Conjunto abierto

Subconjunto que es a la vez abierto y cerrado

En topología , un conjunto clopen (una combinación de conjunto cerrado-abierto ) en un espacio topológico es un conjunto que es tanto abierto como cerrado . Que esto sea posible puede parecer contra-intuitivo, ya que los significados comunes de abierto y cerrado son antónimos, pero sus definiciones matemáticas no son mutuamente excluyentes . Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto, lo que deja la posibilidad de un conjunto abierto cuyo complemento también es abierto, lo que hace que ambos conjuntos sean abiertos y cerrados, y por lo tanto clopen. Como lo describe el topólogo James Munkres , a diferencia de una puerta , "¡un conjunto puede ser abierto, o cerrado, o ambos, o ninguno!" ^[1] enfatizando que el significado de "abierto"/"cerrado" para las puertas no está relacionado con su significado para los conjuntos (y por lo tanto la dicotomía de puerta abierta/cerrada no se transfiere a los conjuntos abiertos/cerrados). Este contraste con las puertas dio a la clase de espacios topológicos conocidos como " espacios de puerta " su nombre.

Ejemplos

En cualquier espacio topológico, tanto el conjunto vacío como el espacio total son ambos clo-abiertos. ^{[2] [3]} ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Consideremos ahora el espacio que consiste en la unión de los dos intervalos abiertos y de La topología en se hereda como la topología de subespacio de la topología ordinaria en la línea real En el conjunto es abierto y cerrado, como lo es el conjunto Este es un ejemplo bastante típico: siempre que un espacio esté formado por un número finito de componentes disjuntos conectados de esta manera, los componentes serán abiertos y cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3).}$

Sea ahora un conjunto infinito bajo la métrica discreta  , es decir, dos puntos tienen una distancia de 1 si no son el mismo punto y de 0 en caso contrario. Bajo el espacio métrico resultante , cualquier conjunto singular es abierto; por lo tanto, cualquier conjunto, al ser la unión de puntos singulares, es abierto. Como cualquier conjunto es abierto, el complemento de cualquier conjunto también es abierto y, por lo tanto, cualquier conjunto es cerrado. Por lo tanto, todos los conjuntos en este espacio métrico son cloabiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,q\in X}$

Como ejemplo menos trivial, considere el espacio de todos los números racionales con su topología ordinaria, y el conjunto de todos los números racionales positivos cuyo cuadrado es mayor que 2. Usando el hecho de que no está en uno se puede mostrar con bastante facilidad que es un subconjunto clopen de ( no es un subconjunto clopen de la recta real ; no es ni abierto ni cerrado en ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Propiedades

• Un espacio topológico está conexo si y sólo si los únicos conjuntos abiertos y cerrados son el conjunto vacío y él mismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un conjunto es abierto y cerrado si y sólo si su borde está vacío. ^[4]
• Cualquier conjunto abierto y cerrado es una unión de componentes conectados (posiblemente infinitos).
• Si todos los componentes conectados de son abiertos (por ejemplo, si tiene sólo un número finito de componentes, o si está localmente conectado ), entonces un conjunto es cloabierto en si y sólo si es una unión de componentes conectados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio topológico es discreto si y sólo si todos sus subconjuntos son abiertos y cerrados. ${\displaystyle X}$
• Utilizando la unión y la intersección como operaciones, los subconjuntos clopen de un espacio topológico dado forman un álgebra de Boole . Toda álgebra de Boole puede obtenerse de esta manera a partir de un espacio topológico adecuado: véase el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole . ${\displaystyle X}$

Véase también

• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos

Notas

1. Munkres 2000, pág. 91.
2. Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introducción al análisis real (2.ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 348.(con respecto a los números reales y el conjunto vacío en R)
3. Hocking, John G.; Young, Gail S. (1961). Topología . Nueva York: Dover Publications, Inc. pág. 56.(con respecto a los espacios topológicos)
4. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (tercera edición). Dover. pág. 87. ISBN 0-486-66352-3Sea un subconjunto de un espacio topológico. Demuestre que si y solo si es abierto y cerrado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)=\varnothing }$ ${\displaystyle A}$(Dado como Ejercicio 7)

Referencias

• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Morris, Sidney A. "Topología sin lágrimas". Archivado desde el original el 19 de abril de 2013.