Conjunto cerrado

Complement of an open subset

En geometría , topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un conjunto cerrado es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto . ^{[1] [2]} En un espacio topológico , un conjunto cerrado se puede definir como un conjunto que contiene todos sus puntos límite . En un espacio métrico completo , un conjunto cerrado es un conjunto que está cerrado bajo la operación límite . Esto no debe confundirse con un colector cerrado .

Definiciones equivalentes

Por definición, un subconjunto de un espacio topológico se llama cerrado si su complemento es un subconjunto abierto de ; es decir, si un conjunto está cerrado si y sólo si es igual a su cierre en Equivalentemente, un conjunto está cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite . Otra definición más equivalente es que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite . Todo subconjunto siempre está contenido en su cierre (topológico) en el que se denota por eso es, si entonces Además, es un subconjunto cerrado de si y sólo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A\in \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A;}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A.}$

Una caracterización alternativa de conjuntos cerrados está disponible a través de secuencias y redes . Un subconjunto de un espacio topológico está cerrado si y sólo si cada límite de cada red de elementos de también pertenece a En un primer espacio contable (como un espacio métrico), basta con considerar sólo secuencias convergentes , en lugar de todas redes. Un valor de esta caracterización es que puede usarse como definición en el contexto de los espacios de convergencia , que son más generales que los espacios topológicos. Tenga en cuenta que esta caracterización también depende del espacio circundante porque si una secuencia o red converge o no depende de qué puntos están presentes en Se dice que un punto in está cerca de un subconjunto si (o equivalentemente, si pertenece al cierre de in el significado topológico del subespacio donde está dotado de la topología subespacial inducida en él por ^{[nota 1]} ). Debido a que el cierre de in es, por tanto, el conjunto de todos los puntos in que están cerca de esta terminología, permite una descripción sencilla en inglés de los subconjuntos cerrados: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\},}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$

un subconjunto es cerrado si y sólo si contiene todos los puntos cercanos a él.

En términos de convergencia neta, un punto está cerca de un subconjunto si y sólo si existe alguna red (valorada) en la que converge. If es un subespacio topológico de algún otro espacio topológico, en cuyo caso se llama superespacio topológico de entonces. podría existir algún punto que esté cerca de (aunque no sea un elemento de ), que es como es posible que un subconjunto esté cerrado pero no cerrado en el superespacio circundante "más grande" Si y si es cualquiera El superespacio topológico de then es siempre un subconjunto (potencialmente propio) del cual denota el cierre de en de hecho, incluso si es un subconjunto cerrado de (lo que ocurre si y sólo si ), todavía es posible que sea un subconjunto propio de Sin embargo, es un subconjunto cerrado de si y sólo si para algún (o equivalentemente, para cada) superespacio topológico de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y\setminus X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Los conjuntos cerrados también se pueden utilizar para caracterizar funciones continuas : un mapa es continuo si y sólo si para cada subconjunto ; esto se puede reformular en términos sencillos como: es continuo si y solo si para cada subconjunto asigna puntos que están cerca de puntos que están cerca de De manera similar, es continuo en un punto fijo dado si y solo si siempre está cerca de un subconjunto entonces esta cerca de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Más sobre conjuntos cerrados

La noción de conjunto cerrado se define anteriormente en términos de conjuntos abiertos , un concepto que tiene sentido para espacios topológicos , así como para otros espacios que llevan estructuras topológicas, como espacios métricos , variedades diferenciables , espacios uniformes y espacios de calibre .

Que un conjunto sea cerrado depende del espacio en el que está incrustado. Sin embargo, los espacios compactos de Hausdorff son " absolutamente cerrados ", en el sentido de que, si se incrusta un espacio compacto de Hausdorff en un espacio de Hausdorff arbitrario , siempre será un subconjunto cerrado de ; el "espacio circundante" no importa aquí. La compactación de Stone-Čech , un proceso que convierte un espacio de Hausdorff completamente regular en un espacio de Hausdorff compacto, puede describirse como límites contiguos de ciertas redes no convergentes al espacio. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Además, todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto y todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Los conjuntos cerrados también dan una caracterización útil de la compacidad: un espacio topológico es compacto si y sólo si cada colección de subconjuntos cerrados no vacíos con intersección vacía admite una subcolección finita con intersección vacía. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico es desconectado si existen subconjuntos abiertos, disjuntos, no vacíos y cuya unión es Además, está totalmente desconectado si tiene una base abierta formada por conjuntos cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Un conjunto cerrado contiene su propia frontera . En otras palabras, si estás "fuera" de un conjunto cerrado, puedes moverte un poco en cualquier dirección y aun así permanecer fuera del conjunto. Esto también es cierto si la frontera es el conjunto vacío, por ejemplo, en el espacio métrico de los números racionales, para cuyo conjunto de números el cuadrado es menor que ${\displaystyle 2.}$

• Cualquier intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es cerrada (esto incluye intersecciones de infinitos conjuntos cerrados)
• La unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.
• El conjunto vacío está cerrado.
• Todo el conjunto está cerrado.

De hecho, si se da un conjunto y una colección de subconjuntos de tal que los elementos de tienen las propiedades enumeradas anteriormente, entonces existe una topología única de tal que los subconjuntos cerrados de son exactamente aquellos conjuntos que pertenecen a La propiedad de intersección también permite uno para definir el cierre de un conjunto en un espacio que se define como el subconjunto cerrado más pequeño de que es un superconjunto de Específicamente, el cierre de se puede construir como la intersección de todos estos superconjuntos cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$

Los conjuntos que pueden construirse como la unión de un número contable de conjuntos cerrados se denominan conjuntos F σ . Estos conjuntos no necesitan estar cerrados.

Ejemplos

• El intervalo cerrado de números reales está cerrado. (Consulte Intervalo (matemáticas) para obtener una explicación de la notación de conjuntos de corchetes y paréntesis). ${\displaystyle [a,b]}$
• El intervalo unitario está cerrado en el espacio métrico de los números reales, y el conjunto de números racionales entre y (inclusive) está cerrado en el espacio de los números racionales, pero no está cerrado en los números reales. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo medio abierto en los números reales. ${\displaystyle [0,1)}$
• Algunos conjuntos son tanto abiertos como cerrados y se denominan conjuntos cerrados .
• El rayo está cerrado. ${\displaystyle [1,+\infty )}$
• El conjunto de Cantor es un conjunto cerrado inusual en el sentido de que consta enteramente de puntos límite y no es denso en ninguna parte.
• Los puntos singleton (y por tanto los conjuntos finitos) están cerrados en espacios T 1 y espacios de Hausdorff .
• El conjunto de los números enteros es un conjunto cerrado infinito e ilimitado en los números reales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Si es una función entre espacios topológicos entonces es continua si y sólo si las preimágenes de conjuntos cerrados en son cerradas en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Conjunto abierto  : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado.
• Mapa cerrado  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Región cerrada  : subconjunto abierto conectado de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto abierto  : subconjunto básico de un espacio topológico
• Barrio  : conjunto abierto que contiene un punto determinado.
• Región (matemáticas)  : subconjunto abierto conectado de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto cerrado regular

Notas

1. En particular, si está cerca o no depende sólo del subespacio y no de todo el espacio circundante (por ejemplo, o de cualquier otro espacio que contenga un subespacio topológico). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$

Referencias

1. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X.
2. Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.