Número Real

Número que representa una cantidad continua

Un símbolo para el conjunto de los números reales.

En matemáticas , un número real es un número que se puede utilizar para medir una cantidad unidimensional continua , como una distancia , una duración o una temperatura . Aquí, continuo significa que pares de valores pueden tener diferencias arbitrariamente pequeñas. ^[a] Todo número real puede representarse casi de forma única mediante una expansión decimal infinita . ^{[b] [1]}

Los números reales son fundamentales en el cálculo (y más generalmente en todas las matemáticas), en particular por su papel en las definiciones clásicas de límites , continuidad y derivadas . ^[C]

El conjunto de números reales se denota por R o ^[2] y a veces se le llama "los reales". ^[3] El adjetivo real , utilizado en el siglo XVII por René Descartes , distingue los números reales de los números imaginarios como las raíces cuadradas de −1 . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los números reales incluyen los números racionales , como el entero −5 y la fracción 4/3 . El resto de los números reales se llaman números irracionales . Algunos números irracionales (así como todos los racionales) son raíz de un polinomio con coeficientes enteros, como por ejemplo la raíz cuadrada √ 2 = 1,414... ; estos se llaman números algebraicos . También hay números reales que no lo son, como por ejemplo π = 3,1415... ; estos se llaman números trascendentales . ^[4]

Los números reales pueden considerarse como todos los puntos de una recta llamada recta numérica o recta real , donde los puntos correspondientes a números enteros ( ..., −2, −1, 0, 1, 2,... ) están igualmente espaciados. .

Los números reales se pueden considerar como todos los puntos de una recta numérica.

Por el contrario, la geometría analítica es la asociación de puntos en líneas (especialmente líneas de eje ) a números reales de modo que los desplazamientos geométricos sean proporcionales a las diferencias entre los números correspondientes.

Las descripciones informales anteriores de los números reales no son suficientes para garantizar la exactitud de las demostraciones de teoremas que involucran números reales. La comprensión de que se necesitaba una mejor definición y la elaboración de tal definición fue un desarrollo importante de las matemáticas del siglo XIX y es la base del análisis real , el estudio de funciones reales y secuencias con valores reales . Una definición axiomática actual es que los números reales forman el campo ordenado completo de Dedekind único ( hasta un isomorfismo ) . ^[d] Otras definiciones comunes de números reales incluyen clases de equivalencia de secuencias de Cauchy (de números racionales), cortes de Dedekind y representaciones decimales infinitas . Todas estas definiciones satisfacen la definición axiomática y, por tanto, son equivalentes.

Propiedades caracterizantes

Los números reales se caracterizan completamente por sus propiedades fundamentales que se pueden resumir diciendo que forman un cuerpo ordenado que es completo de Dedekind . Aquí, "completamente caracterizado" significa que existe un isomorfismo único entre dos campos ordenados completos de Dedekind y, por tanto, que sus elementos tienen exactamente las mismas propiedades. Esto implica que se pueden manipular números reales y calcular con ellos, sin saber cómo definirlos; esto es lo que hicieron los matemáticos y físicos durante varios siglos antes de que se proporcionaran las primeras definiciones formales en la segunda mitad del siglo XIX. Consulte Construcción de números reales para obtener detalles sobre estas definiciones formales y la prueba de su equivalencia.

Aritmética

Los números reales forman un campo ordenado . Intuitivamente, esto significa que se les aplican métodos y reglas de la aritmética elemental . Más precisamente, existen dos operaciones binarias , suma y multiplicación , y una de orden total que tienen las siguientes propiedades.

• La suma de dos números reales a y b produce un número real denotado que es la suma de a y b . ${\displaystyle a+b,}$
• La multiplicación de dos números reales a y b produce un número real denotado o que es el producto de a y b . ${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle a\times b,}$
• Tanto la suma como la multiplicación son conmutativas , lo que significa que y para cada número real a y b . ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle ab=ba}$
• Tanto la suma como la multiplicación son asociativas , lo que significa que y para cada número real a , byc , y que se pueden omitir paréntesis en ambos casos. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$
• La multiplicación es distributiva sobre la suma, lo que significa que para cada número real a , b y c . ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$
• Existe un número real llamado cero y denotado 0 que es una identidad aditiva , lo que significa que por cada número real a . ${\displaystyle a+0=a}$
• Hay un número real denotado 1 que es identidad multiplicativa , lo que significa que por cada número real a . ${\displaystyle a\times 1=a}$
• Cada número real a tiene un inverso aditivo denotado. Esto significa que para cada número real a . ${\displaystyle -a.}$ ${\displaystyle a+(-a)=0}$
• Cada número real distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo denotado o. Esto significa que para cada número real distinto de cero a . ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a}}.}$ ${\displaystyle aa^{-1}=1}$
• El orden total se denota porque es un orden total y significa dos propiedades: dados dos números reales a y b , exactamente uno de o es verdadero; y si y entonces uno también tiene ${\displaystyle a<b.}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b<a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b<c,}$ ${\displaystyle a<c.}$
• El orden es compatible con la suma y la multiplicación, lo que significa que implica para todo número real c , y está implícito por y ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a+c<b+c}$ ${\displaystyle 0<ab}$ ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle 0<b.}$

De las anteriores se pueden deducir muchas otras propiedades. En particular:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$por cada número real a
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$por cada número real distinto de cero a

Operaciones auxiliares

Se utilizan habitualmente varias otras operaciones, que pueden deducirse de las anteriores.

• Resta : la resta de dos números reales a y b da como resultado la suma de a y el inverso aditivo − b de b ; eso es,
  $${\displaystyle a-b=a+(-b).}$$
• División : la división de un número real a por un número real b distinto de cero se denota por o y se define como la multiplicación de a por el inverso multiplicativo de b ; eso es, ${\textstyle {\frac {a}{b}},}$ ${\displaystyle a/b}$
  $${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{-1}.}$$
• Valor absoluto : el valor absoluto de un número real a , denotado mide su distancia del cero, y se define como ${\displaystyle |a|,}$
  $${\displaystyle |a|=\max(a,-a).}$$

Relaciones de orden auxiliar

El orden total considerado anteriormente se denota y se lee como " a es menor que b ". También se utilizan habitualmente otras tres relaciones de orden : ${\displaystyle a<b}$

• Mayor que : leído como " a es mayor que b ", se define como si y sólo si ${\displaystyle a>b,}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle b<a.}$
• Menor o igual a : leído como " a es menor o igual a b " o " a no es mayor que b ", se define como o equivalentemente como ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle (a<b){\text{ or }}(a=b),}$ ${\displaystyle {\text{not }}(b<a).}$
• Mayor o igual a : leído como " a es mayor o igual a b " o " a no es menor que b ", se define como o equivalentemente como ${\displaystyle a\geq b,}$ ${\displaystyle (b<a){\text{ or }}(a=b),}$ ${\displaystyle {\text{not }}(a<b).}$

Enteros y fracciones como números reales.

Los números reales 0 y 1 se identifican comúnmente con los números naturales 0 y 1 . Esto permite identificar cualquier número natural n con la suma de n números reales igual a 1 .

Esta identificación se puede lograr identificando un número entero negativo (donde es un número natural) con el inverso aditivo del número real identificado con De manera similar, un número racional (donde p y q son números enteros y ) se identifica con la división de los números reales identificados. con p y q . ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle q\neq 0}$

Estas identificaciones hacen del conjunto de los números racionales un subcampo ordenado de los números reales. La completitud de Dedekind que se describe a continuación implica que algunos números reales, como los que no son números racionales; se les llama números irracionales . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$

Las identificaciones anteriores tienen sentido, ya que los números naturales, los enteros y los números reales generalmente no se definen por su naturaleza individual, sino por propiedades definitorias ( axiomas ). Así, la identificación de los números naturales con algunos números reales se justifica por el hecho de que los axiomas de Peano se satisfacen con estos números reales, tomándose la suma con 1 como función sucesora .

Formalmente, se tiene un homomorfismo inyectivo de monoides ordenados desde los números naturales hasta los enteros, un homomorfismo inyectivo de anillos ordenados desde los números racionales y un homomorfismo inyectivo de campos ordenados desde los números reales . Las identificaciones consisten en no distinguir la fuente y el imagen de cada homomorfismo inyectivo, y así escribir ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .}$

Estas identificaciones son formalmente abusos de notación y, en general, son inofensivas. Sólo en situaciones muy específicas es necesario evitarlos y reemplazarlos utilizando explícitamente los homomorfismos anteriores. Este es el caso de las matemáticas constructivas y la programación informática . En el último caso, estos homomorfismos se interpretan como conversiones de tipos que a menudo el compilador puede realizar automáticamente .

Completitud de Dedekind

Las propiedades anteriores no distinguen los números reales de los números racionales . Esta distinción la proporciona la completitud de Dedekind , que establece que todo conjunto de números reales con un límite superior admite un límite superior mínimo . Esto significa lo siguiente. Un conjunto de números reales está acotado arriba si existe un número real tal que para todos ; a tal se le llama límite superior de Entonces, la completitud de Dedekind significa que, si S está acotado arriba, tiene un límite superior que es menor que cualquier otro límite superior. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S.}$

La completitud de Dedekind implica otros tipos de completitud (ver más abajo), pero también tiene algunas consecuencias importantes.

• Propiedad de Arquímedes : para cada número real x , existe un número entero n tal que (tome, donde está el límite superior mínimo de los números enteros menores que x ). ${\displaystyle x<n}$ ${\displaystyle n=u+1,}$ ${\displaystyle u}$
• De manera equivalente, si x es un número real positivo, existe un entero positivo n tal que . ${\displaystyle 0<{\frac {1}{n}}<x}$
• Todo número real positivo x tiene raíz cuadrada positiva , es decir, existe un número real positivo tal que ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{2}=x.}$
• Todo polinomio univariado de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real (si el coeficiente principal es positivo, tome el límite superior mínimo de los números reales para los cuales el valor del polinomio es negativo).

Las dos últimas propiedades se resumen diciendo que los números reales forman un campo real cerrado . Esto implica la versión real del teorema fundamental del álgebra , es decir, que todo polinomio con coeficientes reales puede factorizarse en polinomios con coeficientes reales de grado como máximo dos.

Representación decimal

Una propiedad clave de los números reales es su representación decimal . Una representación decimal consta de un entero no negativo k y una secuencia infinita de dígitos decimales (enteros no negativos menores que 10)

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$

eso esta escrito

${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots .}$

(Comúnmente se supone, sin pérdida de generalidad, que o o ) Por ejemplo, para uno tiene etc. ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$ ${\displaystyle 3.14159\cdots ,}$ ${\displaystyle k=0,}$ ${\displaystyle b_{0}=3,}$ ${\displaystyle a_{1}=1,}$ ${\displaystyle a_{2}=4,}$

Dicha representación decimal especifica un número real no negativo único como el límite superior mínimo de las fracciones decimales que se obtienen truncando la secuencia. Más precisamente, dado un entero positivo n , el truncamiento de la secuencia en el lugar n es la secuencia finita que define el número decimal ${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}\cdots b_{0}.a_{1}\cdots a_{n}\\&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{j}}{10^{j}}}\end{aligned}}}$

El número real definido por la secuencia es el límite superior mínimo que existe según la completitud de Dedekind. ${\displaystyle D_{n},}$

Por el contrario, dado un número real no negativo a , se puede definir una representación decimal de a por inducción , de la siguiente manera. Definir como representación decimal del número entero más grande tal que (este número entero existe debido a la propiedad de Arquímedes). Entonces, suponiendo por inducción que se ha definido la fracción decimal para uno define como el dígito más grande tal que y se establece ${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}\leq a}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i<n,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n-1}+a_{n}/10^{n}\leq a,}$ ${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+a_{n}/10^{n}.}$

Se pueden utilizar las propiedades definitorias de los números reales para demostrar que a es el límite superior mínimo de. Entonces, la secuencia de dígitos resultante se llama representación decimal de a . ${\displaystyle D_{n}.}$

Se puede obtener otra representación decimal reemplazando con en la construcción anterior. Estas dos representaciones son idénticas, a menos que a sea una fracción decimal de la forma. En este caso, en la primera representación decimal, todos son cero para y, en la segunda representación, todos 9. (consulte 0,999... para más detalles). ${\displaystyle \leq a}$ ${\displaystyle <a}$ ${\textstyle {\frac {m}{10^{h}}}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n>h,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

En resumen, existe una biyección entre los números reales y las representaciones decimales que no terminan con una infinidad de 9 finales.

Las consideraciones anteriores se aplican directamente para cada base numérica simplemente reemplazando 10 con y 9 con ${\displaystyle B\geq 2,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B-1.}$

Completitud topológica

Una razón principal para usar números reales es que muchas secuencias tienen límites . Más formalmente, los reales son completos (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes , que es un sentido diferente al de la completitud del orden de Dedekind en la sección anterior):

Una secuencia ( x _n ) de números reales se llama secuencia de Cauchy si para cualquier ε > 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _norte - x _metro | es menor que ε para todos los n y m que son mayores que N . Esta definición, proporcionada originalmente por Cauchy , formaliza el hecho de que los x _n eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca unos de otros.

Una secuencia ( x _n ) converge al límite x si sus elementos eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca de x , es decir, si para cualquier ε > 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _norte - x | es menor que ε para n mayor que N .

Toda secuencia convergente es una secuencia de Cauchy, y lo contrario es cierto para los números reales, y esto significa que el espacio topológico de los números reales está completo.

El conjunto de los números racionales no está completo. Por ejemplo, la secuencia (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...), donde cada término suma un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es Cauchy pero no converge a un número racional (en los números reales, en cambio, converge a la raíz cuadrada positiva de 2).

La propiedad de completitud de los reales es la base sobre la que se construye el cálculo y, más generalmente , el análisis matemático . En particular, la prueba de que una secuencia es una secuencia de Cauchy permite demostrar que una secuencia tiene un límite, sin calcularlo, e incluso sin saberlo.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial.

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

converge a un número real para cada x , porque las sumas

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

se puede hacer arbitrariamente pequeño (independientemente de M ) eligiendo N suficientemente grande. Esto demuestra que la secuencia es de Cauchy y, por tanto, converge, demostrando que está bien definida para cada x . ${\displaystyle e^{x}}$

"El campo ordenado completo"

Los números reales suelen describirse como "el campo ordenado completo", frase que puede interpretarse de varias maneras.

En primer lugar, un pedido puede estar completo en red . Es fácil ver que ningún campo ordenado puede ser reticular completo, porque no puede tener ningún elemento más grande (dado cualquier elemento z , z + 1 es mayor).

Además, un orden puede ser completo de Dedekind, ver § Enfoque axiomático. El resultado de unicidad al final de esa sección justifica el uso de la palabra "el" en la frase "campo ordenado completo" cuando este es el sentido de "completo" al que se refiere. Este sentido de completitud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de cortes de Dedekind, ya que esa construcción comienza a partir de un campo ordenado (los racionales) y luego forma la terminación de Dedekind del mismo de manera estándar.

Estas dos nociones de integridad ignoran la estructura del campo. Sin embargo, un grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura uniforme , y las estructuras uniformes tienen una noción de completitud ; la descripción en § Integridad es un caso especial. (Nos referimos a la noción de completitud en espacios uniformes en lugar de la noción relacionada y más conocida para espacios métricos , ya que la definición de espacio métrico se basa en tener ya una caracterización de los números reales ). campo ordenado completo, pero es el único campo de Arquímedes uniformemente completo y, de hecho, a menudo se escucha la frase "campo de Arquímedes completo" en lugar de "campo ordenado completo". Todo campo de Arquímedes uniformemente completo también debe ser completo de Dedekind (y viceversa), lo que justifica el uso de "el" en la frase "el campo de Arquímedes completo". Esta sensación de completitud está más estrechamente relacionada con la construcción de los reales a partir de secuencias de Cauchy (la construcción que se lleva a cabo íntegramente en este artículo), ya que comienza con un campo de Arquímedes (los racionales) y forma la compleción uniforme del mismo en un campo estándar. forma. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Pero el uso original de la frase "campo completo de Arquímedes" fue por David Hilbert , quien quiso decir algo más con ella. Quiso decir que los números reales forman el campo de Arquímedes más grande en el sentido de que todos los demás campos de Arquímedes son un subcampo de . Así, es "completo" en el sentido de que no se le puede añadir nada más sin que deje de ser un campo de Arquímedes. Esta sensación de completitud está más estrechamente relacionada con la construcción de los reales a partir de números surrealistas , ya que esa construcción comienza con una clase adecuada que contiene cada campo ordenado (los surreales) y luego selecciona de él el subcampo de Arquímedes más grande. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cardinalidad

El conjunto de todos los números reales es incontable , en el sentido de que si bien tanto el conjunto de todos los números naturales {1, 2, 3, 4,...} como el conjunto de todos los números reales son conjuntos infinitos , no existe nadie- función a uno de los números reales a los números naturales. La cardinalidad del conjunto de todos los números reales se denota por y se llama cardinalidad del continuo . Es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales (denotado y llamado 'aleph-nada' ), e igual a la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto de los números naturales. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

La afirmación de que no existe ningún subconjunto de reales con cardinalidad estrictamente mayor y estrictamente menor que se conoce como hipótesis del continuo (CH). No es demostrable ni refutable utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (ZFC), el fundamento estándar de las matemáticas modernas. De hecho, algunos modelos de ZFC cumplen con CH, mientras que otros lo violan. ^[5] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Otras propiedades

Como espacio topológico, los números reales son separables . Esto se debe a que el conjunto de los racionales, que es contable, es denso en los números reales. Los números irracionales también son densos en los números reales, sin embargo son incontables y tienen la misma cardinalidad que los reales.

Los números reales forman un espacio métrico : la distancia entre xey se define como el valor absoluto | x − y | . En virtud de ser un conjunto totalmente ordenado, también llevan una topología de orden ; la topología que surge de la métrica y la que surge del orden son idénticas, pero producen diferentes presentaciones de la topología: en la topología del orden como intervalos ordenados, en la topología métrica como bolas épsilon. La construcción de cortes de Dedekind utiliza la presentación de topología de orden, mientras que la construcción de secuencias de Cauchy utiliza la presentación de topología métrica. Los reales forman un espacio métrico contráctil (por lo tanto conectado y simplemente conectado ), separable y completo de dimensión  1 de Hausdorff. Los números reales son localmente compactos pero no compactos . Hay varias propiedades que las especifican de forma única; por ejemplo, todas las topologías de orden ilimitadas, conectadas y separables son necesariamente homeomórficas con respecto a los reales.

Todo número real no negativo tiene raíz cuadrada en , aunque ningún número negativo la tiene. Esto muestra que el orden está determinado por su estructura algebraica. Además, todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades constituyen el principal ejemplo de un campo cerrado real . Demostrar esto es la primera mitad de una prueba del teorema fundamental del álgebra . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los reales llevan una medida canónica , la medida de Lebesgue , que es la medida de Haar en su estructura como grupo topológico normalizado de modo que el intervalo unitario [0;1] tiene medida 1. Existen conjuntos de números reales que no son medibles por Lebesgue, por ejemplo, conjuntos Vitali .

El axioma supremo de los reales se refiere a subconjuntos de los reales y, por tanto, es un enunciado lógico de segundo orden. No es posible caracterizar los reales únicamente con lógica de primer orden : el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso contable de números reales que satisfacen exactamente las mismas oraciones en lógica de primer orden que los números reales mismos. El conjunto de números hiperreales satisface las mismas oraciones de primer orden que . Los campos ordenados que satisfacen las mismas oraciones de primer orden que se denominan modelos no estándar de . Esto es lo que hace que el análisis no estándar funcione; al demostrar un enunciado de primer orden en algún modelo no estándar (que puede ser más fácil que demostrarlo en ), sabemos que el mismo enunciado también debe ser cierto para . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El campo de los números reales es una extensión del campo de los números racionales y, por tanto, puede verse como un espacio vectorial sobre . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección garantiza la existencia de una base de este espacio vectorial: existe un conjunto B de números reales tal que cada número real puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de elementos de este conjunto, usando sólo coeficientes racionales, y tal que ningún elemento de B sea una combinación lineal racional de los demás. Sin embargo, este teorema de existencia es puramente teórico, ya que dicha base nunca ha sido descrita explícitamente. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El teorema del buen orden implica que los números reales pueden estar bien ordenados si se supone el axioma de elección: existe un orden total con la propiedad de que cada subconjunto no vacío de tiene un elemento mínimo en este orden. (El ordenamiento estándar ≤ de los números reales no es un buen ordenamiento ya que, por ejemplo, un intervalo abierto no contiene un elemento mínimo en este ordenamiento). Nuevamente, la existencia de tal buen ordenamiento es puramente teórica, ya que no ha sido descrito explícitamente. Si se supone V = L además de los axiomas de ZF, se puede demostrar que un buen orden de los números reales se puede definir explícitamente mediante una fórmula. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un número real puede ser computable o no computable; ya sea algorítmicamente aleatorio o no; y aritméticamente aleatorio o no.

Historia

Los números reales incluyen los números racionales , que incluyen a los números enteros , que a su vez incluyen a los números naturales. ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} )}$

Los egipcios utilizaron fracciones simples alrededor del año 1000 a. C.; los " Shulba Sutras " védicos ("Las reglas de los acordes") en c. 600 a. C. incluyen lo que puede ser el primer "uso" de números irracionales. El concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por los primeros matemáticos indios como Manava ( c. 750-690 a. C.) , quien era consciente de que las raíces cuadradas de ciertos números, como 2 y 61, no se podían determinar con exactitud. ^[7] Alrededor del año 500 a.C., los matemáticos griegos liderados por Pitágoras también se dieron cuenta de que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

La Edad Media trajo consigo la aceptación del cero , los números negativos , los enteros y los números fraccionarios , primero por los matemáticos indios y chinos , y luego por los matemáticos árabes , quienes también fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos (esto último fue posible por el desarrollo del álgebra). ^[8] Los matemáticos árabes fusionaron los conceptos de " número " y " magnitud " en una idea más general de los números reales. ^[9] El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( c. 850–930) fue el primero en aceptar números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas , o como coeficientes en una ecuación (a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas) . raíces ). ^[10] En Europa, tales números, no conmensurables con la unidad numérica, fueron llamados irracionales o surd ("sordos").

En el siglo XVI, Simon Stevin creó la base de la notación decimal moderna e insistió en que no hay diferencia entre números racionales e irracionales a este respecto.

En el siglo XVII, Descartes introdujo el término "real" para describir las raíces de un polinomio , distinguiéndolas de las "imaginarias".

En los siglos XVIII y XIX se trabajó mucho sobre números irracionales y trascendentales. Lambert (1761) dio una prueba errónea de que π no puede ser racional; Legendre (1794) completó la prueba ^[11] y demostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. ^[12] Liouville (1840) demostró que ni e ni e ² pueden ser raíz de una ecuación cuadrática entera , y luego estableció la existencia de números trascendentales; Cantor (1873) amplió y simplificó enormemente esta prueba. ^[13] Hermite (1873) demostró que e es trascendental, y Lindemann (1882), demostró que π es trascendental. La prueba de Lindemann fue simplificada mucho por Weierstrass (1885), Hilbert (1893), Hurwitz , ^[14] y Gordan . ^[15]

Los desarrolladores del cálculo utilizaron números reales sin haberlos definido rigurosamente. La primera definición rigurosa fue publicada por Cantor en 1871. En 1874, demostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito , pero el conjunto de todos los números algebraicos es contablemente infinito . La primera prueba de incontabilidad de Cantor fue diferente de su famoso argumento diagonal publicado en 1891.

Definiciones formales

El sistema de números reales se puede definir axiomáticamente hasta un isomorfismo , que se describe a continuación. También hay muchas maneras de construir "el" sistema de números reales, y un enfoque popular implica comenzar con los números naturales, luego definir los números racionales algebraicamente y finalmente definir los números reales como clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o como cortes de Dedekind, que son ciertos. subconjuntos de números racionales. ^[16] Otro enfoque es comenzar a partir de alguna axiomatización rigurosa de la geometría euclidiana (digamos de Hilbert o de Tarski ) y luego definir geométricamente el sistema de números reales. Se ha demostrado que todas estas construcciones de los números reales son equivalentes, en el sentido de que los sistemas numéricos resultantes son isomórficos . ${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$

Enfoque axiomático

Denotemos el conjunto de todos los números reales. Entonces: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El conjunto es un campo , lo que significa que la suma y la multiplicación están definidas y tienen las propiedades habituales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El campo está ordenado, lo que significa que existe un orden total ≥ tal que para todos los números reales x , y y z : ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • si x ≥ y , entonces x + z ≥ y + z ;
  • si x ≥ 0 e y ≥ 0, entonces xy ≥ 0.
• El orden es completo de Dedekind, lo que significa que cada subconjunto no vacío S de con un límite superior en tiene un límite superior mínimo (también conocido como supremum) en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La última propiedad se aplica a los números reales pero no a los números racionales (ni a otros campos ordenados más exóticos ). Por ejemplo, tiene un límite superior racional (por ejemplo, 1,42), pero no menos racional, porque no es racional. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Estas propiedades implican la propiedad de Arquímedes (que no está implícita en otras definiciones de completitud), que establece que el conjunto de números enteros no tiene límite superior en los reales. De hecho, si esto fuera falso, entonces los números enteros tendrían un límite superior mínimo N ; entonces, N – 1 no sería un límite superior, y habría un número entero n tal que n > N – 1 y, por tanto, n + 1 > N , lo cual es una contradicción con la propiedad del límite superior de N.

Los números reales se especifican únicamente mediante las propiedades anteriores. Más precisamente, dados dos campos ordenados completos de Dedekind y , existe un isomorfismo de campo único desde a . Esta unicidad nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático. ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$

Para otra axiomatización de , véase la axiomatización de los reales de Tarski . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Construcción a partir de los números racionales.

Los números reales se pueden construir como una completación de los números racionales, de tal manera que una secuencia definida por una expansión decimal o binaria como (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converge a un único número real. —en este caso π . Para detalles y otras construcciones de números reales, véase construcción de los números reales .

Aplicaciones y conexiones

Física

En las ciencias físicas, la mayoría de las constantes físicas, como la constante gravitacional universal, y las variables físicas, como la posición, la masa, la velocidad y la carga eléctrica, se modelan utilizando números reales. De hecho, las teorías físicas fundamentales como la mecánica clásica , el electromagnetismo , la mecánica cuántica , la relatividad general y el modelo estándar se describen utilizando estructuras matemáticas, típicamente variedades suaves o espacios de Hilbert , que se basan en los números reales, aunque las mediciones reales de cantidades físicas son de exactitud y precisión finitas .

En ocasiones, los físicos han sugerido que una teoría más fundamental reemplazaría los números reales con cantidades que no formen un continuo, pero tales propuestas siguen siendo especulativas. ^[17]

Lógica

Los números reales suelen formalizarse utilizando la axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , pero algunos matemáticos estudian los números reales con otros fundamentos lógicos de las matemáticas. En particular, los números reales también se estudian en matemáticas inversas y en matemáticas constructivas . ^[18]

Los números hiperreales desarrollados por Edwin Hewitt , Abraham Robinson y otros amplían el conjunto de los números reales introduciendo números infinitesimales e infinitos, lo que permite construir el cálculo infinitesimal de una manera más cercana a las intuiciones originales de Leibniz , Euler , Cauchy y otros.

La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson enriquece sintácticamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel al introducir un predicado unario "estándar". En este enfoque, los infinitesimales son elementos (no "estándar") del conjunto de los números reales (en lugar de ser elementos de una extensión del mismo, como en la teoría de Robinson).

La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del conjunto de los números reales es ; es decir, el número cardinal infinito más pequeño después de , la cardinalidad de los números enteros. Paul Cohen demostró en 1963 que es un axioma independiente de los demás axiomas de la teoría de conjuntos; es decir: se puede elegir la hipótesis del continuo o su negación como axioma de la teoría de conjuntos, sin contradicción. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Cálculo

Las calculadoras electrónicas y las computadoras no pueden operar con números reales arbitrarios, porque las computadoras finitas no pueden almacenar directamente una cantidad infinita de dígitos u otras representaciones infinitas. Tampoco suelen operar con números reales arbitrarios definibles , que son incómodos de manipular.

En cambio, las computadoras suelen trabajar con aproximaciones de precisión finita llamadas números de punto flotante , una representación similar a la notación científica . La precisión alcanzable está limitada por el espacio de almacenamiento de datos asignado para cada número, ya sea como números de punto fijo , punto flotante o de precisión arbitraria , o alguna otra representación. La mayoría de los cálculos científicos utilizan aritmética binaria de punto flotante, a menudo una representación de 64 bits con alrededor de 16 dígitos decimales de precisión . Los números reales satisfacen las reglas habituales de la aritmética , pero los números de punto flotante no . El campo del análisis numérico estudia la estabilidad y precisión de algoritmos numéricos implementados con aritmética aproximada.

Alternativamente, los sistemas de álgebra informática pueden operar con cantidades irracionales exactamente manipulando fórmulas simbólicas para ellas (como o ) en lugar de su aproximación racional o decimal. ^[19] Pero la aritmética exacta y simbólica también tiene limitaciones: por ejemplo, son computacionalmente más caras; en general no es posible determinar si dos expresiones simbólicas son iguales (el problema de las constantes ); y las operaciones aritméticas pueden causar una explosión exponencial en el tamaño de la representación de un solo número (por ejemplo, elevar al cuadrado un número racional aproximadamente duplica el número de dígitos en su numerador y denominador, y elevar al cuadrado un polinomio aproximadamente duplica su número de términos), lo que abruma las operaciones finitas. almacenamiento informático. ^[20] ${\textstyle {\sqrt {2}},}$ ${\textstyle \arctan 5,}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

Un número real se llama computable si existe un algoritmo que proporcione sus dígitos. Debido a que sólo hay un número contable de algoritmos, ^[21] pero un número incontable de reales, casi todos los números reales no pueden ser computables. Además, la igualdad de dos números computables es un problema indecidible . Algunos constructivistas aceptan la existencia sólo de aquellos reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero aún así sólo son contables.

Teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos , específicamente en la teoría descriptiva de conjuntos , el espacio de Baire se utiliza como sustituto de los números reales ya que estos últimos tienen algunas propiedades topológicas (conectividad) que son un inconveniente técnico. Los elementos del espacio de Baire se denominan "reales".

Vocabulario y notación.

El conjunto de todos los números reales se denota ( negrita de pizarra ) o R (negrita vertical). Como está naturalmente dotado de la estructura de un campo , la expresión campo de los números reales se utiliza con frecuencia cuando se consideran sus propiedades algebraicas. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los conjuntos de números reales positivos y números reales negativos a menudo se indican y , ^[22] respectivamente; y también se utilizan. ^[23] Los números reales no negativos se pueden anotar, pero a menudo se ve este conjunto anotado ^[22] En matemáticas francesas, los números reales positivos y los números reales negativos comúnmente incluyen cero , y estos conjuntos se anotan respectivamente y ^[23] En este Entendiendo, los respectivos conjuntos sin cero se llaman números reales estrictamente positivos y números reales estrictamente negativos, y se anotan y ^[23] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}.}$

La notación se refiere al conjunto de n -tuplas de elementos de ( espacio de coordenadas real ), que pueden identificarse con el producto cartesiano de n copias de . Es un espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo de los números reales, a menudo llamado el espacio de coordenadas de dimensión n ; este espacio puede identificarse con el espacio euclidiano de n dimensiones tan pronto como se haya elegido un sistema de coordenadas cartesiano en este último. En esta identificación se identifica un punto del espacio euclidiano con la tupla de sus coordenadas cartesianas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

En matemáticas, real se usa como adjetivo, lo que significa que el campo subyacente es el campo de los números reales (o el campo real ). Por ejemplo, matriz real , polinomio real y álgebra de Lie real . La palabra también se usa como sustantivo , es decir, un número real (como en "el conjunto de todos los reales").

Generalizaciones y extensiones.

Los números reales se pueden generalizar y extender en varias direcciones diferentes:

• Los números complejos contienen soluciones a todas las ecuaciones polinómicas y, por tanto, son un campo algebraicamente cerrado a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un campo ordenado.
• El sistema de números reales afínmente extendido suma dos elementos +∞ y −∞ . Es un espacio compacto . Ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo, pero todavía tiene un orden total; además, es una celosía completa .
• La recta proyectiva real suma sólo un valor ∞ . También es un espacio compacto. Una vez más, ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento distinto de cero por cero. Tiene orden cíclico descrito por una relación de separación .
• La línea real larga pega ℵ ₁ * + ℵ ₁ copias de la línea real más un solo punto (aquí ℵ ₁ * denota el orden inverso de ℵ ₁ ) para crear un conjunto ordenado que es "localmente" idéntico a los números reales, pero de alguna manera más; por ejemplo, hay una incrustación de ℵ ₁ que preserva el orden en la línea real larga pero no en los números reales. La recta real larga es el conjunto ordenado más grande, completo y localmente de Arquímedes. Al igual que con los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un campo o grupo aditivo.
• Los campos ordenados que extienden los reales son los números hiperreales y los números surrealistas ; ambos contienen números infinitesimales e infinitamente grandes y, por lo tanto, son campos ordenados no arquimedianos .
• Los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices complejas cuadradas autoadjuntas ) generalizan los reales en muchos aspectos: pueden ordenarse (aunque no totalmente), son completos, todos sus valores propios son reales y forman un Álgebra asociativa real . Los operadores definidos positivos corresponden a los reales positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Completitud de los números reales.
• fracción continua
• Números reales definibles
• Números reales positivos
• Análisis reales

Notas

1. Esto no es suficiente para distinguir los números reales de los números racionales ; También se requiere una propiedad de completitud .
2. Los números racionales terminales pueden tener dos expansiones decimales (ver 0,999... ); los demás números reales tienen exactamente una expansión decimal.
3. Los límites y la continuidad se pueden definir en la topología general sin hacer referencia a números reales, pero estas generalizaciones son relativamente recientes y se utilizan sólo en casos muy específicos.
4. Más precisamente, dados dos campos completos totalmente ordenados, existe un isomorfismo único entre ellos. Esto implica que la identidad es el automorfismo de campo único de los reales que es compatible con el ordenamiento.

Referencias

Citas

1. "Número real". Referencia de Oxford . 2011-08-03.
2. Weisstein, Eric W. "Número real". Wolfram MathWorld . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
3. "real" . Diccionario de inglés Oxford (3ª ed.). 2008. 'real', n.2 , B.4. Matemáticas. Un número real. Generalmente en plural
4. "Número real". Enciclopedia Británica .
5. Koellner, Peter (2013). "La hipótesis del continuo". En Zalta, Edward N. (ed.). La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Universidad Stanford.
6. Moschovakis, Yiannis N. (1980), "5. El universo construible" , Teoría descriptiva de conjuntos , Holanda Septentrional, págs. 274-285, ISBN 978-0-444-85305-9
7. TK Puttaswamy, "Los logros de los antiguos matemáticos indios", págs. En: Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000), Matemáticas entre culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1.
8. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999), "Matemáticas árabes: ¿brillantez olvidada?", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
9. Matvievskaya, Galina (1987), "La teoría de los irracionales cuadráticos en las matemáticas orientales medievales", Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York , 500 (1): 253–77 [254], Bibcode :1987NYASA.500..253M, doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID  121416910
10. Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", p. 148, en Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Matemáticas entre culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
11. Beckmann, Petr (1971). Una historia de π (PI) . Prensa de San Martín. pag. 170.ISBN _ 9780312381851.
12. Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi desatado, Springer, pág. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, consultado el 15 de noviembre de 2015.
13. Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: obras maestras desde Newton hasta Lebesgue, Princeton University Press, p. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, consultado el 17 de febrero de 2015 , Cantor encontró un atajo notable para llegar a la conclusión de Liouville con una fracción del trabajo.
14. Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
15. Gordon, Paul (1893). "Trascendenz von e und π". Annalen Matemáticas . 43 (2–3): 222–224. doi :10.1007/bf01443647. S2CID  123203471.
16. "Conferencia n.º 1" (PDF) . 18.095 Ciclos de Conferencias de Matemáticas . 2015-01-05.
17. Wheeler, John Archibald (1986). "Hermann Weyl y la unidad del conocimiento: en la vinculación de cuatro misterios: el "cómo es posible" de la existencia, el tiempo, el continuo matemático y el sí o no discontinuo de la física cuántica, puede estar la clave para una nueva visión profunda. ". Científico americano . 74 (4): 366–75. Código bibliográfico : 1986AmSci..74..366W. JSTOR  27854250.
    Bengtsson, Ingemar (2017). "El número detrás del SIC-POVM más simple". Fundamentos de la Física . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.09087 . Código Bib : 2017FoPh...47.1031B. doi :10.1007/s10701-017-0078-3. S2CID  118954904.
18. Obispo, Errett; Bridges, Douglas (1985), Análisis constructivo , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 279, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15066-4, Capitulo 2.
19. Cohen, Joel S. (2002), Álgebra informática y computación simbólica: algoritmos elementales , vol. 1, AK Peters, pág. 32, ISBN 978-1-56881-158-1
20. Trefethen, Lloyd N. (2007). "Calcular numéricamente con funciones en lugar de números" (PDF) . Matemáticas en Informática . 1 (1): 9–19. doi :10.1007/s11786-007-0001-y.
21. Hein, James L. (2010), "14.1.1", Estructuras discretas, lógica y computabilidad (3 ed.), Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, consultado el 15 de noviembre de 2015
22. Schumacher, Carol (1996). Capítulo Cero: Nociones Fundamentales de la Matemática Abstracta . Addison-Wesley. págs. 114-115. ISBN 9780201826531.
23. École Normale Supérieure de París , "Nombres réels" ("Números reales") Archivado el 8 de mayo de 2014 en Wayback Machine , p. 6

Fuentes

• Bos, Henk JM (2001). Redefinición de la exactitud geométrica: la transformación de Descartes del concepto moderno temprano de construcción . Fuentes y Estudios en Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Saltador. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8. ISBN 978-1-4612-6521-4.
• Bottazzini, Umberto (1986). El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo desde Euler hasta Weierstrass . Saltador. ISBN 9780387963020.
• Cantor, Georg (1874). " Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen " [Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales]. Diario de Crelle (en alemán). 77 : 258–62.
• Dieudonné, Jean (1960). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica.
• Feferman, Salomón (1964). Los sistemas numéricos: fundamentos del álgebra y el análisis . Addison-Wesley.
• Howie, John M. (2001). Análisis reales . Serie de Matemáticas de Pregrado de Springer. Saltador. doi :10.1007/978-1-4471-0341-7. ISBN 978-1-85233-314-0.
• Katz, Robert (1964). Análisis Axiomático . Brezo.
• Krantz, David H.; Luce, R. Duncan ; Suppes, Patricio ; Tversky, Amós (1971). Fundamentos de la medición, vol. 1 . Prensa académica. ISBN 9780124254015.vol. 2, 1989. vol. 3, 1990.
• Mac Lane, Saunders (1986). "4. Números reales" . Matemáticas: forma y función . Saltador. ISBN 9780387962177.
• Landau, Edmund (1966). Fundamentos del análisis (3ª ed.). Chelsea. ISBN 9780828400794.Traducido del alemán Grundlagen der Analysis, 1930.
• Stevenson, Federico W. (2000). Explorando los números reales . Prentice Hall. ISBN 9780130402615.
• Stillwell, John (2013). Los números reales: una introducción a la teoría y el análisis de conjuntos . Textos de Pregrado en Matemáticas. Saltador. doi :10.1007/978-3-319-01577-4. ISBN 978-3-319-01576-7.

enlaces externos

• "Número real", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]