Conjunto derivado (matemáticas)

Conjunto de todos los puntos límite de un conjunto

En matemáticas, más específicamente en topología de conjuntos de puntos , el conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico es el conjunto de todos los puntos límite de Suele denotarse por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S'.}$

El concepto fue introducido por primera vez por Georg Cantor en 1872 y desarrolló la teoría de conjuntos en gran parte para estudiar los conjuntos derivados en la línea real .

Definición

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico denotado por es el conjunto de todos los puntos que son puntos límite de , es decir, puntos tales que cada vecindad de contiene un punto de distinto de él mismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S',}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Si está dotado de su topología euclidiana habitual , entonces el conjunto derivado del intervalo semiabierto es el intervalo cerrado. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1].}$

Consideremos la topología (conjuntos abiertos) que consta del conjunto vacío y cualquier subconjunto de éste que contenga 1. El conjunto derivado de es ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\{1\}}$ ${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$

Propiedades

Si y son subconjuntos del espacio topológico entonces el conjunto derivado tiene las siguientes propiedades: ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}}),}$

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'}$implica ${\displaystyle a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B}$implica ${\displaystyle A'\subseteq B'}$

Un subconjunto de un espacio topológico es cerrado precisamente cuando ^[1] es decir, cuando contiene todos sus puntos límite. Para cualquier subconjunto el conjunto es cerrado y es la clausura de (es decir, el conjunto ). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S\cup S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio no necesita ser cerrado en general. Por ejemplo, si con la topología trivial , el conjunto tiene un conjunto derivado que no es cerrado en Pero el conjunto derivado de un conjunto cerrado siempre es cerrado. ^{[prueba 1]} Además, si es un espacio T 1 , el conjunto derivado de cada subconjunto de es cerrado en ^{[4] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle S=\{a\}}$ ${\displaystyle S'=\{b\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Dos subconjuntos y están separados precisamente cuando son disjuntos y cada uno es disjunto del conjunto derivado del otro ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle S'\cap T=\varnothing =T'\cap S.}$

Una biyección entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si y sólo si el conjunto derivado de la imagen (en el segundo espacio) de cualquier subconjunto del primer espacio es la imagen del conjunto derivado de ese subconjunto. ^[7]

Un espacio es un espacio T 1 si cada subconjunto que consiste en un único punto es cerrado. ^[8] En un espacio T _{1 , el conjunto derivado de un conjunto que consiste en un único elemento está vacío (el Ejemplo 2 anterior no es un espacio T 1} ). De ello se deduce que en espacios T ₁ , el conjunto derivado de cualquier conjunto finito está vacío y, además, para cualquier subconjunto y cualquier punto del espacio. En otras palabras, el conjunto derivado no se modifica añadiendo o quitando del conjunto dado un número finito de puntos. ^[9] También se puede demostrar que en un espacio T ₁ , para cualquier subconjunto ^[10] $${\displaystyle (S-\{p\})'=S'=(S\cup \{p\})',}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$ ${\displaystyle S.}$

Un conjunto con (es decir, que no contiene puntos aislados ) se llama denso en sí mismo . Un conjunto con se llama conjunto perfecto . ^[11] De manera equivalente, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado denso en sí mismo o, dicho de otra manera, un conjunto cerrado sin puntos aislados. Los conjuntos perfectos son particularmente importantes en las aplicaciones del teorema de la categoría de Baire . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$

El teorema de Cantor-Bendixson establece que cualquier espacio polaco puede escribirse como la unión de un conjunto numerable y un conjunto perfecto. Como cualquier subconjunto G δ de un espacio polaco es a su vez un espacio polaco, el teorema también muestra que cualquier subconjunto G _δ de un espacio polaco es la unión de un conjunto numerable y un conjunto que es perfecto con respecto a la topología inducida .

Topología en términos de conjuntos derivados

Debido a que los homeomorfismos pueden describirse completamente en términos de conjuntos derivados, los conjuntos derivados se han utilizado como la noción primitiva en topología . Un conjunto de puntos puede equiparse con un operador que mapee subconjuntos de a subconjuntos de tal manera que para cualquier conjunto y cualquier punto : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$implica ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$implica ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Llamar a un conjunto cerrado si definirá una topología en el espacio en el que está el operador del conjunto derivado, es decir, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Rango de Cantor-Bendixson

Para los números ordinales, la derivada de Cantor - Bendixson -ésima de un espacio topológico se define aplicando repetidamente la operación de conjunto derivada usando recursión transfinita de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$para ordinales límite ${\displaystyle \lambda .}$

La secuencia transfinita de las derivadas de Cantor-Bendixson de es decreciente y eventualmente debe ser constante. El ordinal más pequeño tal que se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$Rango de Cantor-Bendixson ${\displaystyle X.}$

Esta investigación sobre el proceso de derivación fue una de las motivaciones para la introducción de los números ordinales por Georg Cantor .

Véase también

• Punto adherente  : Punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Punto de condensación  : un análogo más fuerte del punto límitePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Punto aislado  – Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Punto límite  – Punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Baker 1991, pág. 41
2. Pervin 1964, pág. 38
3. Baker 1991, pág. 42
4. Engelking 1989, pág. 47
5. "Topología general - Demostración de que el conjunto derivado $E'$ es cerrado".
6. Pervin 1964, pág. 51
7. Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología, Dover, pág. 4, ISBN 0-486-65676-4
8. Pervin 1964, pág. 70
9. Kuratowski 1966, pág. 77
10. Kuratowski 1966, pág. 76
11. Pervin 1964, pág. 62

Pruebas

1. Prueba: Suponiendo que es un subconjunto cerrado del cual se muestra que se toma el conjunto derivado en ambos lados para obtener que es, es cerrado en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S''\subseteq S';}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle X.}$

Referencias

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966), Topología , vol. 1, Academic Press, ISBN 0-12-429201-1
• Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press

Lectura adicional

• Kechris, Alexander S. (1995). Teoría clásica de conjuntos descriptivos ( Textos de posgrado en matemáticas, 156.ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Sierpiński, Wacław F .; traducido por Krieger, C. Cecilia (1952). Topología general . Prensa de la Universidad de Toronto .

Enlaces externos

• Artículo de PlanetMath sobre la derivada de Cantor-Bendixson