Objeto de estudio en la categoría de espacios topológicos uniformes.
En el campo matemático de la topología una propiedad uniforme o invariante uniforme es una propiedad de un espacio uniforme que es invariante bajo isomorfismos uniformes .
Dado que los espacios uniformes vienen como espacios topológicos y los isomorfismos uniformes son homeomorfismos , cada propiedad topológica de un espacio uniforme es también una propiedad uniforme. Este artículo se ocupa (principalmente) de propiedades uniformes que no son propiedades topológicas.
Propiedades uniformes
- Separados . Un espacio uniforme X está separado si la intersección de todos los séquitos es igual a la diagonal en X × X. En realidad, esto es solo una propiedad topológica y equivalente a la condición de que el espacio topológico subyacente sea Hausdorff (o simplemente T 0 ya que todo espacio uniforme es completamente regular ).
- Completo . Un espacio uniforme X es completo si cada red de Cauchy en X converge (es decir, tiene un punto límite en X ).
- Totalmente acotado (o Precompacto ). Un espacio uniforme X está totalmente acotado si para cada entorno E ⊂ X × X hay una cobertura finita { U i } de X tal que U i × U i está contenido en E para todo i . De manera equivalente, X está totalmente acotado si para cada entorno E existe un subconjunto finito { x i } de X tal que X es la unión de todos los E [ x i ]. En términos de coberturas uniformes, X está totalmente acotado si toda cobertura uniforme tiene una subcobertura finita.
- Compacto . Un espacio uniforme es compacto si es completo y totalmente acotado. A pesar de la definición dada aquí, la compacidad es una propiedad topológica y por lo tanto admite una descripción puramente topológica (cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita).
- Uniformemente conectados . Un espacio uniforme X es uniformemente conexo si toda función uniformemente continua desde X hasta un espacio uniforme discreto es constante.
- Uniformemente desconectado . Un espacio uniforme X es uniformemente desconectado si no está uniformemente conexo.
Ver también
Referencias
- James, IM (1990). Introducción a los espacios uniformes . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38620-9.
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
