Construcción de los números reales.

En matemáticas , existen varias formas equivalentes de definir los números reales . Una de ellas es que forman un campo ordenado completo que no contiene ningún campo ordenado completo más pequeño. Tal definición no prueba que exista un campo ordenado tan completo, y la prueba de existencia consiste en construir una estructura matemática que satisfaga la definición.

El artículo presenta varias de estas construcciones. ^[1] Son equivalentes en el sentido de que, dado el resultado de dos construcciones cualesquiera, existe un isomorfismo único de campo ordenado entre ellas. Esto resulta de la definición anterior y es independiente de construcciones particulares. Estos isomorfismos permiten identificar los resultados de las construcciones y, en la práctica, olvidar qué construcción se ha elegido.

Definiciones axiomáticas

Una definición axiomática de los números reales consiste en definirlos como los elementos de un cuerpo ordenado completo. ^{[2] [3] [4]} Esto significa lo siguiente: Los números reales forman un conjunto , comúnmente denominado , que contiene dos elementos distinguidos denominados 0 y 1, y sobre el cual se definen dos operaciones binarias y una relación binaria ; las operaciones se llaman suma y multiplicación de números reales y se denotan respectivamente con + y × ; la relación binaria es desigualdad , denotada Además, se deben satisfacer las siguientes propiedades llamadas axiomas . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq .}$

La existencia de tal estructura es un teorema , que se demuestra construyendo dicha estructura. Una consecuencia de los axiomas es que esta estructura es única hasta un isomorfismo, y así, los números reales pueden usarse y manipularse, sin hacer referencia al método de construcción.

Axiomas

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$es un campo bajo suma y multiplicación. En otras palabras,
   • Para todos los x , y y z en , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z y x × ( y × z ) = ( x × y ) × z . ( asociatividad de suma y multiplicación) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x e y en , x + y = y + x y x × y = y × x . ( conmutatividad de la suma y la multiplicación) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x , y y z en , x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ). ( distributividad de la multiplicación sobre la suma) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x en , x + 0 = x . (existencia de identidad aditiva ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • 0 no es igual a 1, y para todo x en , x × 1 = x . (existencia de identidad multiplicativa) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para cada x in , existe un elemento − x in , tal que x + (− x ) = 0. (existencia de inversos aditivos ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para cada x ≠ 0 in , existe un elemento x ⁻¹ in , tal que x × x ⁻¹ = 1. (existencia de inversos multiplicativos) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
2. ${\displaystyle \mathbb {R} }$Está totalmente ordenado para . En otras palabras, ${\displaystyle \leq }$
   • Para todo x en , x ≤ x . ( reflexividad ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x e y en , si x ≤ y y y ≤ x , entonces x = y . ( antisimetría ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x , y y z en , si x ≤ y y y ≤ z , entonces x ≤ z . ( transitividad ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x e y en , x ≤ y o y ≤ x . ( totalidad ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. La suma y la multiplicación son compatibles con el orden. En otras palabras,
   • Para todo x , y y z en , si x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z . (preservación del orden bajo adición) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x e y en , si 0 ≤ x y 0 ≤ y , entonces 0 ≤ x × y (preservación del orden bajo multiplicación) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
4. El orden ≤ es completo en el siguiente sentido: cada subconjunto no vacío que está acotado arriba tiene un límite superior mínimo . En otras palabras, ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Si A es un subconjunto no vacío de , y si A tiene un límite superior en entonces A tiene un límite superior mínimo u , tal que para cada límite superior v de A , u ≤ v . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

En la propiedad de límite superior mínimo

El axioma 4, que requiere que el orden sea completo de Dedekind , implica la propiedad de Arquímedes .

El axioma es crucial en la caracterización de los reales. Por ejemplo, el cuerpo totalmente ordenado de los números racionales Q satisface los tres primeros axiomas, pero no el cuarto. En otras palabras, los modelos de los números racionales también son modelos de los tres primeros axiomas.

Tenga en cuenta que el axioma no es primero ordenable , ya que expresa una afirmación sobre colecciones de reales y no solo sobre números individuales. Como tales, los reales no están dados por una teoría lógica de primer orden .

En modelos

Un modelo de números reales es una estructura matemática que satisface los axiomas anteriores. A continuación se dan varios modelos. Dos modelos cualesquiera son isomórficos; entonces, los números reales son únicos hasta los isomorfismos.

Decir que dos modelos cualesquiera son isomórficos significa que para dos modelos cualesquiera existe una biyección que preserva tanto las operaciones de campo como el orden. Explícitamente, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0_{\mathbb {R} },1_{\mathbb {R} },+_{\mathbb {R} },\times _{\mathbb {R} },\leq _{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S}),}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to S}$

• f es tanto inyectiva como sobreyectiva .
• f (0 _ℝ ) = 0 _S y f (1 _ℝ ) = 1 _S .
• f ( x + _ℝ y ) = f ( x ) + _S f ( y ) y f ( x × _ℝ y ) = f ( x ) × _S f ( y ) , para todos los x e y en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• x ≤ _ℝ y si y sólo si f ( x ) ≤ _S f ( y ) , para todo x e y en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

La axiomatización de los reales de Tarski

Alfred Tarski dio una axiomatización sintética alternativa de los números reales y su aritmética , que consta de sólo los 8 axiomas que se muestran a continuación y apenas cuatro nociones primitivas : un conjunto llamado números reales , denotado , una relación binaria sobre llamada orden , denotado por el operador infijo <, una operación binaria llamada suma , denotada por el operador infijo +, y la constante 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axiomas de orden (primitivas: , <): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 1 . Si x < y , entonces no y < x . Es decir, "<" es una relación asimétrica .

Axioma 2 . Si x  <  z , existe una y tal que x  <  y y y  <  z . En otras palabras, "<" es denso en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 3 . "<" es Dedekind completo . Más formalmente, para todo X ,  Y  ⊆  , si para todo x  ∈  X y y  ∈  Y , x  <  y , entonces existe una z tal que para todo x  ∈  X y y  ∈  Y , si z  ≠  x y z  ≠  y , entonces x  <  z y z  <  y . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para aclarar un poco la afirmación anterior, sean X  ⊆  e Y  ⊆  . Ahora definimos dos verbos comunes en inglés de una manera particular que se adapta a nuestro propósito: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

X precede a Y si y sólo si para cada x  ∈  X y cada y  ∈  Y , x  <  y .

El número real z separa X e Y si y sólo si para cada x  ∈  X con x  ≠  z y cada y  ∈  Y con y  ≠  z , x  <  z y z  <  y .

Entonces el axioma 3 se puede expresar como:

"Si un conjunto de reales precede a otro conjunto de reales, entonces existe al menos un número real que separa los dos conjuntos".

Axiomas de suma (primitivas: , <, +): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 4 . x  + ( y  +  z ) = ( x  +  z ) +  y .

Axioma 5 . Para todo x , y , existe una z tal que x  +  z  =  y .

Axioma 6 . Si x  +  y  <  z  +  w , entonces x  <  z o y  <  w .

Axiomas para uno (primitivas: , <, +, 1): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 7 . 1 ∈  . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 8 . 1 < 1 + 1.

Estos axiomas implican que es un grupo abeliano ordenado linealmente bajo suma con elemento distinguido 1. También es completo de Dedekind y divisible . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Construcciones explícitas de modelos.

No demostraremos que ningún modelo de los axiomas sea isomorfo. Esta prueba se puede encontrar en numerosos libros de texto modernos sobre análisis o teoría de conjuntos. Sin embargo, esbozaremos las definiciones y propiedades básicas de varias construcciones, porque cada una de ellas es importante por razones tanto matemáticas como históricas. Los tres primeros, debidos a Georg Cantor / Charles Méray , Richard Dedekind / Joseph Bertrand y Karl Weierstrass , ocurrieron con unos pocos años de diferencia. Cada uno tiene ventajas y desventajas. Una motivación importante en los tres casos fue la instrucción de los estudiantes de matemáticas.

Construcción a partir de secuencias de Cauchy.

Un procedimiento estándar para forzar la convergencia de todas las secuencias de Cauchy en un espacio métrico es agregar nuevos puntos al espacio métrico en un proceso llamado finalización .

${\displaystyle \mathbb {R} }$se define como la finalización de Q con respecto a la métrica | x - y |, como se detallará a continuación (para completar Q con respecto a otras métricas, consulte números p -ádicos ).

Sea R el conjunto de sucesiones de Cauchy de números racionales. Es decir, secuencias

x1 , x2 , x3 _, ..._​​

de números racionales tales que para todo ε racional > 0 , existe un número entero N tal que para todos los números naturales m , n > N , | x _metro - x _norte | < ε . Aquí las barras verticales indican el valor absoluto.

Las secuencias de Cauchy ( x _n ) y ( y _n ) se pueden sumar y multiplicar de la siguiente manera:

( x _norte ) + ( y _norte ) = ( x _norte + y _norte )

( x _norte ) × ( y _norte ) = ( x _norte × y _norte ).

Dos sucesiones de Cauchy se llaman equivalentes si y sólo si la diferencia entre ellas tiende a cero. Esto define una relación de equivalencia que es compatible con las operaciones definidas anteriormente, y se puede demostrar que el conjunto R de todas las clases de equivalencia satisface todos los axiomas de los números reales. Podemos incrustar Q en R identificando el número racional r con la clase de equivalencia de la secuencia ( r , r , r ,…) .

La comparación entre números reales se obtiene definiendo la siguiente comparación entre secuencias de Cauchy: ( x _n ) ≥ ( y _n ) si y sólo si x es equivalente a y o existe un número entero N tal que x _n ≥ y _n para todo n > norte .

Por construcción, todo número real x está representado por una secuencia de Cauchy de números racionales. Esta representación está lejos de ser única; toda secuencia racional que converge a x es una representación de x . Esto refleja la observación de que a menudo se pueden utilizar diferentes secuencias para aproximar el mismo número real. ^[5]

El único axioma de los números reales que no se desprende fácilmente de las definiciones es el de completitud de ≤, es decir, la propiedad del límite superior mínimo . Se puede demostrar de la siguiente manera: Sea S un subconjunto no vacío de R y U sea un límite superior para S. Sustituyendo un valor mayor si es necesario, podemos suponer que U es racional. Dado que S no está vacío, podemos elegir un número racional L tal que L < s para algunos s en S. Ahora defina secuencias de racionales ( _un ) _y ( ln ) de la siguiente manera:

Establezca u ₀ = U y l ₀ = L .

Para cada n considere el número:

m _norte = ( u _norte + l _norte )/2

Si m _n es un límite superior para el conjunto S :

u _{norte +1} = m _norte y l _{norte +1} = l _norte

De lo contrario, establezca:

l _{norte +1} = metro _norte y tu _{norte +1} = tu _norte

Esto define dos secuencias de Cauchy de racionales, por lo que tenemos números reales l = ( l _n ) y u = ( u _n ) . Es fácil demostrar, por inducción sobre n , que:

u _n es un límite superior para S para todo n

y:

l _n nunca es un límite superior para S para cualquier n

Por tanto, u es un límite superior para S. Para ver que es un límite superior mínimo, observe que el límite de ( u _n  −  l _n ) es 0, por lo que l  =  u . Ahora supongamos que b < u = l es un límite superior más pequeño para S . Dado que ( l _n ) es monótono creciente, es fácil ver que b < l _n para algún n . Pero l _n no es un límite superior para S y, por lo tanto, tampoco lo es b . Por tanto, u es el límite superior mínimo para S y ≤ es completo.

La notación decimal habitual se puede traducir a secuencias de Cauchy de forma natural. Por ejemplo, la notación π = 3,1415... significa que π es la clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy (3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...). La ecuación 0,999... = 1 establece que las sucesiones (0, 0,9, 0,99, 0,999,...) y (1, 1, 1, 1,...) son equivalentes, es decir, su diferencia converge a 0.

Una ventaja de construir R como la finalización de Q es que esta construcción no es específica de un ejemplo; También se utiliza para otros espacios métricos.

La construcción de Dedekind recorta

Dedekind utilizó su corte para construir los números reales irracionales .

Un corte de Dedekind en un campo ordenado es una partición del mismo, ( A , B ), tal que A no está vacío y está cerrado hacia abajo, B no está vacío y está cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor . Los números reales se pueden construir como cortes de Dedekind de números racionales. ^{[6] [7]}

Por conveniencia podemos tomar el conjunto inferior como representante de cualquier corte de Dedekind dado , ya que lo determina completamente . Al hacer esto, podemos pensar intuitivamente que un número real está representado por el conjunto de todos los números racionales más pequeños. Más detalladamente, un número real es cualquier subconjunto del conjunto de números racionales que cumple las siguientes condiciones: ^[8] ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle (A,B)\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$

1. ${\displaystyle r}$no está vacío
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$
3. ${\displaystyle r}$está cerrado hacia abajo. En otras palabras, para todo lo que , si entonces ${\displaystyle x,y\in {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in r}$ ${\displaystyle x\in r}$
4. ${\displaystyle r}$no contiene ningún elemento mayor. En otras palabras, no existe tal cosa que para todos , ${\displaystyle x\in r}$ ${\displaystyle y\in r}$ ${\displaystyle y\leq x}$

• Formamos el conjunto de números reales como el conjunto de todos los cortes de Dedekind y definimos un orden total de los números reales de la siguiente manera: ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• Integramos los números racionales en los reales identificando el número racional con el conjunto de todos los números racionales más pequeños . ^[8] Dado que los números racionales son densos , dicho conjunto no puede tener ningún elemento mayor y, por lo tanto, cumple las condiciones para ser un número real establecidas anteriormente. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$
• Suma . ^[8] ${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$
• Resta . donde denota el complemento relativo de in , ${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$
• La negación es un caso especial de resta: ${\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
• Definir la multiplicación es menos sencillo. ^[8]
  • si entonces ${\displaystyle A,B\geq 0}$ ${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • si o es negativo, usamos las identidades para convertir y/o a números positivos y luego aplicamos la definición anterior. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$
• Definimos la división de manera similar:
  • si entonces ${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ and }}B>0}$ ${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • si o es negativo, usamos las identidades para convertir a un número no negativo y/o a un número positivo y luego aplicamos la definición anterior. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$
• Supremo . Si un conjunto no vacío de números reales tiene algún límite superior en , entonces tiene un límite superior mínimo en que es igual a . ^[8] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle \bigcup S}$

Como ejemplo de un corte de Dedekind que representa un número irracional , podemos tomar la raíz cuadrada positiva de 2 . Esto puede ser definido por el conjunto . ^[9] Se puede ver en las definiciones anteriores que es un número real y que . Sin embargo, ninguna de las afirmaciones es inmediata. Demostrar que es real requiere demostrar que no tiene elemento mayor, es decir, que para cualquier racional positivo con , existe un racional con y La elección funciona. Entonces , pero para mostrar igualdad es necesario demostrar que si es cualquier número racional con , entonces hay positivo en con . ${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A=2\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle x\times x<2\,}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle x<y\,}$ ${\displaystyle y\times y<2\,.}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle r<2\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r<x\times x\,}$

Una ventaja de esta construcción es que cada número real corresponde a un corte único. Además, al relajar los dos primeros requisitos de la definición de corte, se puede obtener el sistema de números reales extendido asociándolo con el conjunto vacío y con todos . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$

Construcción utilizando números hiperreales.

Como en los números hiperreales , se construyen los hiperracionales ^* Q a partir de los números racionales mediante un ultrafiltro . ^{[10] [11]} Aquí un hiperracional es por definición una razón de dos hiperenteros . Considere el anillo B de todos los elementos limitados (es decir , finitos) en ^* Q. Entonces B tiene un ideal máximo único I , los números infinitesimales . El anillo cociente B/I da el campo R de números reales ^{[ cita necesaria ]} . Tenga en cuenta que B no es un conjunto interno en ^* Q . Tenga en cuenta que esta construcción utiliza un ultrafiltro no principal sobre el conjunto de números naturales, cuya existencia está garantizada por el axioma de elección .

Resulta que el ideal máximo respeta el orden en ^* Q . Por tanto, el campo resultante es un campo ordenado. La completitud se puede demostrar de forma similar a la construcción a partir de las secuencias de Cauchy.

Construcción a partir de números surrealistas

Cada campo ordenado se puede incrustar en números surrealistas . Los números reales forman un subcampo máximo que es de Arquímedes (lo que significa que ningún número real es infinitamente grande o infinitamente pequeño). Esta incorporación no es única, aunque puede elegirse de forma canónica.

Construcción a partir de números enteros (Eudoxus reales)

Una construcción relativamente menos conocida permite definir números reales utilizando únicamente el grupo aditivo de números enteros con diferentes versiones. ^{[12] [13] [14]} La construcción ha sido verificada formalmente por el proyecto IsarMathLib. ^[15] Shenitzer (1987) y Arthan (2004) se refieren a esta construcción como Eudoxo real , llamado así en honor a un antiguo astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Sea un casi homomorfismo un mapa tal que el conjunto sea finito. (Tenga en cuenta que es casi un homomorfismo para cada .) Casi los homomorfismos forman un grupo abeliano bajo suma puntual. Decimos que dos casi homomorfismos son casi iguales si el conjunto es finito. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de casi homomorfismos. Los números reales se definen como las clases de equivalencia de esta relación. Alternativamente, los casi homomorfismos que toman sólo un número finito de valores forman un subgrupo, y el grupo aditivo subyacente del número real es el grupo cociente. Para sumar números reales definidos de esta manera sumamos los casi homomorfismos que los representan. La multiplicación de números reales corresponde a la composición funcional de casi homomorfismos. Si denota el número real representado por un casi homomorfismo decimos que está acotado o toma un número infinito de valores positivos en . Esto define la relación de orden lineal en el conjunto de números reales construidos de esta manera. ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\leq [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Otras construcciones

Faltin et al. (1975) escriben: "Pocas estructuras matemáticas han sufrido tantas revisiones o se han presentado en tantas formas como los números reales. Cada generación reexamina los reales a la luz de sus valores y objetivos matemáticos". ^[dieciséis]

Varias otras construcciones han sido dadas por:

• de Bruijn (1976), de Bruijn (1977)
• Rieger (1982)
• Knopfmacher y Knopfmacher (1987), Knopfmacher y Knopfmacher (1988)

Para obtener una descripción general, consulte Weiss (2015).

Como señaló un crítico de uno: "Todos los detalles están incluidos, pero, como de costumbre, son tediosos y no demasiado instructivos". ^[17]

Ver también

• Constructivismo (matemáticas) #Ejemplo de análisis real  : punto de vista matemático de que las pruebas de existencia deben ser constructivasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales.

Referencias

1. Weiss 2015.
2. http://math.colorado.edu/~nita/RealNumbers.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
3. http://homepages.math.uic.edu/~saunders/MATH313/INRA/INRA_chapters0and1.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
4. https://www.math.uci.edu/~mfinkels/140A/Introduction%2520and%2520Logic%2520Notes.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
5. Kemp 2016.
6. https://www.math.ucdavis.edu/~temple/MAT25/HomeworkProblems.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
7. http://math.furman.edu/~tlewis/math41/Pugh/chap1/sec2.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
8. 2002.
9. Hersh 1997.
10. https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_15/papers/gianni.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
11. https://math.berkeley.edu/~kruckman/ultrafilters.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
12. Arthan 2004.
13. A'Campo 2003.
14. Calle 2003.
15. IsarMathLib.
16. Faltin y col. 1975.
17. MR 693180 (84j:26002) de Rieger1982.

Bibliografía

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• Arthan, RD (2004). "Los números reales de Eudoxo". arXiv : matemáticas/0405454 .

• de Bruijn, NG (1976). "Definición de reales sin el uso de racionales". Indagationes Mathematicae (Actas) . 79 (2): 100–108. doi :10.1016/1385-7258(76)90055-X.también en http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597556.pdf

• de Bruijn, NG (1977). "Construcción del sistema de números reales". Nederl. Akád. Wetensch. Verslag Afd. Natuurk . 86 (9): 121-125.

• Faltin, F.; Metrópolis, M.; Ross, B.; Rota, G.-C. (1975). "Los números reales como producto de corona". Avances en Matemáticas . 16 (3): 278–304. doi : 10.1016/0001-8708(75)90115-2 .

• Hersh, Rubén (1997). ¿Qué son las matemáticas en realidad?. Nueva York: Oxford University Press EE. UU. pag. 274.ISBN​ 978-0-19-513087-4.

• IsarMathLib (2022). "IsarMathLib".

• Kemp, Todd (2016). "Construcción de R por Cauchy" (PDF) .

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• Street, Ross (septiembre de 2003). «Actualización sobre los reales eficientes» (PDF) . Consultado el 23 de octubre de 2010 .

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