Propiedad topológica

Propiedad matemática de un espacio

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , una propiedad topológica o invariante topológico es una propiedad de un espacio topológico que es invariante bajo homeomorfismos . Alternativamente, una propiedad topológica es una clase propia de espacios topológicos que es cerrada bajo homeomorfismos. Es decir, una propiedad de espacios es una propiedad topológica si siempre que un espacio X posee esa propiedad, todo espacio homeomorfo a X posee esa propiedad. De manera informal, una propiedad topológica es una propiedad del espacio que se puede expresar utilizando conjuntos abiertos .

Un problema común en topología es decidir si dos espacios topológicos son homeomorfos o no. Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos, es suficiente encontrar una propiedad topológica que no compartan.

Propiedades de las propiedades topológicas

Una propiedad es: ${\displaystyle P}$

• Hereditario , si para cada espacio topológico y subconjunto el subespacio tiene propiedad ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$
• Débilmente hereditario , si para cada espacio topológico y subconjunto cerrado el subespacio tiene la propiedad ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$

Propiedades topológicas comunes

Funciones cardinales

• La cardinalidad del espacio . ${\displaystyle \vert X\vert }$ ${\displaystyle X}$
• La cardinalidad de la topología (el conjunto de subconjuntos abiertos) del espacio . ${\displaystyle \vert \tau (X)\vert }$ ${\displaystyle X}$
• Peso , la menor cardinalidad de una base de la topología del espacio . ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Densidad , la menor cardinalidad de un subconjunto cuyo cierre es . ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Separación

Algunos de estos términos se definen de forma diferente en la literatura matemática más antigua; véase la historia de los axiomas de separación .

• T ₀ o Kolmogorov . Un espacio es de Kolmogorov si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, existe al menos un conjunto abierto que contiene a x pero no a y , o un conjunto abierto que contiene a y pero no a x .
• T ₁ o Fréchet . Un espacio es Fréchet si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene a x pero no a y . (Compárese con T ₀ ; aquí, se nos permite especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto.) De manera equivalente, un espacio es T ₁ si todos sus singletons son cerrados. Los espacios T ₁ son siempre T ₀ .
• Sobrio . Un espacio es sobrio si todo conjunto cerrado irreducible C tiene un único punto genérico p . En otras palabras, si C no es la unión (posiblemente no disjunta) de dos subconjuntos no vacíos cerrados más pequeños, entonces existe un p tal que la clausura de { p } es igual a C , y p es el único punto con esta propiedad.
• T ₂ o Hausdorff . Un espacio es de Hausdorff si cada dos puntos distintos tienen vecindades disjuntas. Los espacios T ₂ son siempre T ₁ .
• T _2½ o Urysohn . Un espacio es Urysohn si cada dos puntos distintos tienen vecindarios cerrados disjuntos. Los espacios T _2½ son siempre T ₂ .
• Completamente T ₂ o completamente Hausdorff . Un espacio es completamente T ₂ si cada dos puntos distintos están separados por una función . Todo espacio completamente Hausdorff es Urysohn.
• Regular . Un espacio es regular si siempre que C es un conjunto cerrado y p es un punto no en C , entonces C y p tienen vecindades disjuntas.
• T ₃ o Hausdorff regular . Un espacio es Hausdorff regular si es un espacio T ₀ regular . (Un espacio regular es Hausdorff si y solo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente .)
• Completamente regular . Un espacio es completamente regular si siempre que C es un conjunto cerrado y p es un punto que no está en C , entonces C y { p } están separados por una función .
• T _3½ , Tichonoff , Hausdorff completamente regular o completamente T ₃ . Un espacio de Tichonoff es un espacio T ₀ completamente regular . (Un espacio completamente regular es Hausdorff si y solo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente.) Los espacios de Tichonoff son siempre Hausdorff regulares.
• Normal . Un espacio es normal si dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades disjuntas. Los espacios normales admiten particiones de unidad .
• T ₄ o Hausdorff normal . Un espacio normal es Hausdorff si y sólo si es T _1. Los espacios de Hausdorff normales son siempre de Tichonoff.
• Completamente normal . Un espacio es completamente normal si dos conjuntos separados tienen vecindarios disjuntos.
• T ₅ o Hausdorff completamente normal . Un espacio completamente normal es Hausdorff si y solo si es T _1. Los espacios de Hausdorff completamente normales son siempre Hausdorff normales.
• Perfectamente normal . Un espacio es perfectamente normal si dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función . Un espacio perfectamente normal también debe ser completamente normal.
• T ₆ o Hausdorff perfectamente normal , o perfectamente T _4. Un espacio es Hausdorff perfectamente normal si es perfectamente normal y T _1. Un espacio de Hausdorff perfectamente normal también debe ser Hausdorff completamente normal.
• Espacio discreto . Un espacio es discreto si todos sus puntos están completamente aislados, es decir, si algún subconjunto es abierto.
• Número de puntos aislados . Número de puntos aislados de un espacio topológico.

Condiciones de rendición de cuentas

• Separable . Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso contable .
• Primer numerable . Un espacio es primer numerable si cada punto tiene una base local numerable .
• Segundo-contable . Un espacio es segundo-contable si tiene una base contable para su topología. Los espacios segundo-contables son siempre separables, primer-contables y Lindelöf.
• Lindelöf . Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable .
• σ -compacto . Un espacio es σ-compacto si es la unión de un número contable de subespacios compactos .

Conectividad

• Conexo . Un espacio es conexo si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De manera equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos abiertos y cerrados son el conjunto vacío y él mismo.
• Localmente conexo . Un espacio es localmente conexo si cada punto tiene una base local formada por conjuntos conexos.
• Totalmente desconectado . Un espacio está totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conexo con más de un punto.
• Conexo por caminos . Un espacio X es conexo por caminos si por cada dos puntos x , y en X , existe un camino p desde x hasta y , es decir, una función continua p : [0,1] →  X con p (0) = x y p (1) = y . Los espacios conexos por caminos siempre son conexos.
• Conexo localmente por trayectorias . Un espacio es conexo localmente por trayectorias si cada punto tiene una base local que consiste en conjuntos conexos por trayectorias. Un espacio conexo localmente por trayectorias es conexo si y solo si es conexo por trayectorias.
• Arcoconexo . Un espacio X es arcoconexo si por cada dos puntos x , y en X , existe un arco f de x a y , es decir, una función continua inyectiva con y . Los espacios arcoconexos son trayectoria-conexos. ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=x}$ ${\displaystyle p(1)=y}$
• Simplemente conexo . Un espacio X es simplemente conexo si es conexo por trayectorias y toda función continua es homotópica respecto de una función constante. ${\displaystyle f\colon S^{1}\to X}$
• Localmente simplemente conexo . Un espacio X es localmente simplemente conexo si cada punto x en X tiene una base local de vecindades U que es simplemente conexa.
• Conexidad semilocal simplemente conexa . Un espacio X es conexo semilocalmente simplemente conexo si cada punto tiene una base local de vecindades U tal que cada bucle en U es contráctil en X. La conectividad semilocal simple, una condición estrictamente más débil que la conectividad local simple, es una condición necesaria para la existencia de una cobertura universal .
• Contráctil . Un espacio X es contráctil si la función identidad en X es homotópica a una función constante. Los espacios contráctiles son siempre simplemente conexos.
• Hiperconexo . Un espacio es hiperconexo si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. Todo espacio hiperconexo es conexo.
• Ultraconexo . Un espacio es ultraconexo si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos disjuntos. Todo espacio ultraconexo es conexo por caminos.
• Indiscreto o trivial . Un espacio es indiscreto si los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo. Se dice que un espacio de este tipo tiene topología trivial .

Compacidad

• Compacto . Un espacio es compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita . Algunos autores llaman a estos espacios cuasicompactos y reservan el compacto para los espacios de Hausdorff donde toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita. Los espacios compactos son siempre de Lindelöf y paracompactos. Los espacios compactos de Hausdorff son, por tanto, normales.
• Secuencialmente compacto . Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
• Contablemente compacto . Un espacio es contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.
• Pseudocompacto . Un espacio es pseudocompacto si cada función continua de valor real en el espacio está acotada.
• σ-compacto . Un espacio es σ-compacto si es la unión de un número contable de subconjuntos compactos.
• Lindelöf . Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable .
• Paracompacto . Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento localmente finito abierto. Los espacios de Hausdorff paracompactos son normales.
• Localmente compacto . Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene una base local formada por vecindades compactas. También se utilizan definiciones ligeramente diferentes. Los espacios de Hausdorff localmente compactos son siempre de Tichonoff.
• Espacio compacto ultraconexo . En un espacio compacto ultraconexo X, cada cubierta abierta debe contener a X. Los espacios compactos ultraconexos no vacíos tienen un subconjunto abierto propio más grande llamado monolito .

Metrizabilidad

• Metrizable . Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico . Los espacios metrizables son siempre Hausdorff y paracompactos (y por lo tanto normales y de Tichonoff), y de primera numeración. Además, se dice que un espacio topológico es metrizable si existe una métrica para tal que la topología métrica es idéntica a la topología ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(d)}$ ${\displaystyle T.}$
• Polaco . Un espacio se llama polaco si es metrizable con una métrica separable y completa.
• Localmente metrizable . Un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene un entorno metrizable.

Misceláneas

• Espacio de Baire . Un espacio X es un espacio de Baire si no es exiguo en sí mismo. De manera equivalente, X es un espacio de Baire si la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos es densa.
• Espacio puerta . Un espacio topológico es un espacio puerta si cada subconjunto es abierto o cerrado (o ambos).
• Homogeneidad topológica . Un espacio X es (topológicamente) homogéneo si para cada x e y en X existe un homeomorfismo tal que Intuitivamente hablando, esto significa que el espacio parece igual en cada punto. Todos los grupos topológicos son homogéneos. ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$
• Finitamente generado o Alexandrov . Un espacio X es Alexandrov si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X son abiertas, o equivalentemente si las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas. Estos son precisamente los miembros finitamente generados de la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas.
• De dimensión cero . Un espacio es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos clopen. Éstos son precisamente los espacios con una dimensión inductiva pequeña de 0 .
• Casi discreto . Un espacio es casi discreto si todo conjunto abierto es cerrado (por lo tanto, clopen). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios cero-dimensionales finitamente generados.
• Booleano . Un espacio es booleano si es de dimensión cero, compacto y de Hausdorff (equivalentemente, totalmente desconectado, compacto y de Hausdorff). Éstos son precisamente los espacios que son homeomorfos a los espacios de Stone de las álgebras de Boole .
• Torsión de Reidemeister
• ${\displaystyle \kappa }$-resoluble . Se dice que un espacio es κ-resoluble ^[1] (respectivamente: casi κ-resoluble) si contiene κ conjuntos densos que son disjuntos por pares (respectivamente: casi disjuntos sobre el ideal de subconjuntos densos en ninguna parte). Si el espacio no es -resoluble, entonces se dice que es -irresoluble. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• Máximamente resoluble . El espacio es máximamente resoluble si es -resoluble, donde Número se llama carácter de dispersión de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle \Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X.}$
• Fuertemente discreto . Un conjunto es un subconjunto fuertemente discreto del espacio si los puntos en pueden estar separados por vecindades disjuntas por pares. Se dice que el espacio es fuertemente discreto si cada punto no aislado de es el punto de acumulación de algún conjunto fuertemente discreto. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades no topológicas

Existen muchos ejemplos de propiedades de espacios métricos , etc., que no son propiedades topológicas. Para demostrar que una propiedad no es topológica, es suficiente encontrar dos espacios topológicos homeomorfos tales que tengan , pero no tengan . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P}$

Por ejemplo, las propiedades del espacio métrico de acotación y completitud no son propiedades topológicas. Sean y espacios métricos con la métrica estándar. Entonces, mediante el homeomorfismo . Sin embargo, es completo pero no acotado, mientras que es acotado pero no completo. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle \operatorname {arctan} \colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Véase también

• Clase característica  – Asociación de clases de cohomología a haces principales
• Números característicos  – Asociación de clases de cohomología con haces principalesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Clase Chern  – Clases características de los fibrados vectoriales
• Característica de Euler  : invariante topológico en matemáticas
• Propiedad del punto fijo  – Propiedad matemática
• Homología y cohomología
• Grupo de homotopía y grupo de cohomotopía
• Nudo invariante  – Función de un nudo que toma el mismo valor para nudos equivalentes
• Número de enlace  – Invariante numérico que describe el enlace de dos curvas cerradas en el espacio tridimensional
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Invariante cuántico  : concepto en la teoría de nudos matemáticos
• Número cuántico topológico  : magnitudes físicas que toman valores discretos debido a efectos físicos cuánticos topológicos.
• Número de vueltas  : Número de veces que una curva se envuelve alrededor de un punto en el plano.

Citas

1. Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "Resolubilidad y normalidad monótona". Revista Israelí de Matemáticas . 166 (1): 1–16. arXiv : matemáticas/0609092 . doi : 10.1007/s11856-008-1017-y . ISSN  0021-2172. S2CID  14743623.

Referencias

• Willard, Stephen (1970). Topología general. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. pág. 369. ISBN 9780486434797.
• Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein y Graciana Puentes, Ingeniería de entrelazamiento y protección topológica mediante paseos cuánticos en tiempo discreto, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf