Espacio Cauchy

Concepto en topología general y análisis

En topología general y análisis , un espacio de Cauchy es una generalización de espacios métricos y espacios uniformes para los cuales la noción de convergencia de Cauchy todavía tiene sentido. Los espacios de Cauchy fueron introducidos por H. H. Keller en 1968, como una herramienta axiomática derivada de la idea de un filtro de Cauchy , con el fin de estudiar la completitud en espacios topológicos . La categoría de espacios de Cauchy y aplicaciones continuas de Cauchy es cartesiana cerrada , y contiene la categoría de espacios de proximidad .

Definición

En todo momento, es un conjunto, denota el conjunto potencia de y se supone que todos los filtros son propios/no degenerados (es decir, un filtro puede no contener el conjunto vacío). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X,}$

Un espacio de Cauchy es un par formado por un conjunto de una familia de filtros (propios) que tienen todas las siguientes propiedades: ${\displaystyle (X,C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle X}$

1. Para cada ultrafiltro discreto en denotado por está en ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U(x),}$ ${\displaystyle C.}$
2. Si es un filtro propio, y es un subconjunto de entonces ${\displaystyle F\in C,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G\in C.}$
3. Si y si cada miembro de interseca a cada miembro de entonces ${\displaystyle F,G\in C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle F\cap G\in C.}$

Un elemento de se llama filtro de Cauchy , y un mapa entre espacios de Cauchy y es Cauchy continuo si ; es decir, la imagen de cada filtro de Cauchy en es una base de filtro de Cauchy en ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,C)}$ ${\displaystyle (Y,D)}$ ${\displaystyle \uparrow f(C)\subseteq D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades y definiciones

Cualquier espacio de Cauchy es también un espacio de convergencia , donde un filtro converge a si es Cauchy. En particular, un espacio de Cauchy tiene una topología natural . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\cap U(x)}$

Ejemplos

• Cualquier espacio uniforme (y por tanto cualquier espacio métrico , espacio vectorial topológico o grupo topológico ) es un espacio de Cauchy; consulte el filtro de Cauchy para obtener definiciones.
• Un grupo ordenado en red tiene una estructura de Cauchy natural.
• Cualquier conjunto dirigido puede convertirse en un espacio de Cauchy declarando que un filtro es Cauchy si, dado cualquier elemento , hay un elemento tal que es un singleton o un subconjunto de la cola. Entonces, dado cualquier otro espacio de Cauchy, las funciones continuas de Cauchy de a son las mismas que las redes de Cauchy en indexadas por Si es completa , entonces dicha función puede extenderse hasta la completitud de la cual puede escribirse el valor de la extensión en será el límite de la red. En el caso donde es el conjunto de números naturales (de modo que una red de Cauchy indexada por es la misma que una secuencia de Cauchy ), entonces recibe la misma estructura de Cauchy que el espacio métrico. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\in A,}$ ${\displaystyle U\in F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{m:m\geq n\}.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A\cup \{\infty \};}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\ldots \}.}$

Categoría de espacios de Cauchy

La noción natural de morfismo entre espacios de Cauchy es la de función de Cauchy-continua , un concepto que se había estudiado anteriormente para espacios uniformes.

Véase también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
• Espacio de convergencia  – Generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio pretopológico  – Espacio topológico generalizado
• Espacio de proximidad  : Estructura que describe una noción de "cercanía" entre subconjuntos

Referencias

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Clases de funciones de aplicaciones continuas de Cauchy . Dekker, Nueva York, 1989.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .