Cofinal (matemáticas)

Propiedad matemática de los subconjuntos en la teoría del orden

En matemáticas , se dice que un subconjunto de un conjunto preordenado es cofinal o frecuente ^[1] en si para cada es posible encontrar un elemento en que sea "mayor que " (explícitamente, "mayor que " significa ). ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\leq b}$

Los subconjuntos cofinales son muy importantes en la teoría de conjuntos y redes dirigidas , donde “ subred cofinal ” es la generalización apropiada de “ subsecuencia ”. También son importantes en la teoría del orden , incluida la teoría de los números cardinales , donde la cardinalidad mínima posible de un subconjunto cofinal se denomina cofinalidad de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Definiciones

Sea una relación binaria homogénea sobre un conjunto Se dice que un subconjunto es cofinal o frecuente ^[1] con respecto a si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Para cada uno existe algo que ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\leq b.}$

Un subconjunto que no es frecuente se denomina infrecuente . ^[1] Esta definición se aplica más comúnmente cuando es un conjunto dirigido , que es un conjunto preordenado con propiedades adicionales. ${\displaystyle (A,\leq )}$

Funciones finales

Se dice que un mapa entre dos conjuntos dirigidos es final ^[2] si la imagen de es un subconjunto cofinal de ${\displaystyle f:X\to A}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A.}$

Subconjuntos coiniciales

Se dice que un subconjunto es coinicicial (o denso en el sentido de forzar ) si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle B\subseteq A}$

Para cada uno existe algo tal que ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle b\leq a.}$

Este es el dual de la teoría del orden de la noción de subconjunto cofinal. Los subconjuntos cofinales (respectivamente coiniciales) son precisamente los conjuntos densos con respecto a la topología de orden derecho (respectivamente izquierdo) .

Propiedades

La relación cofinal sobre conjuntos parcialmente ordenados (" posets ") es reflexiva : cada poset es cofinal en sí mismo. También es transitiva : si es un subconjunto cofinal de un poset y es un subconjunto cofinal de (con el ordenamiento parcial de aplicado a ), entonces es también un subconjunto cofinal de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A.}$

Para un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos , cada subconjunto cofinal debe contener todos los elementos máximos , de lo contrario, un elemento máximo que no esté en el subconjunto no sería menor o igual que ningún elemento del subconjunto, violando la definición de cofinal. Para un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mayor , un subconjunto es cofinal si y solo si contiene ese elemento mayor (esto se deduce, ya que un elemento mayor es necesariamente un elemento maximal). Los conjuntos parcialmente ordenados sin elemento mayor o elementos maximal admiten subconjuntos cofinales disjuntos. Por ejemplo, los números naturales pares e impares forman subconjuntos cofinales disjuntos del conjunto de todos los números naturales.

Si un conjunto parcialmente ordenado admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto que esté bien ordenado y sea cofinal en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Si es un conjunto dirigido y si es un subconjunto cofinal de entonces también es un conjunto dirigido. ^[1] ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (B,\leq )}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cualquier superconjunto de un subconjunto cofinal es en sí mismo cofinal. ^[1]

Si es un conjunto dirigido y si alguna unión de (uno o más) subconjuntos finitos es cofinal, entonces al menos uno del conjunto es cofinal. ^[1] Esta propiedad no es verdadera en general sin la hipótesis de que es dirigido. ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$

Relaciones de subconjuntos y bases de vecindad

Sea un espacio topológico y sea denotar el filtro de vecindad en un punto La relación de superconjunto es un orden parcial en : explícitamente, para cualesquiera conjuntos y declara que si y solo si (por lo que en esencia, es igual a ). Un subconjunto se llama base de vecindad en si (y solo si) es un subconjunto cofinal de es decir, si y solo si para cada existe alguno tal que (es decir, tal que ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle S\leq T}$ ${\displaystyle S\supseteq T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N\supseteq B.}$ ${\displaystyle N\leq B}$

Subconjuntos cofinales de los números reales

Para cualquier intervalo es un subconjunto cofinal de pero no es un subconjunto cofinal de El conjunto de números naturales (que consiste en números enteros positivos) es un subconjunto cofinal de pero esto no es cierto para el conjunto de números enteros negativos ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,}$ ${\displaystyle (x,\infty )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}$

De manera similar, para cualquier intervalo es un subconjunto cofinal de pero no es un subconjunto cofinal de El conjunto de los números enteros negativos es un subconjunto cofinal de pero esto no es cierto para los números naturales El conjunto de todos los números enteros es un subconjunto cofinal de y también un subconjunto cofinal de ; lo mismo es cierto para el conjunto ${\displaystyle -\infty <y<\infty ,}$ ${\displaystyle (-\infty ,y)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$ ${\displaystyle -\mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Conjunto cofinal de subconjuntos

Se da un caso particular pero importante si es un subconjunto del conjunto potencia de algún conjunto ordenado por inclusión inversa. Dado este ordenamiento de un subconjunto es cofinal en si para cada hay un tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \wp (E)}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\supseteq b.}$

Por ejemplo, sea un grupo y sea el conjunto de subgrupos normales de índice finito . La completitud profinita de se define como el límite inverso del sistema inverso de cocientes finitos de (que están parametrizados por el conjunto ). En esta situación, cada subconjunto cofinal de es suficiente para construir y describir la completitud profinita de ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$

Véase también

• Cofinito  – Ser un subconjunto cuyo complemento es un conjunto finitoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Cofinalidad  – Tamaño de los subconjuntos en la teoría del orden
• Conjunto superior  : subconjunto de un preorden que contiene todos los elementos más grandes
  • un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que contiene cada elemento para el cual existe un con ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle y\in P}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x\leq y}$

Referencias

1. Schechter 1996, págs. 158-165.
2. Bredon, Glen (1993). Topología y geometría . Springer. pág. 16.

• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .