Conjunto abierto regular

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina conjunto abierto regular si es igual al interior de su clausura ; expresado simbólicamente, si o, equivalentemente, si donde y denotan, respectivamente, el interior, la clausura y el límite de ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}$ ${\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Un subconjunto de se denomina conjunto cerrado regular si es igual a la clausura de su interior; expresado simbólicamente, si o, equivalentemente, si ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.}$

Ejemplos

Si tiene su topología euclidiana habitual , entonces el conjunto abierto no es un conjunto abierto regular, ya que todo intervalo abierto en es un conjunto abierto regular y todo intervalo cerrado no degenerado (es decir, un intervalo cerrado que contiene al menos dos puntos distintos) es un conjunto cerrado regular. Un singleton es un subconjunto cerrado de pero no un conjunto cerrado regular porque su interior es el conjunto vacío, de modo que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing ,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}$

Propiedades

Un subconjunto de es un conjunto abierto regular si y solo si su complemento en es un conjunto cerrado regular. ^[2] Todo conjunto abierto regular es un conjunto abierto y todo conjunto cerrado regular es un conjunto cerrado . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cada subconjunto clopen de (que incluye a sí mismo y a ) es simultáneamente un subconjunto regular abierto y un subconjunto regular cerrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

El interior de un subconjunto cerrado de es un subconjunto abierto regular de y, de la misma manera, la clausura de un subconjunto abierto de es un subconjunto cerrado regular de ^[2] La intersección (pero no necesariamente la unión) de dos conjuntos abiertos regulares es un conjunto abierto regular. De manera similar, la unión (pero no necesariamente la intersección) de dos conjuntos cerrados regulares es un conjunto cerrado regular. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La colección de todos los conjuntos abiertos regulares en forma un álgebra de Boole completa ; la operación de unión está dada por el encuentro es y el complemento es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),}$ ${\displaystyle U\land V=U\cap V}$ ${\displaystyle \neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).}$

Véase también

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Espacio regular  : espacio topológico en el que un punto y un conjunto cerrado son, si están disjuntos, separables por vecindades.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio semirregular
• Axioma de separación  – Axiomas en topología que definen nociones de “separación”

Notas

1. Steen & Seebach, pág. 6
2. Willard, "3D, Conjuntos regularmente abiertos y regularmente cerrados", pág. 29

Referencias

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (edición Dover).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .