Cierre (topología)

Todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico.

En topología , el cierre de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consta de todos los puntos en S junto con todos los puntos límite de S. La clausura de S puede definirse de manera equivalente como la unión de S y su límite , y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen S. Intuitivamente, se puede considerar el cierre como todos los puntos que están en S o "muy cerca" de S. Un punto que está en el cierre de S es un punto de cierre de S. La noción de cierre es en muchos sentidos dual a la noción de interior .

Definiciones

Punto de cierre

Porque como subconjunto de un espacio euclidiano , es un punto de cierre de si cada bola abierta centrada en contiene un punto de (este punto puede ser él mismo). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico Totalmente expresado, ya que como espacio métrico con métrica es un punto de cierre de si para cada existe alguno tal que la distancia ( esté permitida). Otra forma de expresar esto es decir que es un punto de cierre de la distancia donde es el mínimo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle d(x,s)<r}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0}$ ${\displaystyle \inf }$

Esta definición se generaliza a espacios topológicos reemplazando "bola abierta" o "bola" por " vecindad ". Sea un subconjunto de un espacio topológico. Entonces es un punto de cierre o punto adherente de si cada vecindad de contiene un punto de (nuevamente, se permite for ). ^[1] Tenga en cuenta que esta definición no depende de si los vecindarios deben estar abiertos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle s\in S}$

punto límite

La definición de punto de cierre de un conjunto está estrechamente relacionada con la definición de punto límite de un conjunto . La diferencia entre las dos definiciones es sutil pero importante: es decir, en la definición de un punto límite de un conjunto , cada vecindad de debe contener un punto distinto de sí mismo , es decir, cada vecindad de obviamente tiene pero también debe tener un punto. de eso no es igual a para que sea un punto límite de . Un punto límite de tiene una condición más estricta que un punto de cierre de en las definiciones. El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto se llama conjunto derivado de . Un punto límite de un conjunto también se llama punto de agrupación o punto de acumulación del conjunto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Así, todo punto límite es un punto de cierre, pero no todo punto de cierre es un punto límite . Un punto de cierre que no es un punto límite es un punto aislado . En otras palabras, un punto es un punto aislado de si es un elemento de y hay una vecindad del cual no contiene otros puntos más que él mismo. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Para un conjunto dado , un punto es un punto de cierre de si y sólo si es un elemento de o es un punto límite de (o ambos). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

Cierre de un set

El cierre de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o posiblemente por (si se entiende), donde si ambos y están claros por el contexto, entonces también se puede denotar por o (Además, a veces se escribe con mayúscula como .) se puede definir usando cualquier de las siguientes definiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$ ${\displaystyle S{}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto de todos los puntos de cierre de ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto junto con todos sus puntos límite . (Cada punto de es un punto de cierre de y cada punto límite de también es un punto de cierre de ⁾ . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es la unión de y su límite ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es el conjunto de todos para los cuales existe un neto (valorado) en que converge a en ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

El cierre de un conjunto tiene las siguientes propiedades. ^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$es un superconjunto cerrado de . ${\displaystyle S}$
• El conjunto es cerrado si y sólo si . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• Si entonces es un subconjunto de ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• Si es un conjunto cerrado, entonces contiene si y sólo si contiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

A veces, la segunda o tercera propiedad anterior se toma como la definición del cierre topológico, que todavía tiene sentido cuando se aplica a otros tipos de cierres (ver más abajo). ^[5]

En un primer espacio contable (como un espacio métrico ), es el conjunto de todos los límites de todas las secuencias convergentes de puntos en. Para un espacio topológico general, esta afirmación sigue siendo cierta si se reemplaza "secuencia" por " red " o " filtro ". " (como se describe en el artículo sobre filtros en topología ). ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle S.}$

Tenga en cuenta que estas propiedades también se cumplen si "cierre", "superconjunto", "intersección", "contiene/contiene", "más pequeño" y "cerrado" se reemplazan por "interior", "subconjunto", "unión", "contenido". en", "más grande" y "abierto". Para obtener más información sobre este asunto, consulte el operador de cierre a continuación.

Ejemplos

Considere una esfera en un espacio tridimensional. Implícitamente hay dos regiones de interés creadas por esta esfera; la esfera misma y su interior (que se llama bola 3 abierta ). Es útil distinguir entre el interior y la superficie de la esfera, por eso distinguimos entre la bola 3 abierta (el interior de la esfera) y la bola 3 cerrada (el cierre de la bola 3 abierta que es el abierto de 3 bolas más la superficie (la superficie como la esfera misma).

En el espacio topológico :

• En cualquier espacio, . En otras palabras, el cierre del conjunto vacío es él mismo. ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$
• en cualquier espacio ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Dando y la topología estándar (métrica) : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Si es el espacio euclidiano de números reales , entonces . En otras palabras, el cierre del conjunto como subconjunto de es . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Si es el espacio euclidiano , entonces la clausura del conjunto de números racionales es el espacio entero Decimos que es denso en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Si es el plano complejo entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• Si es un subconjunto finito de un espacio euclidiano entonces (para un espacio topológico general, esta propiedad es equivalente al axioma T 1 ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

En el conjunto de números reales se pueden poner otras topologías además de la estándar.

• Si está dotado de la topología de límite inferior , entonces ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Si se considera la topología discreta en la que cada conjunto está cerrado (abierto), entonces ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Si se considera la topología trivial en la que los únicos conjuntos cerrados (abiertos) son el conjunto vacío y él mismo, entonces ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Estos ejemplos muestran que el cierre de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto , dado que todo conjunto es cerrado (y también abierto), cada conjunto es igual a su cierre.
• En cualquier espacio indiscreto, dado que los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y él mismo, tenemos que el cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío, y para cada subconjunto no vacío de En otras palabras, cada subconjunto no vacío de un indiscreto el espacio es denso . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

El cierre de un conjunto también depende de en qué espacio estemos tomando el cierre. Por ejemplo, si es el conjunto de los números racionales, con la topología relativa habitual inducida por el espacio euclidiano y si entonces es cerrado y abierto porque ni ni su complemento pueden contener a , que sería el límite inferior de , pero no puede estar en porque es irracional. Por lo tanto, no tiene un cierre bien definido debido a que los elementos de límite no están dentro . Sin embargo, si en cambio definimos como el conjunto de números reales y definimos el intervalo de la misma manera, entonces el cierre de ese intervalo está bien definido y sería el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Operador de cierre

Un operador de cierre en un conjunto es un mapeo del conjunto de potencias de , dentro de sí mismo que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Dado un espacio topológico , el cierre topológico induce una función que se define enviando un subconjunto a donde se puede usar la notación o en su lugar. Por el contrario, si es un operador de cierre en un conjunto, entonces se obtiene un espacio topológico definiendo los conjuntos cerrados como exactamente aquellos subconjuntos que satisfacen (por lo que los complementos de estos subconjuntos forman los conjuntos abiertos de la topología). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {c} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$ ${\displaystyle X}$

El operador de cierre es dual al operador interior , el cual se denota por en el sentido de que ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

y también

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski pueden traducirse fácilmente al lenguaje de los operadores interiores reemplazando conjuntos con sus complementos en ${\displaystyle X.}$

En general, el operador de cierre no viaja con las intersecciones. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:

Teorema ^[7]  (C. Ursescu)  —  Sea una secuencia de subconjuntos de un espacio métrico completo ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Si cada uno está cerrado entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$
• Si cada uno está abierto entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$

Datos sobre los cierres

Un subconjunto está cerrado si y sólo si En particular: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• El cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío;
• El cierre de sí mismo es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• El cierre de una intersección de conjuntos es siempre un subconjunto de (pero no tiene por qué ser igual a) la intersección de los cierres de los conjuntos.
• En una unión de un número finito de conjuntos, la clausura de la unión y la unión de las clausuras son iguales; la unión de conjuntos cero es el conjunto vacío, por lo que esta afirmación contiene la afirmación anterior sobre el cierre del conjunto vacío como un caso especial.
• El cierre de la unión de infinitos conjuntos no tiene por qué ser igual a la unión de los cierres, pero siempre es un superconjunto de la unión de los cierres.
  • Por lo tanto, así como la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, el cierre también se distribuye entre uniones binarias: es decir, pero así como una unión de infinitos conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada, el cierre no necesariamente se distribuye entre infinitas uniones. : es decir, es posible cuando es infinito. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Si y si es un subespacio de (es decir, que está dotado de la topología del subespacio que induce en él), entonces y el cierre de calculado en es igual a la intersección de y el cierre de calculado en : ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

Se deduce que es un subconjunto denso de si y sólo si es un subconjunto de Es posible que sea un subconjunto propio de, por ejemplo, tomar y ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=(0,1),}$ ${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

Si pero no es necesariamente un subconjunto de entonces sólo ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$

^{[prueba 1]} ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle S=(0,\infty )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

En consecuencia, si hay alguna cubierta abierta de y si es algún subconjunto, entonces: ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$

topología subespacialvariedadgráficos de coordenadaslocalmente cerradocubierta abierta ${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

Funciones y cierre

Continuidad

Una función entre espacios topológicos es continua si y sólo si la preimagen de cada subconjunto cerrado del codominio está cerrada en el dominio; explícitamente, esto significa: está cerrado siempre que sea un subconjunto cerrado de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y.}$

En términos del operador de cierre, es continuo si y sólo si para cada subconjunto ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

$${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$

cerca desencilla ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Mapas cerrados

Una función es una aplicación (fuertemente) cerrada si y sólo si siempre es un subconjunto cerrado de entonces es un subconjunto cerrado de En términos del operador de cierre, es una aplicación (fuertemente) cerrada si y sólo si para cada subconjunto De manera equivalente, es una Mapa (fuertemente) cerrado si y sólo si para cada subconjunto cerrado ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq X.}$

Interpretación categórica

Se puede definir el operador de cierre en términos de flechas universales, como sigue.

El conjunto de potencias de un conjunto se puede realizar como una categoría de orden parcial en la que los objetos son subconjuntos y los morfismos son mapas de inclusión siempre que sea un subconjunto de Además, una topología es una subcategoría de con funtor de inclusión El conjunto de subconjuntos cerrados que contienen un fijo El subconjunto se puede identificar con la categoría de coma. Esta categoría, también un orden parcial, tiene entonces un objeto inicial. Por lo tanto, hay una flecha universal de a dada por la inclusión. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I:T\to P.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

De manera similar, dado que cada conjunto cerrado que contiene se corresponde con un conjunto abierto contenido en podemos interpretar la categoría como el conjunto de subconjuntos abiertos contenidos en con objeto terminal el interior de ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$ ${\displaystyle A.}$

Todas las propiedades del cierre se pueden derivar de esta definición y de algunas propiedades de las categorías anteriores. Es más, esta definición precisa la analogía entre el cierre topológico y otros tipos de cierres (por ejemplo cierre algebraico ), ya que todos son ejemplos de flechas universales .

Ver también

• Punto adherente  : punto que pertenece al cierre de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Álgebra de cierre  - Estructura algebraicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto regular cerrado , conjunto igual al cierre de su interior
• Conjunto derivado (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos límite de un conjuntoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto determinado
• Punto límite de un conjunto  – Punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. De y se sigue eso y que implica ${\displaystyle T:=(-\infty ,0]}$ ${\displaystyle S:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle S\cap T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),}$
   $${\displaystyle \varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.}$$

Referencias

1. Schubert 1968, pag. 20
2. Kuratowski 1966, pag. 75
3. Hocking y Young 1988, pág. 4
4. Croom 1989, pag. 104
5. Gemignani 1990, pag. 55, Pervin 1965, pág. 40 y Baker 1991, pág. 38 utilizan la segunda propiedad como definición.
6. Pervin 1965, pag. 41
7. Zălinescu 2002, pag. 33.

Bibliografía

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm. C. Brown Editorial, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principios de topología , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topología elemental (2ª ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topología , vol. Yo, prensa académica
• Pervin, William J. (1965), Fundamentos de topología general , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topología , Allyn y Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. SEÑOR  1921556. OCLC  285163112 - vía Internet Archive .

enlaces externos

• "Cierre de un conjunto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]