Kübler, Félix (2008). "cálculo de equilibrios generales (nuevos desarrollos)", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Abstracto. Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
64. Nicola, pág. 133
65. Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson y Robert M. Solow (1958). Programación Lineal y Análisis Económico . McGraw-Hill. Enlaces de vista previa del capítulo. Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine.
66. M. Padberg, Optimización lineal y extensiones , segunda edición, Springer-Verlag, 1999.
67. Dantzig, George B. ([1987] 2008). "programación lineal", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
68. * Intriligador, Michael D. (2008). "programación no lineal", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. TOC Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
    • Blume, Lawrence E. (2008). "programación convexa", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición.
    Resumen Archivado el 18 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
    • Kuhn, HW ; Tucker, AW (1951). "Programación no lineal". Actas del segundo simposio de Berkeley . Berkeley: Prensa de la Universidad de California. págs. 481–492.
69. • Bertsekas, Dimitri P. (1999). Programación no lineal (Segunda ed.). Cambridge, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 978-1-886529-00-7.
    • Vapnyarskii, IB (2001) [1994], "Multiplicadores de Lagrange", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
    • Lasdon, León S. (1970). Teoría de optimización para grandes sistemas . Serie Macmillan en investigación de operaciones. Nueva York: The Macmillan Company. págs.xi+523. SEÑOR  0337317.
    • Lasdon, León S. (2002). Teoría de optimización para sistemas grandes (reimpresión de la edición Macmillan de 1970). Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. págs. xiii+523. SEÑOR  1888251.
    • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Dualidad abstracta para practicantes". Algoritmos de minimización y análisis convexo, Volumen II: Teoría avanzada y métodos de paquetes . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 306. Berlín: Springer-Verlag. Págs. 136-193 (y comentarios bibliográficos en las págs. 334-335). ISBN 978-3-540-56852-0. SEÑOR  1295240.
70. Lemaréchal, Claude (2001). "Relajación lagrangiana". En Michael Jünger; Denis Naddef (eds.). Optimización combinatoria computacional: artículos de la escuela de primavera celebrada en Schloß Dagstuhl, del 15 al 19 de mayo de 2000 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 2241. Berlín: Springer-Verlag. págs. 112-156. doi :10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 978-3-540-42877-0. SEÑOR  1900016. S2CID  9048698.
71. Pontryagin, LS; Boltyanski, VG, Gamkrelidze, RV, Mischenko, EF (1962). La teoría matemática de los procesos óptimos. Nueva York: Wiley. ISBN 9782881240775. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 27 de junio de 2015 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
72. * Zelikin, MI ([1987] 2008). "El principio de optimización de Pontryagin", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Enlace de vista previa Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
    • Martos, Béla (1987). "control y coordinación de la actividad económica", The New Palgrave: Diccionario de economía . Enlace descripción Archivado el 6 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
    • Brock, WA (1987). "control óptimo y dinámica económica", The New Palgrave: Diccionario de economía . Esquema Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
    • Shell, K., ed. (1967). Ensayos sobre la teoría del crecimiento económico óptimo. Cambridge, Massachusetts: Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-19036-7.]
73. Stokey, Nancy L. y Robert E. Lucas con Edward Prescott (1989). Recursive Methods in Economic Dynamics , Harvard University Press, capítulo 5. Descripción Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine y enlaces de vista previa del capítulo Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
74. Malliaris, AG (2008). "control óptimo estocástico", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 18 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
75. * Flecha, KJ; Kurz, M. (1970). Inversión pública, tasa de rendimiento y política fiscal óptima . Baltimore, Maryland: Prensa de Johns Hopkins. ISBN 978-0-8018-1124-1.Abstracto. Archivado el 9 de marzo de 2013 en Wayback Machine.
    • Sethi, SP; Thompson, GL (2000). Teoría del control óptimo: aplicaciones a la ciencia y la economía de la gestión, segunda edición . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-7923-8608-7.Desplácese hasta los enlaces de vista previa del capítulo. Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine.
76. Andrew McLennan, 2008. "teoremas del punto fijo", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 6 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
77. Weintraub, E. Roy (1977). "Teoría del equilibrio general". En Weintraub, Sidney (ed.). Pensamiento Económico Moderno . Prensa de la Universidad de Pensilvania. págs. 107-109. ISBN 978-0-8122-7712-8. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
    • Flecha, Kenneth J .; Debreu, Gerard (1954). "Existencia de un equilibrio para una economía competitiva". Econométrica . 22 (3): 265–290. doi :10.2307/1907353. ISSN  0012-9682. JSTOR  1907353.
78. Kantorovich, Leonid y Victor Polterovich (2008). "Análisis funcional", en S. Durlauf y L. Blume, ed., The New Palgrave Dictionary of Economics , 2ª edición. Abstracto. Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine , ed., Palgrave Macmillan.
79. Kantorovich, LV (1990). ""Mi viaje en la ciencia (supuesto informe a la Sociedad Matemática de Moscú)" [expandiendo Russian Math. Encuestas  42 (1987), núm. 2, págs. 233–270]". En Lev J. Leifman (ed.). Análisis funcional, optimización y economía matemática: una colección de artículos dedicados a la memoria de Leonid Vitalʹevich Kantorovich . Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press, págs. 8 a 45. ISBN 978-0-19-505729-4. SEÑOR  0898626.
80. Página 406: Polyak, BT (2002). "Historia de la programación matemática en la URSS: análisis del fenómeno (Capítulo 3 El pionero: L. V. Kantorovich, 1912-1986, págs. 405-407)". Programación Matemática . Serie  B. _ 91 (ISMP 2000, Parte 1 (Atlanta, GA), número 3): 401–416. doi :10.1007/s101070100258. SEÑOR  1888984. S2CID  13089965.
81. "Leonid Vitaliyevich Kantorovich - Conferencia premiada ("Matemáticas en economía: logros, dificultades, perspectivas")". Premio Nobel.org . Archivado desde el original el 14 de diciembre de 2010 . Consultado el 12 de diciembre de 2010 .
82. Aliprantis, Charalambos D .; Marrón, Donald J.; Burkinshaw, Owen (1990). Existencia y optimización de equilibrios competitivos . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii+284. ISBN 978-3-540-52866-1. SEÑOR  1075992.
83. Rockafellar, R. Tyrrell . Conjuga dualidad y optimización . Conferencias dadas en la Universidad Johns Hopkins, Baltimore, Maryland, junio de 1973. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Applied Mathematics, No. 16. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1974. vi+74 páginas.
84. Lester G. Telser y Robert L. Graves Análisis funcional en economía matemática: optimización sobre horizontes infinitos 1972. University of Chicago Press, 1972, ISBN 978-0-226-79190-6 . 
85. Neumann, John von y Oskar Morgenstern (1944) Teoría de los juegos y el comportamiento económico , Princeton.
86. Mas-Colell, Andreu (1985). La Teoría del equilibrio económico general: Un enfoque diferenciable . Monografías de la Sociedad Econométrica. Cambridge UP. ISBN 978-0-521-26514-0. SEÑOR  1113262.
87. Yves Balaško . Fundamentos de la Teoría del Equilibrio General , 1988, ISBN 0-12-076975-1 . 
88. Creedy, John (2008). "Francis Ysidro (1845-1926)", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
89. * Nash, John F., Jr. (1950). "El problema de la negociación", Econometrica , 18(2), págs. 155-162 Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
    • Serrano, Roberto (2008). "negociación", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
90. * Smith, Vernon L. (1992). "Teoría de juegos y economía experimental: comienzos e influencias tempranas", en ER Weintraub, ed., Hacia una historia de la teoría de juegos , págs. 241- Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine 282.
    • _____ (2001). "Economía experimental", Enciclopedia internacional de ciencias sociales y del comportamiento , págs. 5100–5108. Resumen Archivado el 14 de octubre de 2018 en Wayback Machine por secta. 1.1 y 2.1.
    • Plott, Charles R. y Vernon L. Smith, ed. (2008). Manual de resultados de economía experimental , v. 1, Elsevier, parte 4, Juegos, cap. 45-66 enlaces de vista previa.
    • Shubik, Martín (2002). "Teoría de juegos y juegos experimentales", en R. Aumann y S. Hart, ed., Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas , Elsevier, v. 3, págs. Resumen Archivado el 7 de noviembre de 2018 en Wayback Machine .
91. Del Diccionario de Economía New Palgrave (2008), segunda edición:
    • Gul, Faruk . "Economía del comportamiento y teoría de juegos". Abstracto. Archivado el 7 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
    • Camerer, Colin F. "teoría de juegos conductuales". Abstracto. Archivado el 23 de noviembre de 2011 en la Wayback Machine.
92. * Rasmusen, Eric (2007). Juegos e Información , 4ª ed. Descripción Archivado el 24 de junio de 2017 en Wayback Machine y enlaces de vista previa del capítulo. Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine.
    • Aumann, R. y S. Hart, ed. (1992, 2002). Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas v. 1, enlaces en el cap. 3-6 Archivado el 16 de agosto de 2017 en Wayback Machine y v.3, cap. 43 Archivado el 14 de octubre de 2018 en Wayback Machine .
93. * Tirol, Jean (1988). La teoría de la organización industrial , MIT Press. Enlaces de descripción y vista previa de capítulos, págs. vii-ix, "Organización general", págs. 5-6, y "Teoría de juegos no cooperativos: manual de guía del usuario", cap. 11, págs. 423-59.
    • Bagwell, Kyle y Asher Wolinsky (2002). "Teoría de juegos y organización industrial", cap. 49, Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas ,
    v.3, págs.1851 Archivado el 2 de enero de 2016 en Wayback Machine -1895.
94. • Shubik, Martín (1981). "Modelos y métodos de teoría de juegos en economía política", en Handbook of Mathematical Economics , v. 1, págs. 285 ^{[ enlace muerto ]} -330.
95. * Diccionario de economía New Palgrave (2008), segunda edición:
         Myerson, Roger B. "diseño de mecanismos". Abstracto. Archivado el 23 de noviembre de 2011 en Wayback Machine
         _____. "principio de revelación". Abstracto. Archivado el 16 de mayo de 2013 en Wayback Machine
         Sandholm, Tuomas. "Computación en el diseño de mecanismos". Abstracto. Archivado el 23 de noviembre de 2011 en la Wayback Machine.
    • Nisan, Noam y Amir Ronen (2001). "Diseño de mecanismos algorítmicos", Juegos y comportamiento económico , 35(1-2), págs. 166-196 Archivado el 14 de octubre de 2018 en Wayback Machine .
    • Nisan, Noam y otros , ed. (2007). Teoría de juegos algorítmicos , Cambridge University Press. Descripción Archivado el 5 de mayo de 2012 en Wayback Machine .
96. * Halpern, Joseph Y. (2008). "Informática y teoría de juegos", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 5 de noviembre de 2017 en Wayback Machine .
            
    • Shoham, Yoav (2008). "Informática y teoría de juegos", Comunicaciones de la ACM , 51(8), págs.
    75-79 Archivado el 26 de abril de 2012 en Wayback Machine .
            
    • Roth, Alvin E. (2002). "El economista como ingeniero: teoría de juegos, experimentación y computación como herramientas para la economía del diseño", Econometrica , 70 (4), págs.
97. * Kirman, Alan (2008). "La economía como sistema complejo", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
    • Tesfatsion, Leigh (2003). "Economía computacional basada en agentes: modelado de economías como sistemas adaptativos complejos", Ciencias de la información , 149 (4), págs.
98. Scott E. Page (2008), "modelos basados ​​en agentes", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 10 de febrero de 2018 en Wayback Machine .
99. * Holanda, John H. y John H. Miller (1991). "Agentes adaptativos artificiales en la teoría económica", American Economic Review , 81(2), págs. 365-370 Archivado el 5 de enero de 2011 en Wayback Machine pág. 366.
    • Arthur, W. Brian , 1994. "Razonamiento inductivo y racionalidad limitada", American Economic Review , 84(2), págs. 406-411.
    • Schelling, Thomas C. (1978 [2006]). Micromotivos y macrocomportamiento , Norton. Descripción Archivado el 2 de noviembre de 2017 en Wayback Machine , vista previa Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
    • Sargent, Thomas J. (1994). Racionalidad limitada en macroeconomía , Oxford. Descripción y enlaces de la primera página de vista previa del capítulo Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
100. * Judd, Kenneth L. (2006). "Análisis computacionalmente intensivos en economía", Manual de economía computacional , v. 2, cap. 17, Introducción, pág. 883. págs. 881-893. PDF prepublicado Archivado el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine .
       • _____ (1998). Métodos numéricos en economía , MIT Press. Enlaces a descripciones y avances de capítulos.
101. * Tesfatsion, Leigh (2002). "Economía computacional basada en agentes: economías en crecimiento desde abajo hacia arriba", Artificial Life , 8(1), págs.55-82. Resumen Archivado el 6 de marzo de 2020 en Wayback Machine y PDF previo a la publicación.
       • _____ (1997). "Cómo los economistas pueden conseguir vida", en WB Arthur, S. Durlauf y D. Lane, eds., La economía como sistema complejo en evolución, II , págs. Addison-Wesley. PDF previo a la publicación Archivado el 15 de abril de 2012 en Wayback Machine .
102. Tesfatsion, Leigh (2006), "Economía computacional basada en agentes: un enfoque constructivo de la teoría económica", cap. 16, Manual de economía computacional , v. 2, parte 2, estudio ACE del sistema económico. Resumen Archivado el 9 de agosto de 2018 en Wayback Machine y PDF prepublicado Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
103. Axelrod, Robert (1997). La complejidad de la cooperación: modelos de competencia y colaboración basados ​​en agentes , Princeton. Descripción Archivado el 2 de enero de 2018 en Wayback Machine , contenidos Archivado el 2 de enero de 2018 en Wayback Machine y vista previa Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
104. * Leombruni, Roberto y Matteo Richiardi, ed. (2004), Industria y dinámica laboral: el enfoque de economía computacional basada en agentes. Publicaciones científicas mundiales ISBN 981-256-100-5 . Descripción Archivado el 27 de julio de 2010 en Wayback Machine y enlaces de vista previa de capítulos Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .  
     • Epstein, Josué M. (2006). "Organizaciones adaptativas en crecimiento: un enfoque computacional basado en agentes", en Ciencias sociales generativas: estudios en modelado computacional basado en agentes , págs. 309 - [1] Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine 344. Descripción Archivado el 1 de julio de 2012 -26 en Wayback Machine y resumen Archivado el 19 de octubre de 2016 en Wayback Machine .
105. Klosa, Tomas B. y Bart Nooteboom, 2001. "Economía de costos de transacción computacional basada en agentes", Journal of Economic Dynamics and Control 25 (3–4), págs. Abstracto. Archivado el 22 de junio de 2020 en Wayback Machine.
106. Axtell, Robert (2005). "La complejidad del intercambio", Economic Journal , 115(504, Features), págs. F193-F210 Archivado el 8 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
107. Sandholm, Tuomas W. y Victor R. Lesser (2001). "Contratos de compromiso nivelado e incumplimiento estratégico", Juegos y comportamiento económico , 35 (1-2), págs. 212-270 Archivado el 4 de diciembre de 2020 en el Máquina de Wayback .
108. * Colander, David , Peter Howitt , Alan Kirman, Axel Leijonhufvud y Perry Mehrling (2008). "Más allá de los modelos DSGE: hacia una macroeconomía de base empírica", American Economic Review , 98(2), págs. PDF previo a la publicación.
     • Sargent, Thomas J. (1994). Racionalidad limitada en macroeconomía , Oxford. Descripción y enlaces de la primera página de vista previa del capítulo Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine .
109. Tesfatsion, Leigh (2006), "Economía computacional basada en agentes: un enfoque constructivo de la teoría económica", cap. 16, Manual de economía computacional , v. 2, págs. 832–865. Resumen Archivado el 9 de agosto de 2018 en Wayback Machine y PDF prepublicado Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
110. Smith, Vernon L. (2008). "economía experimental", Diccionario de economía New Palgrave , segunda edición. Resumen Archivado el 19 de enero de 2012 en Wayback Machine .
111. Duffy, John (2006). "Modelos basados ​​en agentes y experimentos con sujetos humanos", cap. 19, Manual de economía computacional , v.2, págs. 949-101. Resumen Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback Machine .
112. * Namatame, Akira y Takao Terano (2002). "La liebre y la tortuga: progreso acumulativo en la simulación basada en agentes", en Enfoques basados ​​en agentes en sistemas económicos y sociales complejos . págs. 3-14, IOS Press. Descripción Archivado el 5 de abril de 2012 en Wayback Machine .
     • Fagiolo, Giorgio, Alessio Moneta y Paul Windrum (2007). "Una guía crítica para la validación empírica de modelos basados ​​en agentes en economía: metodologías, procedimientos y problemas abiertos", Economía computacional , 30, págs. 195 Archivado el 1 de julio de 2023 en Wayback Machine –226.
113. * Tesfatsion, Leigh (2006). "Economía computacional basada en agentes: un enfoque constructivo de la teoría económica", cap. 16, Manual de economía computacional , v. 2, [págs. 831–880] sección. 5. Resumen Archivado el 9 de agosto de 2018 en Wayback Machine y PDF prepublicado Archivado el 11 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
     • Judd, Kenneth L. (2006). "Análisis computacionalmente intensivos en economía", Manual de economía computacional , v. 2, cap. 17, págs. 881-893. PDF prepublicado Archivado el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine .
     • Tesfatsion, Leigh y Kenneth L. Judd, ed. (2006). Manual de economía computacional , v. 2. Descripción Archivado el 6 de marzo de 2012 en Wayback Machine y vista previa del capítulo
     Enlaces.
114. Brockhaus, Oliver; Farkas, Michael; Ferraris, Andrés; Largo, Douglas; Overhaus, Marcus (2000). Derivados de Renta Variable y Modelos de Riesgo de Mercado. Libros de riesgo. págs. 13-17. ISBN 978-1-899332-87-8. Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 17 de agosto de 2008 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
115. Trazador de líneas, Gaines H. (2002). "Revistas básicas de economía". Consulta Económica . 40 (1): 140. doi :10.1093/ei/40.1.138.
116. Stigler, George J .; Stigler, Steven J.; Friedland, Claire (abril de 1995). "Las revistas de economía". La Revista de Economía Política . 103 (2): 331–359. doi :10.1086/261986. ISSN  0022-3808. JSTOR  2138643. S2CID  154780520.
117. Stigler y col. revisó artículos de revistas en revistas económicas principales (según la definición de los autores, pero en el sentido de revistas generalmente no especializadas) a lo largo del siglo XX. Se observó que los artículos de revistas que en algún momento utilizaron representación geométrica o notación matemática utilizaban ese nivel de matemáticas como su "nivel más alto de técnica matemática". Los autores se refieren a "técnicas verbales" como aquellas que transmiten el tema de la pieza sin notación de geometría , álgebra o cálculo .
118. Stigler y otros, pág. 342
119. Sutter, Daniel y Rex Pjesky. "¿Dónde publicaría Adam Smith hoy?: La casi ausencia de investigaciones sin matemáticas en las principales revistas" (mayo de 2007). [2] Archivado el 10 de octubre de 2017 en Wayback Machine.
120. Flecha, Kenneth J. (abril de 1960). "La obra de Ragnar Frisch, econometrista". Econométrica . 28 (2): 175-192. doi :10.2307/1907716. ISSN  0012-9682. JSTOR  1907716.
121. Bjerkholt, Olav (julio de 1995). "Ragnar Frisch, editor de Econométrica 1933-1954". Econométrica . 63 (4): 755–765. doi :10.2307/2171799. ISSN  0012-9682. JSTOR  1906940.
122. Lange, Oskar (1945). "El alcance y método de la economía". Revista de Estudios Económicos . 13 (1): 19–32. doi :10.2307/2296113. ISSN  0034-6527. JSTOR  2296113. S2CID  4140287.
123. Aldrich, John (enero de 1989). "Autonomía". Documentos económicos de Oxford . 41 (1, Historia y Metodología de la Econometría): 15–34. doi : 10.1093/oxfordjournals.oep.a041889. ISSN  0030-7653. JSTOR  2663180.
124. Epstein, Roy J. (1987). Una historia de la econometría . Contribuciones al análisis económico. Holanda del Norte. págs. 13-19. ISBN 978-0-444-70267-8. OCLC  230844893.
125. Colador, David C. (2004). "La extraña persistencia del modelo IS-LM". Historia de la Economía Política . 36 (Suplemento anual): 305–322. CiteSeerX 10.1.1.692.6446 . doi :10.1215/00182702-36-Suppl_1-305. ISSN  0018-2702. S2CID  6705939. 
126. Brems, Hans (octubre de 1975). "Marshall en Matemáticas". Revista de Derecho y Economía . 18 (2): 583–585. doi :10.1086/466825. ISSN  0022-2186. JSTOR  725308. S2CID  154881432.
127. Frigg, R.; Hartman, S. (27 de febrero de 2006). Edward N. Zalta (ed.). Modelos en ciencia. Enciclopedia de Filosofía de Stanford. Stanford, California: Laboratorio de Investigación en Metafísica. ISSN  1095-5054. Archivado desde el original el 9 de junio de 2007 . Consultado el 16 de agosto de 2008 .
128. "Blog de Greg Mankiw: un ejercicio para mis lectores". Archivado desde el original el 7 de agosto de 2019 . Consultado el 7 de agosto de 2019 .
129. Cochrane, John H. (21 de octubre de 2017). "The Grumpy Economist: el álgebra de Greg". El economista gruñón . Archivado desde el original el 1 de julio de 2023 . Consultado el 7 de agosto de 2019 .
130. Ekelund, Robert; Hébert, Robert (2014). Una historia de la teoría y el método económicos (6ª ed.). Long Grove, Illinois: Waveland Press. págs. 574–575.
131. Hayek, Friedrich (septiembre de 1945). "El uso del conocimiento en la sociedad". Revista económica estadounidense . 35 (4): 519–530. JSTOR  1809376.
132. Heilbroner, Robert (mayo-junio de 1999). "¿El fin de la ciencia lúgubre?". Revista Desafío . Archivado desde el original el 10 de diciembre de 2008.
133. Beed y Owen, 584
134. Boland, Luisiana (2007). "Siete décadas de metodología económica". En IC Jarvie; K. Milford; DW Miller (eds.). Karl Popper: una evaluación del centenario . Londres: Ashgate Publishing. pag. 219.ISBN _ 978-0-7546-5375-2. Consultado el 10 de junio de 2008 .
135. Cama, Clive; Kane, Owen (1991). "¿Cuál es la crítica a la matematización de la economía?". Kyklos . 44 (4): 581–612. doi :10.1111/j.1467-6435.1991.tb01798.x.
136. Friedman, Milton (1953). Ensayos de economía positiva . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs.30, 33, 41. ISBN 978-0-226-26403-5.
137. Keynes, John Maynard (1936). La Teoría General del Empleo, el Interés y el Dinero. Cambridge: Macmillan. pag. 297.ISBN _ 978-0-333-10729-4. Archivado desde el original el 28 de mayo de 2019 . Consultado el 30 de abril de 2009 .
138. Paul A. Samuelson (1952). "Teoría económica y matemáticas: una evaluación", American Economic Review , 42 (2), págs. 56, 64-65 (prensa + ).
139. DW Bushaw y RW Clower (1957). Introducción a la Economía Matemática , p. vii. Archivado el 18 de marzo de 2022 en Wayback Machine.
140. Solow, Robert M. (20 de marzo de 1988). "El amplio, amplio mundo de la riqueza (The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Editado por John Eatwell, Murray Milgate y Peter Newman. Cuatro volúmenes. 4.103 págs. Nueva York: Stockton Press. $ 650)". New York Times . Archivado desde el original el 1 de agosto de 2017 . Consultado el 11 de febrero de 2017 .

Otras lecturas

• Alpha C. Chiang y Kevin Wainwright, [1967] 2005. Métodos fundamentales de economía matemática , McGraw-Hill Irwin. Contenido.
• E. Roy Weintraub , 1982. Matemáticas para economistas , Cambridge. Contenido.
• Stephen Glaister , 1984. Métodos matemáticos para economistas , 3ª ed., Blackwell. Contenido.
• Akira Takayama, 1985. Economía Matemática , 2ª ed. Cambridge. Contenido.
• Nancy L. Stokey y Robert E. Lucas con Edward Prescott , 1989. Métodos recursivos en dinámica económica , Harvard University Press. Enlaces de descripción y avance de capítulos.
• AK Dixit , [1976] 1990. Optimización en teoría económica , 2ª ed., Oxford. Descripción y vista previa de contenidos.
• Kenneth L. Judd , 1998. Métodos numéricos en economía , MIT Press. Enlaces de descripción y vista previa del capítulo.
• Michael Carter, 2001. Fundamentos de la economía matemática , MIT Press. Contenido.
• Ferenc Szidarovszky y Sándor Molnár, 2002. Introducción a la teoría de matrices: con aplicaciones a los negocios y la economía , World Scientific Publishing. Descripción y vista previa.
• D. Wade Hands, 2004. Introducción a la economía matemática , 2ª ed. Oxford. Contenido.
• Giancarlo Gandolfo, [1997] 2009. Dinámica económica , 4ª ed., Springer. Descripción y vista previa.
• John Stachurski, 2009. Dinámica económica: teoría y computación , MIT Press. Descripción y vista previa.

enlaces externos

• Objetivos y alcance de la Revista de Economía Matemática
• Economía Matemática y Matemática Financiera en Curlie
• Erasmus Mundus Master QEM - Modelos y Métodos de Economía Cuantitativa, Los Modelos y Métodos de Economía Cuantitativa - QEM