Espacio métrico completo

geometría métrica

En análisis matemático , un espacio métrico M se llama completo (o espacio de Cauchy ) si cada secuencia de puntos de Cauchy en M tiene un límite que también está en M.

Intuitivamente, un espacio está completo si no le faltan "puntos" (dentro o en el límite). Por ejemplo, el conjunto de números racionales no está completo porque, por ejemplo, "falta" en él, aunque se pueda construir una secuencia de Cauchy de números racionales que converja a él (ver más ejemplos a continuación). Siempre es posible "rellenar todos los huecos", llevando a completar un espacio determinado, como se explica a continuación. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Definición

secuencia de cauchy

Una sucesión en un espacio métrico se llama Cauchy si para cada número real positivo existe un entero positivo tal que para todos los enteros positivos ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$

$${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r.}$$

Espacio completo

Un espacio métrico está completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,d)}$

1. Cada secuencia de puntos de Cauchy tiene un límite que también está en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Cada secuencia de Cauchy en converge en (es decir, hasta algún punto de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
3. Cada secuencia decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos con diámetros que tienden a 0, tiene una intersección no vacía : si es cerrada y no vacía, para cada y entonces hay un punto único común a todos los conjuntos ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Ejemplos

El espacio Q de los números racionales, con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia , no está completo. Considere, por ejemplo, la secuencia definida por y. Esta es una secuencia de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: si la secuencia tenía un límite, entonces, resolviendo necesariamente , ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, considerado como una secuencia de números reales , sí converge al número irracional . ${\displaystyle x_{1}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x^{2}=2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El intervalo abierto (0,1) , nuevamente con la métrica de diferencia absoluta, tampoco está completo. La secuencia definida por es Cauchy, pero no tiene límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado [0,1] está completo; por ejemplo, la secuencia dada tiene un límite en este intervalo, es decir, cero. ${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$

El espacio R de números reales y el espacio C de números complejos (con la métrica dada por la diferencia absoluta) están completos, al igual que el espacio euclidiano R ⁿ , con la métrica de distancia habitual . Por el contrario, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden estar completos o no; los que están completos son espacios de Banach . El espacio C [ a ,  b ] de funciones continuas de valores reales en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach, y por tanto un espacio métrico completo, con respecto a la norma suprema . Sin embargo, la norma suprema no da una norma sobre el espacio C ( a ,  b ) de funciones continuas en ( a ,  b ) , ya que puede contener funciones ilimitadas . En cambio, con la topología de convergencia compacta , a C ( a ,  b ) se le puede dar la estructura de un espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica invariante de traducción completa.

El espacio Q _p de números p -ádicos está completo para cualquier número primo. Este espacio completa Q con la métrica p -ádica de la misma manera que R completa Q con la métrica habitual. ${\displaystyle p.}$

Si es un conjunto arbitrario, entonces el conjunto S ^N de todas las secuencias se convierte en un espacio métrico completo si definimos la distancia entre las secuencias y es donde está el índice más pequeño para el cual es distinto o si no existe tal índice. Este espacio es homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio discreto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle y_{N}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S.}$

Las variedades de Riemann que son completas se denominan variedades geodésicas ; la completitud se deriva del teorema de Hopf-Rinow .

Algunos teoremas

Todo espacio métrico compacto es completo, aunque los espacios completos no tienen por qué ser compactos. De hecho, un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado . Ésta es una generalización del teorema de Heine-Borel , que establece que cualquier subespacio cerrado y acotado de R ⁿ es compacto y, por tanto, completo. ^[1] ${\displaystyle S}$

Sea un espacio métrico completo. Si es un conjunto cerrado, entonces también es completo. Sea un espacio métrico. Si es un subespacio completo, entonces también está cerrado. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Si es un conjunto y es un espacio métrico completo, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f desde X hasta es un espacio métrico completo. Aquí definimos la distancia en términos de la distancia con la norma suprema ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}}$$

Si es un espacio topológico y es un espacio métrico completo, entonces el conjunto que consta de todas las funciones acotadas continuas es un subespacio cerrado y, por tanto, también completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{b}(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$

El teorema de la categoría de Baire dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire . Es decir, la unión de muchos subconjuntos del espacio que no son densos en ninguna parte tiene un interior vacío .

El teorema del punto fijo de Banach establece que una aplicación de contracción en un espacio métrico completo admite un punto fijo . El teorema del punto fijo se utiliza a menudo para demostrar el teorema de la función inversa en espacios métricos completos como los espacios de Banach.

Teorema ^[2]  (C. Ursescu)  —  Sea un espacio métrico completo y sea una secuencia de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Si cada uno está cerrado entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$
• Si cada uno está abierto entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$

Terminación

Para cualquier espacio métrico M , es posible construir un espacio métrico completo M′ (que también se denota como ), que contiene a M como un subespacio denso . Tiene la siguiente propiedad universal : si N es cualquier espacio métrico completo y f es cualquier función uniformemente continua de M a N , entonces existe una única función uniformemente continua f′ de M′ a N que extiende f . El espacio M' está determinado hasta la isometría por esta propiedad (entre todos los espacios métricos completos que contienen isométricamente a M ), y se llama compleción de M. ${\displaystyle {\overline {M}}}$

La finalización de M se puede construir como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en M. Para dos secuencias de Cauchy cualesquiera y en M , podemos definir su distancia como ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)}$

$${\displaystyle d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$$

(Este límite existe porque los números reales están completos). Esto es sólo una pseudométrica , aún no una métrica, ya que dos secuencias de Cauchy diferentes pueden tener la distancia 0. Pero "tener distancia 0" es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los números reales de Cauchy. secuencias, y el conjunto de clases de equivalencia es un espacio métrico, la finalización de M . El espacio original está incrustado en este espacio mediante la identificación de un elemento x de M' con la clase de equivalencia de secuencias en M convergiendo a x (es decir, la clase de equivalencia que contiene la secuencia con valor constante x ). Esto define una isometría en un subespacio denso, según sea necesario. Observe, sin embargo, que esta construcción hace uso explícito de la completitud de los números reales, por lo que la compleción de los números racionales necesita un tratamiento ligeramente diferente.

La construcción de Cantor de los números reales es similar a la construcción anterior; los números reales son la compleción de los números racionales utilizando el valor absoluto ordinario para medir distancias. La sutileza adicional con la que hay que lidiar es que no es lógicamente permisible utilizar la integridad de los números reales en su propia construcción. Sin embargo, las clases de equivalencia de secuencias de Cauchy se definen como anteriormente, y se muestra fácilmente que el conjunto de clases de equivalencia es un campo que tiene los números racionales como subcampo . Este campo es completo, admite un ordenamiento total natural , y es el único campo completo totalmente ordenado (hasta isomorfismo ). Se define como el cuerpo de los números reales (ver también Construcción de los números reales para más detalles). Una forma de visualizar esta identificación con los números reales como se ve habitualmente es que la clase de equivalencia que consta de aquellas secuencias de Cauchy de números racionales que "deberían" tener un límite real dado se identifica con ese número real. Los truncamientos de la expansión decimal dan sólo una opción de secuencia de Cauchy en la clase de equivalencia relevante.

Para un primo, los números p -ádicos surgen al completar los números racionales con respecto a una métrica diferente. ${\displaystyle p,}$

Si el procedimiento de compleción anterior se aplica a un espacio vectorial normado, el resultado es un espacio de Banach que contiene el espacio original como un subespacio denso, y si se aplica a un espacio producto interno , el resultado es un espacio de Hilbert que contiene el espacio original como un subespacio denso.

Espacios topológicamente completos

La completitud es una propiedad de la métrica y no de la topología , lo que significa que un espacio métrico completo puede ser homeomorfo con respecto a uno incompleto. Un ejemplo lo dan los números reales, que son completos pero homeomorfos al intervalo abierto (0,1) , que no es completo.

En topología se consideran espacios completamente metrizables , espacios para los cuales existe al menos una métrica completa que induce la topología dada. Los espacios completamente metrizables se pueden caracterizar como aquellos espacios que pueden escribirse como una intersección de un número contable de subconjuntos abiertos de algún espacio métrico completo. Dado que la conclusión del teorema de la categoría de Baire es puramente topológica, se aplica también a estos espacios.

Los espacios completamente metrizables suelen denominarse topológicamente completos . Sin embargo, este último término es algo arbitrario ya que métrica no es la estructura más general en un espacio topológico de la que se puede hablar de completitud (ver la sección Alternativas y generalizaciones). De hecho, algunos autores utilizan el término topológicamente completo para una clase más amplia de espacios topológicos, los espacios completamente uniformizables . ^[3]

Un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo separable se llama espacio polaco .

Alternativas y generalizaciones

Dado que las secuencias de Cauchy también se pueden definir en grupos topológicos generales , una alternativa a depender de una estructura métrica para definir la completitud y construir la compleción de un espacio es utilizar una estructura de grupo. Esto se ve con mayor frecuencia en el contexto de espacios vectoriales topológicos , pero sólo requiere la existencia de una operación de "resta" continua. En este entorno, la distancia entre dos puntos y no se mide mediante un número real mediante la métrica en la comparación , sino mediante una vecindad abierta de mediante la resta en la comparación. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x-y\in N.}$

Una generalización común de estas definiciones se puede encontrar en el contexto de un espacio uniforme , donde un entorno es un conjunto de todos los pares de puntos que no están a más de una "distancia" particular entre sí.

También es posible reemplazar las secuencias de Cauchy en la definición de completitud por redes de Cauchy o filtros de Cauchy . Si cada red de Cauchy (o equivalentemente cada filtro de Cauchy) tiene un límite, entonces se llama completo. Además, se puede construir una terminación para un espacio uniforme arbitrario similar a la terminación de espacios métricos. La situación más general en la que se aplican las redes de Cauchy son los espacios de Cauchy ; estos también tienen una noción de completitud y finalización al igual que los espacios uniformes. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología y análisis general
• Completación (álgebra)  : en álgebra, cualquiera de varios functores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio uniforme completo  : espacio topológico con noción de propiedades uniformesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
• Principio variacional de Ekeland  : teorema que afirma que existen soluciones casi óptimas para algunos problemas de optimización.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema de Knaster-Tarski

Notas

1. Sutherland, Wilson A. (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos . ISBN 978-0-19-853161-6.
2. Zalinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific. pag. 33.ISBN​ 981-238-067-1. OCLC  285163112.
3. Kelley, Problema 6.L, pág. 208

Referencias

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Saltador. ISBN 0-387-90125-6.
• Kreyszig, Erwin , Análisis funcional introductorio con aplicaciones (Wiley, Nueva York, 1978). ISBN 0-471-03729-X 
• Lang, Serge , "Análisis real y funcional" ISBN 0-387-94001-4 
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introducción al análisis funcional . Ramanujan, MS (trad.). Oxford: Prensa de Clarendon; Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.