Problema de optimizacion

En matemáticas , ingeniería , informática y economía , un problema de optimización es el problema de encontrar la mejor solución entre todas las soluciones factibles .

Los problemas de optimización se pueden dividir en dos categorías, dependiendo de si las variables son continuas o discretas :

Un problema de optimización con variables discretas se conoce como optimización discreta , en el que un objeto como un número entero , una permutación o un gráfico debe encontrarse a partir de un conjunto contable .
Un problema con variables continuas se conoce como optimización continua , en el que se debe encontrar un valor óptimo a partir de una función continua . Pueden incluir problemas restringidos y problemas multimodales.

Problema de optimización continua

La forma estándar de un problema de optimización continua es ^[1]

{\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimizar} }}&&f(x)\\&\operatorname {sujeto\;a} &&g_{i}(x)\leq 0, \quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{j}(x)=0,\quad j=1,\dots ,p\end{alineado}}

$f : ℝ n \to ℝ$ es la función objetivo que se minimizará sobre elvector $x$ $de n$ variables ,
$g i (x) \leq 0$ se llaman restricciones de desigualdad
$h j (x) = 0$ se llaman restricciones de igualdad , y
$metro \geq 0$ y $p \geq 0$ .

Si $m = p = 0$ , el problema es un problema de optimización sin restricciones. Por convención, la forma estándar define un problema de minimización . Un problema de maximización se puede tratar negando la función objetivo.

Problema de optimización combinatoria

Formalmente, un problema de optimización combinatoria $A$ es cuádruple ^{[ cita necesaria ]} $(I, f, m, g)$ , donde

$I$ es un conjunto de instancias;
dada una instancia $x \in I$ , $f (x)$ es el conjunto de soluciones factibles;
dada una instancia $x$ y una solución factible $y$ de $x$ , $m (x, y)$ denota la medida de $y$ , que suele ser un real positivo .
$g$ es la función objetivo y es $min$ o $max$ .

El objetivo entonces es encontrar para algún caso $x$ una solución óptima , es decir, una solución factible $y$ con

m(x,y)=g\left\{m(x,y'):y'\in f(x)\right\}.

Para cada problema de optimización combinatoria, existe un problema de decisión correspondiente que pregunta si existe una solución factible para alguna medida particular $m 0$ . Por ejemplo, si hay un gráfico $G$ que contiene los vértices $u$ y $v$ , un problema de optimización podría ser "encontrar una ruta de $u$ a $v$ que utilice la menor cantidad de aristas". Este problema podría tener una respuesta de, digamos, 4. Un problema de decisión correspondiente sería "¿hay un camino de $u$ a $v$ que utilice 10 aristas o menos?" Este problema puede responderse con un simple "sí" o "no".

En el campo de los algoritmos de aproximación , los algoritmos están diseñados para encontrar soluciones casi óptimas a problemas difíciles. La versión de decisión habitual es entonces una definición inadecuada del problema, ya que sólo especifica soluciones aceptables. Aunque podríamos introducir problemas de decisión adecuados, el problema se caracteriza más naturalmente como un problema de optimización. ^[2]

Ver también

Problema de conteo (complejidad) – Tipo de problema computacional
Optimización del diseño
Principio variacional de Ekeland : teorema que afirma que existen soluciones casi óptimas para algunos problemas de optimización.
Problema de función - Tipo de problema computacional
problema de guantes
Investigación operativa : disciplina relativa a la aplicación de métodos analíticos avanzados.
Satisfactorio : heurística cognitiva de búsqueda de una decisión aceptable; no es necesario encontrar el óptimo, solo una solución "suficientemente buena".
Problema de búsqueda : tipo de problema computacional representado por una relación binaria.
Programación semiinfinita : problema de optimización con un número finito de variables y un número infinito de restricciones, o un número infinito de variables y un número finito de restricciones.

Referencias

^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 129.ISBN 978-0-521-83378-3.
^ Ausiello, Giorgio; et al. (2003), Complejidad y aproximación (edición corregida), Springer, ISBN 978-3-540-65431-5

enlaces externos

"Cómo la configuración del tráfico optimiza el ancho de banda de la red". IPC . 12 de julio de 2016 . Consultado el 13 de febrero de 2017 .