Sistema de barrio

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el sistema de vecindad , sistema completo de vecindades , ^[1] o filtro de vecindad para un punto en un espacio topológico es la colección de todas las vecindades de ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Definiciones

Vecindad de un punto o conjunto

UnLa vecindad abierta de un punto (osubconjunto^{[nota 1]})en un espacio topológicoes cualquiersubconjunto abiertodeque contenga A ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$vecindad dein ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$es cualquier subconjuntoque contengaalgunavecindad abierta de; explícitamente,es una vecindad deinsi y solo siexiste algún subconjunto abiertocon.^[2][3] De manera equivalente, una vecindad dees cualquier conjunto que contieneen suinterior topológico. ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Es importante destacar que un "barrio" no tiene por qué ser un conjunto abierto; aquellos barrios que también son conjuntos abiertos se conocen como "barrios abiertos". ^{[nota 2]} De manera similar, una vecindad que también es un conjunto cerrado (respectivamente, compacto , conexo , etc.) se llama conjuntobarrio cerrado (respectivamente,barrio compacto ,barrio conectado , etc.). Hay muchos otros tipos de vecindades que se utilizan en topología y campos relacionados comoel análisis funcional. La familia de todos los barrios que tienen una determinada propiedad "útil" suele formar una base de barrio, aunque muchas veces estos barrios no son necesariamente abiertos.Los espacios localmente compactos, por ejemplo, son aquellos espacios que, en cada punto, tienen una base de vecindad formada enteramente por conjuntos compactos.

Filtro de barrio

El sistema de vecindad para un punto (o subconjunto no vacío ) es un filtro llamado filtro de vecindad para El filtro de vecindad para un punto es el mismo que el filtro de vecindad del conjunto singleton ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Base de barrio

Abase de vecindario obase local (obase vecinal obase local ) para un puntoes unabase de filtrodel filtro de vecindad; esto significa que es un subconjunto ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$

^[3] ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V.}$

De manera equivalente, es una base local en si y solo si se puede recuperar el filtro de vecindad en el sentido de que se cumple la siguiente igualdad: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$

subconjunto cofinalorden parcialde superconjuntode subconjunto ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ ${\displaystyle \supseteq }$

Subbase de barrio

Asubbase de vecindad enes una familiade subconjuntos delos cuales cada uno contienetal que la colección de todas las posiblesinterseccionesde elementos deforma una base de vecindad en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x.}$

Ejemplos

Si tiene su topología euclidiana habitual , entonces las vecindades de son todos aquellos subconjuntos para los cuales existe algún número real tal que. Por ejemplo, todos los siguientes conjuntos son vecindades de in : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$

${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$

números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es un subconjunto abierto de un espacio topológico , entonces para cada es una vecindad de in. Más generalmente, si es cualquier conjunto y denota el interior topológico de in entonces es una vecindad (in ) de cada punto y, además, no es una vecindad de ningún otro punto. Dicho de otra manera, es una vecindad de un punto si y sólo si ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

Bases vecinales

En cualquier espacio topológico, el sistema de vecindad de un punto es también una base de vecindad del punto. El conjunto de todas las vecindades abiertas en un punto forma una base de vecindad en ese punto. Para cualquier punto en un espacio métrico , la secuencia de bolas abiertas alrededor con radio forma una base de vecindad contable . Esto significa que cada espacio métrico es contable en primer lugar . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

Dado un espacio con topología indiscreta, el sistema de vecindad para cualquier punto solo contiene todo el espacio . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

En la topología débil en el espacio de medidas en un espacio, una base de vecindad está dada por ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$

continuas ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

Espacios senormados y grupos topológicos.

En un espacio seminormado , es decir, un espacio vectorial con la topología inducida por una seminorma , todos los sistemas de vecindad pueden construirse mediante la traducción del sistema de vecindad para el origen,

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

Esto se debe a que, por supuesto, la suma de vectores es continua por separado en la topología inducida. Por tanto, la topología está determinada por su sistema de vecindad en el origen. De manera más general, esto sigue siendo cierto siempre que el espacio es un grupo topológico o la topología está definida por un pseudométrico .

Propiedades

Supongamos y sea una base de vecindad para in Convierta en un conjunto dirigido ordenándolo parcialmente por inclusión de superconjunto. Entonces no es una vecindad de in si y sólo si existe una red indexada en tal que para cada (lo que implica que in ). ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Base (topología)  : colección de conjuntos abiertos utilizados para definir una topología.
• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Vecindario (matemáticas)  : conjunto abierto que contiene un punto determinado
• Subbase  : colección de subconjuntos que generan una topología.
• Vecindad tubular  : vecindad de una subvariedad homeomorfa al paquete normal de esa subvariedadPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Por lo general, "vecindad" se refiere a la vecindad de un punto y se indicará claramente si, en cambio, se refiere a la vecindad de un conjunto. Así, por ejemplo, una afirmación como "una vecindad en " que no se refiere a ningún punto o conjunto en particular debe, a menos que se indique lo contrario, significar "una vecindad de algún punto en " ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. La mayoría de los autores no exigen que los vecindarios sean conjuntos abiertos porque escribir "abierto" delante de "vecindario" cuando se necesita esta propiedad no es demasiado oneroso y porque exigir que siempre estén abiertos también limitaría en gran medida la utilidad de términos como " barrio cerrado" y "barrio compacto".

1. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 41.ISBN​ 0-486-66352-3.
2. Bourbaki 1989, págs. 17-21.
3. Willard 2004, págs. 31-37.
4. Willard, Stephen (1970). Topología general . Editorial Addison-Wesley. ISBN 9780201087079.(Ver Capítulo 2, Sección 4)

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.