espacio T1

Espacio topológico en el que todos los conjuntos singleton están cerrados.

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio T ₁ es un espacio topológico en el que, para cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene al otro punto. ^[1] Un espacio R ₀ es aquel en el que esto se cumple para cada par de puntos topológicamente distinguibles . Las propiedades T ₁ y R ₀ son ejemplos de axiomas de separación .

Definiciones

Sea X un espacio topológico y sean x e y puntos en X. Decimos que xey están separados si cada uno se encuentra en una vecindad que no contiene al otro punto.

• X se llama espacio T ₁ si dos puntos distintos en X están separados.
• X se llama espacio R ₀ si dos puntos cualesquiera topológicamente distinguibles en X están separados.

El espacio AT ₁ también se denomina espacio accesible o espacio con topología de Fréchet y un espacio R ₀ también se denomina espacio simétrico . (El término espacio de Fréchet también tiene un significado completamente diferente en el análisis funcional . Por esta razón, se prefiere el término espacio T _1. También existe la noción de espacio de Fréchet-Urysohn como un tipo de espacio secuencial . El término espacio simétrico también tiene otro significado .)

Un espacio topológico es un espacio T ₁ si y sólo si es a la vez un espacio R ₀ y un espacio de Kolmogorov (o T ₀ ) (es decir, un espacio en el que distintos puntos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es un espacio R _{0 si y sólo si su} cociente de Kolmogorov es un espacio T _{1 .}

Propiedades

Si es un espacio topológico entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio T _{1 .}
2. ${\displaystyle X}$es un espacio T 0 y un espacio R ₀ .
3. Los puntos están cerrados ; es decir, para cada punto el conjunto singleton es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$
4. Cada subconjunto de es la intersección de todos los conjuntos abiertos que lo contienen. ${\displaystyle X}$
5. Todo conjunto finito es cerrado. ^[2]
6. Todo conjunto cofinito de es abierto. ${\displaystyle X}$
7. Por cada ultrafiltro fijo en converge solo a ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
8. Porque cada subconjunto de y cada punto es un punto límite de si y sólo si cada vecindad abierta de contiene infinitos puntos de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$
9. Cada mapa desde el espacio de Sierpiński hasta es trivial. ${\displaystyle X}$
10. El mapa desde el espacio de Sierpiński hasta el punto único tiene la propiedad de elevación con respecto al mapa desde el punto único. ${\displaystyle X}$

Si es un espacio topológico entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^[3] (donde denota el cierre de ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio R _{0 .}
2. Dado cualquiera, el cierre de contiene sólo los puntos que son topológicamente indistinguibles de ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$
3. El cociente de Kolmogorov es T ₁ . ${\displaystyle X}$
4. Para cualquiera está en el cierre de si y sólo si está en el cierre de ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
5. El preorden de especialización es simétrico ( y por lo tanto una relación de equivalencia ). ${\displaystyle X}$
6. Los conjuntos for forman una partición de (es decir, dos conjuntos cualesquiera son idénticos o disjuntos). ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$
7. Si es un conjunto cerrado y es un punto que no está en , entonces ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .}$
8. Cada vecindad de un punto contiene ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}.}$
9. Todo conjunto abierto es una unión de conjuntos cerrados .
10. Por cada ultrafiltro fijo en converge sólo a los puntos que son topológicamente indistinguibles de ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

En cualquier espacio topológico tenemos, como propiedades de dos puntos cualesquiera, las siguientes implicaciones

separados topológicamente distinguibles distintos ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Si la primera flecha se puede invertir, el espacio es R ₀ . Si la segunda flecha se puede invertir el espacio es T 0 . Si la flecha compuesta se puede invertir el espacio es T ₁ . Un espacio es T ₁ si y sólo si es a la vez R ₀ y T ₀ .

Un espacio T _{1 finito es necesariamente} discreto (ya que todo conjunto es cerrado).

Un espacio que es localmente T ₁ , en el sentido de que cada punto tiene una vecindad T ₁ (cuando se le da la topología del subespacio), también es T ₁ . ^[4] De manera similar, un espacio que es localmente R ₀ también es R ₀ . Por el contrario, la afirmación correspondiente no es válida para T ₂ espacios. Por ejemplo, la recta con dos orígenes no es un espacio de Hausdorff sino que es localmente Hausdorff.

Ejemplos

• El espacio de Sierpiński es un ejemplo simple de una topología que es T ₀ pero no es T ₁ y, por tanto, tampoco R ₀ .
• La topología de intervalo superpuesto es un ejemplo simple de una topología que es T ₀ pero no es T ₁ .
• Todo espacio débilmente de Hausdorff es T ₁ pero lo contrario no es cierto en general.
• La topología cofinita en un conjunto infinito es un ejemplo simple de una topología que es T ₁ pero no es Hausdorff (T ₂ ). Esto se deduce que no hay dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología cofinita que sean disjuntos. Específicamente, sea el conjunto de números enteros y defina los conjuntos abiertos como aquellos subconjuntos de que contienen todo menos un subconjunto finito de Luego, dados enteros distintos y : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• el conjunto abierto contiene pero no y el conjunto abierto contiene y no ; ${\displaystyle O_{\{x\}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle O_{\{y\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• de manera equivalente, todo conjunto singleton es el complemento del conjunto abierto , por lo que es un conjunto cerrado; ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle O_{\{x\}},}$

entonces el espacio resultante es T ₁ según cada una de las definiciones anteriores. Este espacio no es T ₂ , porque la intersección de dos conjuntos abiertos cualesquiera es y nunca está vacía. Alternativamente, el conjunto de números enteros pares es compacto pero no cerrado , lo que sería imposible en un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle O_{B}}$ ${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• El ejemplo anterior se puede modificar ligeramente para crear la topología cofinita de doble punta , que es un ejemplo de un espacio R _{0 que no es ni T 1} ni R ₁ . Sea nuevamente el conjunto de números enteros y, usando la definición de del ejemplo anterior, defina una subbase de conjuntos abiertos para que cualquier número entero sea si es un número par y si es impar. Entonces, la base de la topología está dada por las intersecciones finitas de los conjuntos subbásicos: dado un conjunto finito, los conjuntos abiertos de son ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

El espacio resultante no es T ₀ (y por tanto no T ₁ ), porque los puntos y ( incluso) son topológicamente indistinguibles; pero por lo demás es esencialmente equivalente al ejemplo anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle x}$

• La topología de Zariski en una variedad algebraica (sobre un campo algebraicamente cerrado ) es T ₁ . Para ver esto, observe que el singleton que contiene un punto con coordenadas locales es el conjunto cero de los polinomios. Por lo tanto, el punto está cerrado. Sin embargo, este ejemplo es bien conocido como un espacio que no es Hausdorff (T ₂ ). La topología de Zariski es esencialmente un ejemplo de topología cofinita. ${\displaystyle \left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• La topología de Zariski en un anillo conmutativo (es decir, el espectro primo de un anillo ) es T ₀ pero no, en general, T ₁ . ^[5] Para ver esto, observe que el cierre de un conjunto de un punto es el conjunto de todos los ideales primos que contienen el punto (y por lo tanto la topología es T ₀ ). Sin embargo, este cierre es un ideal máximo , y los únicos puntos cerrados son los ideales máximos y, por lo tanto, no están contenidos en ninguno de los conjuntos abiertos de la topología y, por lo tanto, el espacio no satisface el axioma T ₁ . Para ser claros con este ejemplo: la topología de Zariski para un anillo conmutativo se da de la siguiente manera: el espacio topológico es el conjunto de todos los ideales primos de La base de la topología está dada por los conjuntos abiertos de ideales primos que no contienen Es Es sencillo verificar que esto realmente forma la base: so y y Los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos de ideales primos que sí contienen. Observe cómo este ejemplo difiere sutilmente del ejemplo de topología cofinita anterior: los puntos en la topología no son cerrado, en general, mientras que en un espacio T ₁ , los puntos siempre están cerrados. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle O_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$ ${\displaystyle O_{0}=\varnothing }$ ${\displaystyle O_{1}=X.}$ ${\displaystyle a.}$
• Todo espacio totalmente desconectado es T ₁ , ya que todo punto es un componente conexo y por tanto cerrado.

Generalizaciones a otro tipo de espacios.

Los términos "T ₁ ", "R ₀ " y sus sinónimos también se pueden aplicar a variaciones de espacios topológicos como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de los ultrafiltros fijos (o redes constantes ) son únicos (para espacios T ₁ ) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios R ₀ ).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre R ₀ , por lo que la condición T ₁ en estos casos se reduce a la condición T ₀ . Pero R ₀ por sí solo puede ser una condición interesante en otros tipos de espacios de convergencia, como los espacios pretopológicos .

Ver también

• Propiedad topológica  - Propiedad matemática de un espacio

Citas

1. Arkhangel'skii (1990). Ver sección 2.6.
2. Archangel'skii (1990) Ver proposición 13, sección 2.6.
3. Schechter 1996, 16.6, pág. 438.
4. "El espacio localmente euclidiano implica el espacio T1". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. Arkhangel'skii (1990). Ver ejemplo 21, sección 2.6.

Bibliografía

• AV Arkhangel'skii, LS Pontryagin (Eds.) Topología general I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 . 
• Folland, Gerald (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 116.ISBN​ 0-471-31716-0.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición de Dover). 
• Willard, Stephen (1998). Topología general . Nueva York: Dover. págs. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.