estructura gruesa

En los campos matemáticos de la geometría y la topología , una estructura burda en un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de espacios métricos y espacios topológicos .

La preocupación de la geometría y la topología tradicionales es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos , o vecindades , son en sí mismas abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio (como la limitación o los grados de libertad del espacio) no dependen de tales características. La geometría burda y la topología burda proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y así como una métrica o una topología contienen información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura burda contiene información sobre sus propiedades a gran escala.

Correctamente, una estructura burda no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme .

Definición

ALa estructura burda de unconjunto es una coleccióndesubconjuntosde(por lo tanto, caen bajo la categorización más general derelaciones binariasen) llamada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$El conjunto controlado s, y por lo queposee larelación de identidad, está cerrado bajo la toma de subconjuntos, inversas y uniones finitas, y está cerrado bajola composición de relaciones. Explícitamente: ${\displaystyle \mathbf {E} }$

1. Identidad/diagonal :

   La diagonal es miembro de la relación de identidad. ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

2. Cerrado tomando subconjuntos :

   Si y entonces ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle F\subseteq E,}$ ${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. Cerrado bajo tomando inversas :

   Si entonces la inversa (o transpuesta ) es miembro de —la relación inversa. ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

4. Cerrado bajo toma de sindicatos :

   Si entonces su sindicato es miembro de ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\cup F}$ ${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. Cerrado bajo composición :

   Si entonces su producto es miembro de —la composición de las relaciones . ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ there exists }}z\in X{\text{ such that }}(x,z)\in E{\text{ and }}(z,y)\in F\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Un conjunto dotado de una estructura tosca es un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$espacio grueso .

Para un subconjunto del conjunto se define como Definimos el ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle E[K]}$ ${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ for some }}k\in K\}.}$sección deporpara ser el conjuntotambién denotadoEl símbolodenota el conjuntoEstas son formas deproyecciones. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E[\{x\}],}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle E^{y}}$ ${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$

Se dice que un subconjunto de es un ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$Conjunto acotado sies un conjunto controlado. ${\displaystyle B\times B}$

Intuición

Los conjuntos controlados son conjuntos "pequeños", o " conjuntos insignificantes ": un conjunto tal que está controlado es despreciable, mientras que una función tal que su gráfica está controlada está "cercana" a la identidad. En la estructura gruesa acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados, y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en la métrica uniforme . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle f:X\to X}$

mapas gruesos

Dado un conjunto y una estructura burda decimos que los mapas y son ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle g:S\to X}$cerrar sies un conjunto controlado. ${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$

Para estructuras toscas y decimos que es un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa aproximado si para cada conjunto acotadodelconjuntoestá acotadoy para cada conjunto controladodelconjuntoestá controlado en^[1]yse dice que son ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)(E)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$aproximadamente equivalente si existen mapas aproximadosyaquellos queestán cercayestán cerca de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

Ejemplos

• ElLa estructura gruesa acotada en unespacio métrico es la colecciónde todoslos subconjuntosdetal queesfinita. Con esta estructura, lared de números enteroses aproximadamente equivalente alespacio euclidianode dimensiones. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Un espacio donde se controla se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$espacio acotado . Un espacio así equivale aproximadamente a un punto. Un espacio métrico con la estructura tosca acotada está acotado (como un espacio tosco) si y sólo si está acotado (como un espacio métrico).
• La estructura burda trivial sólo consta de la diagonal y sus subconjuntos. En esta estructura, un mapa es una equivalencia aproximada si y sólo si es una biyección (de conjuntos).
• El ${\displaystyle C_{0}}$La estructura gruesa en un espacio métricoes la colección de todos los subconjuntosdetal que para todoshay unconjuntocompactodetal quepara todos.Alternativamente, la colección de todos los subconjuntosdetal quees compacto. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ ${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}$
• ElLa estructura aproximada discreta de un conjuntoconsta de ladiagonaljunto con subconjuntosdelos cuales contienen sólo un número finito de puntosfuera de la diagonal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (x,y)}$
• Si es un espacio topológico entonces el ${\displaystyle X}$La estructura gruesa indiscreta constade todosadecuadosdesignificado, todos los subconjuntostales queysonrelativamente compactossiempre quesean relativamente compactos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E[K]}$ ${\displaystyle E^{-1}[K]}$ ${\displaystyle K}$

Ver también

• Bornología  : generalización matemática de la acotación
• Cuasiisometría  : función entre dos espacios métricos que solo respeta su geometría a gran escala.
• Espacio uniforme  : espacio topológico con noción de propiedades uniformes.

Referencias

1. Hoffland, Christian Estuardo. Estructuras de cursos y compactación de Higson . OCLC  76953246.

• John Roe, Conferencias sobre geometría gruesa , Serie de conferencias universitarias, vol. 31, Sociedad Estadounidense de Matemáticas: Providence, Rhode Island, 2003. Correcciones a conferencias sobre geometría tosca
• Roe, John (junio-julio de 2006). "¿Qué es... un espacio grueso?" ( PDF ) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 (6): 669 . Consultado el 16 de enero de 2008 .