Espacio uniforme

Espacio topológico con noción de propiedades uniformes.

En el campo matemático de la topología , un espacio uniforme es un espacio topológico con estructura adicional que se utiliza para definir propiedades uniformes , como completitud , continuidad uniforme y convergencia uniforme . Los espacios uniformes generalizan espacios métricos y grupos topológicos , pero el concepto está diseñado para formular los axiomas más débiles necesarios para la mayoría de las pruebas en análisis .

Además de las propiedades habituales de una estructura topológica, en un espacio uniforme se formalizan las nociones de cercanía relativa y cercanía de puntos. En otras palabras, ideas como " x está más cerca de a que y de b " tienen sentido en espacios uniformes. En comparación, en un espacio topológico general, dados los conjuntos A,B, tiene sentido decir que un punto x está arbitrariamente cerca de A (es decir, en el cierre de A ), o quizás que A es una vecindad más pequeña de x que B. , pero las nociones de cercanía de puntos y cercanía relativa no se describen bien solo mediante la estructura topológica.

Definición

Hay tres definiciones equivalentes para un espacio uniforme. Todos ellos constan de un espacio dotado de una estructura uniforme.

Definición de séquito

Esta definición adapta la presentación de un espacio topológico en términos de sistemas de vecindad . Una colección no vacía de subconjuntos de es una ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$estructura uniforme (o unauniformidad ) si satisface los siguientes axiomas:

1. Si entonces ¿dónde está la diagonal? ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$ ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$
2. Si y entonces ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$ ${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. Si y entonces ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. Si entonces existe algo tal que , donde denota el compuesto de consigo mismo. El compuesto de dos subconjuntos y de está definido por ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\circ V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\times X}$
   $${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. Si entonces ¿dónde está la inversa de ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$ ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$ ${\displaystyle U.}$

El no vacío de tomado junto con (2) y (3) indica que es un filtro . Si se omite la última propiedad, llamamos al espacio ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X.}$cuasi uniforme . Un elementodese llama ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Phi }$vecindad oséquito de lafrancesaparaentorno.

Generalmente se escribe dónde está la sección transversal vertical y es la proyección canónica sobre la segunda coordenada. En un gráfico, un entorno típico se dibuja como una mancha que rodea la " " diagonal; todos los diferentes forman las secciones transversales verticales. Si entonces uno dice eso y ${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$ ${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle U[x]}$ ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$-cerca . De manera similar, si todos los pares de puntos en un subconjuntodeestáncerca (es decir, siestán contenidos en),se llama-pequeño. Un séquitoes ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$simétrico siprecisamente cuandoEl primer axioma establece que cada punto estácerca de sí mismo para cada entorno.El tercer axioma garantiza que estar "cerca ycerca" es también una relación de cercanía en la uniformidad. El cuarto axioma establece que para cada séquitohay un séquitoque "no es más de la mitad de grande". Finalmente, el último axioma establece que la propiedad "cercanía" con respecto a una estructura uniforme es simétrica eny ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle (y,x)\in U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Abase de séquitos osistema fundamental de séquitos (ovecindades) de una uniformidades cualquier conjuntode séquitos detal que cada séquito decontiene un conjunto perteneciente aPor lo tanto, por la propiedad 2 anterior, un sistema fundamental de séquitoses suficiente para especificar la uniformidadsin ambigüedades:es el conjunto de subconjuntos deque contienen un conjunto deTodo espacio uniforme tiene un sistema fundamental de séquitos que consta de séquitos simétricos. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

La intuición sobre las uniformidades la proporciona el ejemplo de los espacios métricos : si es un espacio métrico, los conjuntos ${\displaystyle (X,d)}$

$${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$

${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a.}$

Una uniformidad es más fina que otra uniformidad del mismo conjunto si en ese caso se dice que es más basta que ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi ;}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi .}$

Definición de pseudometría

Los espacios uniformes se pueden definir de forma alternativa y equivalente utilizando sistemas de pseudometría , un enfoque que es particularmente útil en el análisis funcional (con pseudometría proporcionada por seminormas ). Más precisamente, sea una pseudométrica en un conjunto. Se puede demostrar que las imágenes inversas forman un sistema fundamental de entornos de uniformidad. La uniformidad generada por el es la uniformidad definida por el pseudométrico único. Ciertos autores llaman espacios cuya topología se define en términos de espacios de calibre pseudométricos . ${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle f.}$

Para una familia de pseudométricas, la estructura uniforme definida por la familia es el límite superior mínimo de las estructuras uniformes definidas por las pseudométricas individuales. Un sistema fundamental de entornos de esta uniformidad lo proporciona el conjunto de intersecciones finitas de entornos de las uniformidades definidas por las pseudométricas individuales Si la familia de pseudométricas es finita , se puede observar que la misma estructura uniforme está definida por una única pseudométrica, es decir, la envolvente superior de la familia. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$

De manera menos trivial, se puede demostrar que una estructura uniforme que admite un sistema fundamental contable de entornos (de ahí, en particular, una uniformidad definida por una familia contable de pseudométricas) puede definirse mediante una única pseudométrica. Una consecuencia es que cualquier estructura uniforme puede definirse como arriba mediante una familia (posiblemente incontable) de pseudométricas (ver Bourbaki: Topología general Capítulo IX §1 no. 4).

Definición de cobertura uniforme

Un espacio uniforme es un conjunto dotado de una distinguida familia de coberturas denominadas "cubiertas uniformes", extraídas del conjunto de coberturas que forman un filtro cuando se ordenan por refinamiento de estrellas. Se dice que una portada es un refinamiento estrella de portada escrita si para cada existe tal que si entonces Axiomáticamente, la condición de ser filtro se reduce a: ${\displaystyle (X,\Theta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta ,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle B\subseteq U.}$

1. ${\displaystyle \{X\}}$es una cubierta uniforme (es decir, ). ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$
2. Si tiene una cobertura uniforme y una cobertura de entonces también es una cobertura uniforme. ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$
3. Si y son cubiertas uniformes, entonces hay una cubierta uniforme que refina ambas y ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Dado un punto y una cobertura uniforme, se puede considerar la unión de los miembros que contienen como una vecindad típica de "tamaño" y esta medida intuitiva se aplica uniformemente en todo el espacio. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$

Dado un espacio uniforme en el sentido de séquito, defina una cobertura como uniforme si hay algún séquito tal que para cada uno haya uno tal que Estas coberturas uniformes formen un espacio uniforme como en la segunda definición. Por el contrario, dado un espacio uniforme en el sentido de cobertura uniforme, los superconjuntos de as rangos sobre las coberturas uniformes son los entornos de un espacio uniforme como en la primera definición. Además, estas dos transformaciones son inversas entre sí. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$ ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Topología de espacios uniformes.

Todo espacio uniforme se convierte en un espacio topológico al definir un subconjunto como abierto si y sólo si para cada existe un entorno tal que sea un subconjunto de En esta topología, el filtro de vecindad de un punto es Esto se puede probar con un uso recursivo de la existencia de un séquito "de tamaño medio". En comparación con un espacio topológico general, la existencia de una estructura uniforme hace posible la comparación de tamaños de barrios: y se consideran del "mismo tamaño". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in O}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{V[x]:V\in \Phi \}.}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle V[y]}$

La topología definida por una estructura uniforme se dice que esinducida por la uniformidad . Una estructura uniforme en un espacio topológico escompatiblecon la topología si la topología definida por la estructura uniforme coincide con la topología original. En general, varias estructuras uniformes diferentes pueden ser compatibles con una topología dada en ${\displaystyle X.}$

Espacios uniformizables

Un espacio topológico se llamauniformizable si existe una estructura uniforme compatible con la topología.

Todo espacio uniformizable es un espacio topológico completamente regular . Además, para un espacio uniformable son equivalentes: ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio de Kolmogorov
• ${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff
• ${\displaystyle X}$es un espacio de Tychonoff
• para cualquier estructura uniforme compatible, la intersección de todos los entornos es la diagonal ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

Algunos autores (por ejemplo, Engelking) añaden esta última condición directamente en la definición de espacio uniformizable.

La topología de un espacio uniformizable es siempre una topología simétrica ; es decir, el espacio es un espacio R 0 .

Por el contrario, cada espacio completamente regular es uniformizable. Una uniformidad compatible con la topología de un espacio completamente regular se puede definir como la uniformidad más gruesa que hace que todas las funciones continuas de valor real sean uniformemente continuas. Un sistema fundamental de entornos para esta uniformidad lo proporcionan todas las intersecciones finitas de conjuntos donde es una función continua de valor real y es un entorno del espacio uniforme. Esta uniformidad define una topología, que es claramente más burda que la topología original de la que también es más fina que la topología original (por lo tanto coincide con ella) es una simple consecuencia de la regularidad completa: para cualquiera y una vecindad de hay una función continua de valor real con e igual a 1 en el complemento de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle V}$

En particular, un espacio compacto de Hausdorff es uniformizable. De hecho, para un espacio compacto de Hausdorff, el conjunto de todas las vecindades de la diagonal forma la uniformidad única compatible con la topología. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$

Un espacio uniforme de Hausdorff es metrizable si su uniformidad puede definirse mediante una familia contable de pseudométricas. De hecho, como se analizó anteriormente, dicha uniformidad puede definirse mediante una única pseudométrica, que es necesariamente una métrica si el espacio es de Hausdorff. En particular, si la topología de un espacio vectorial es Hausdorff y definible por una familia contable de seminormas , es metrizable.

Continuidad uniforme

Similares a las funciones continuas entre espacios topológicos , que preservan las propiedades topológicas , son las funciones uniformemente continuas entre espacios uniformes, que preservan las propiedades uniformes.

Una función uniformemente continua se define como aquella en la que las imágenes inversas de séquitos son nuevamente séquitos, o de manera equivalente, aquella en la que las imágenes inversas de coberturas uniformes son nuevamente coberturas uniformes. Explícitamente, una función entre espacios uniformes se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$uniformemente continuo si para cada séquitoenexiste un séquitoental que sientonceso en otras palabras, siempre quehay un séquito enentonceses un séquito en, dondese define por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)\in U}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\times f:X\times X\to Y\times Y}$ ${\displaystyle (f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).}$

Todas las funciones uniformemente continuas son continuas con respecto a las topologías inducidas.

Los espacios uniformes con mapas uniformes forman una categoría . Un isomorfismo entre espacios uniformes se llamaisomorfismo uniforme ; explícitamente, a es unabiyeccióncuyainversatambién es uniformemente continua. Ala incrustación uniforme es un mapa inyectivo uniformemente continuoentre espacios uniformes cuyo inversotambién es uniformemente continuo, donde la imagentiene la uniformidad subespacial heredada de ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle i^{-1}:i(X)\to X}$ ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Lo completo

Generalizando la noción de espacio métrico completo , también se puede definir completitud para espacios uniformes. En lugar de trabajar con secuencias de Cauchy , se trabaja con filtros de Cauchy (o redes de Cauchy ).

AFiltro Cauchy (respectivamente, unEl prefiltro de Cauchy )en un espacio uniformees unfiltro(respectivamente, unprefiltro)tal que para cada entornoexiste.En otras palabras, un filtro es Cauchy si contiene conjuntos "arbitrariamente pequeños". De las definiciones se desprende que cada filtro que converge (con respecto a la topología definida por la estructura uniforme) es un filtro de Cauchy. A ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A\in F}$ ${\displaystyle A\times A\subseteq U.}$El filtro Cauchy mínimo es un filtro Cauchy que no contiene ningún filtro Cauchy más pequeño (es decir, más grueso) (aparte de él mismo). Se puede demostrar que cada filtro de Cauchy contiene unfiltro de Cauchy mínimo. El filtro de vecindad de cada punto (el filtro que consta de todas las vecindades del punto) es un filtro de Cauchy mínimo.

Por el contrario, un espacio uniforme se llamacompleto si todos los filtros de Cauchy convergen. Cualquier espacio compacto de Hausdorff es un espacio uniforme completo con respecto a la uniformidad única compatible con la topología.

Los espacios uniformes completos disfrutan de la siguiente propiedad importante: si una función uniformemente continua pasa de un subconjunto denso de un espacio uniforme a un espacio uniforme completo , entonces se puede extender (únicamente) a una función uniformemente continua en todos ${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Un espacio topológico que puede convertirse en un espacio uniforme completo, cuya uniformidad induce la topología original, se denomina espacio completamente uniformizable .

ALa terminación de un espacio uniforme es un par completoque consta de un espacio uniforme completoy una incrustación uniformecuya imagenes unsubconjunto densode ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (i,C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i:X\to C}$ ${\displaystyle i(C)}$ ${\displaystyle C.}$

Finalización de Hausdorff de un espacio uniforme.

Como ocurre con los espacios métricos, todo espacio uniforme tiene un ${\displaystyle X}$Completación de Hausdorff : es decir, existe un espacio uniforme de Hausdorff completoy un mapa uniformemente continuo(sies un espacio uniforme de Hausdorff entonceses unaincrustación topológica) con la siguiente propiedad: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$

para cualquier mapeo uniformemente continuo de en un espacio uniforme de Hausdorff completo, existe un mapa único uniformemente continuo tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle f=gi.}$

La terminación de Hausdorff es única hasta el isomorfismo. Como conjunto, se puede considerar que consta de filtros mínimos de Cauchy. Como el filtro de vecindad de cada punto es un filtro mínimo de Cauchy, el mapa se puede definir mapeando a. El mapa así definido en general no es inyectivo; de hecho, la gráfica de la relación de equivalencia es la intersección de todos los entornos de y por tanto es inyectiva precisamente cuando es Hausdorff. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(x)=i(x')}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

La estructura uniforme se define de la siguiente manera: para cada ${\displaystyle Y}$séquito simétrico (es decir, tal queimplica),sea el conjunto de todos los paresde filtros de Cauchy mínimosque tienen en común al menos unconjunto pequeño.Se puede demostrar quelos conjuntosestá equipado con la estructura uniforme así definida. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (x,y)\in V}$ ${\displaystyle (y,x)\in V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle Y}$

El conjunto es entonces un subconjunto denso de Si es Hausdorff, entonces es un isomorfismo sobre y por tanto puede identificarse con un subconjunto denso de su compleción. Además, siempre es Hausdorff; se llama el ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i(X)}$Espacio uniforme de Hausdorff asociado con ${\displaystyle X.}$ Sidenota la relación de equivalenciaentonces el espacio cocientees homeomorfo a ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i(x)=i(x'),}$ ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle i(X).}$

Ejemplos

1. Todo espacio métrico puede considerarse como un espacio uniforme. De hecho, dado que una métrica es a fortiori una pseudométrica, la definición pseudométrica proporciona una estructura uniforme. Un sistema fundamental de entornos de esta uniformidad lo proporcionan los conjuntos. ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

   Esta estructura uniforme genera la topología de espacio métrico habitual. Sin embargo, diferentes espacios métricos pueden tener la misma estructura uniforme (un ejemplo trivial lo proporciona un múltiplo constante de una métrica). Esta estructura uniforme produce también definiciones equivalentes de continuidad e integridad uniformes para espacios métricos . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$
2. Utilizando métricas, se puede construir un ejemplo sencillo de estructuras uniformes distintas con topologías coincidentes. Por ejemplo, sea la métrica habitual on y let Entonces ambas métricas inducen la topología habitual on, pero las estructuras uniformes son distintas, ya que es un séquito en la estructura uniforme para pero no para Informalmente, se puede considerar que este ejemplo toma la uniformidad habitual y distorsionarlo mediante la acción de una función continua pero no uniformemente continua. ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(x,y).}$
3. Cada grupo topológico (en particular, cada espacio vectorial topológico ) se convierte en un espacio uniforme si definimos un subconjunto como un entorno si y sólo si contiene el conjunto para alguna vecindad del elemento identidad de . Esta estructura uniforme se llama uniformidad recta. porque para cada multiplicación correcta es uniformemente continua con respecto a esta estructura uniforme. También se puede definir una uniformidad izquierda en los dos, no es necesario que coincidan, pero ambos generan la topología dada en ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\subseteq G\times G}$ ${\displaystyle \{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle x\to x\cdot a}$ ${\displaystyle G;}$ ${\displaystyle G.}$
4. Para cada grupo topológico y su subgrupo, el conjunto de clases laterales izquierdas es un espacio uniforme con respecto a la uniformidad definida a continuación. Los conjuntos donde discurre sobre vecindades de la identidad forman un sistema de entornos fundamental para la uniformidad. La topología inducida correspondiente es igual a la topología cociente definida por el mapa natural. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle g\to G/H.}$
5. La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano es el único entorno . ${\displaystyle X\times X}$

Historia

Antes de que André Weil diera la primera definición explícita de estructura uniforme en 1937, conceptos uniformes, como el de integridad, se discutían utilizando espacios métricos . Nicolas Bourbaki proporcionó la definición de estructura uniforme en términos de séquito en el libro Topologie Générale y John Tukey dio la definición de cobertura uniforme. Weil también caracterizó espacios uniformes en términos de una familia de pseudometría.

Ver también

• Estructura gruesa  : familia de conjuntos en geometría y topología para medir propiedades a gran escala de un espacio.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
• Espacio completamente uniformable
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Estructura uniforme inicial  : topología más basta que hace que ciertas funciones sean continuasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de proximidad  : estructura que describe una noción de "cercanía" entre subconjuntos
• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con alguna estructura adicional
• Topología de convergencia uniforme
• Continuidad uniforme  : restricción uniforme del cambio de funciones.
• Isomorfismo uniforme  : homeomorfismo uniformemente continuo
• Propiedad uniforme  - Objeto de estudio en la categoría de espacios topológicos uniformes
• Espacio uniformemente conectado  - Tipo de espacio uniforme

Referencias

1. "IsarMathLib.org" . Consultado el 2 de octubre de 2021 .

• Nicolas Bourbaki , Topología general ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (capítulos 1–4), ISBN 0-387-19372-3 (capítulos 5–10): el capítulo II es una referencia completa de la topología uniforme. estructuras, el Capítulo IX § 1 cubre pseudometría, y el Capítulo III § 3 cubre estructuras uniformes en grupos topológicos  
• Ryszard Engelking , Topología general. Edición revisada y completada , Berlín 1989.
• John R. Isbell , Espacios uniformes ISBN 0-8218-1512-1 
• IM James , Introducción a los espacios uniformes ISBN 0-521-38620-9 
• IM James , Espacios topológicos y uniformes ISBN 0-387-96466-5 
• John Tukey , Convergencia y Uniformidad en Topología ; ISBN 0-691-09568-X 
• André Weil , Sur les espaces à Structure uniforme et sur la topologie générale , Act. Ciencia. Indiana 551 , París, 1937