Espacio pretopológico

Espacio topológico generalizado

En topología general , un espacio pretopológico es una generalización del concepto de espacio topológico . Un espacio pretopológico se puede definir en términos de filtros o de un operador de precierre . La noción similar, pero más abstracta, de pretopología de Grothendieck se utiliza para formar una topología de Grothendieck y se trata en el artículo sobre ese tema.

Sea un conjunto. Un sistema de vecindad para una pretopología en es una colección de filtros, uno para cada elemento de tal manera que cada conjunto en contiene como miembro. Cada elemento de se llama vecindad de Un espacio pretopológico es entonces un conjunto equipado con un sistema de vecindad de este tipo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle x.}$

Una red converge a un punto si está eventualmente en cada vecindario de ${\displaystyle x_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$ ${\displaystyle x.}$

Un espacio pretopológico también puede definirse como un conjunto con un operador de preclausura ( operador de clausura de Čech ). Se puede demostrar que las dos definiciones son equivalentes de la siguiente manera: defina la clausura de un conjunto en como el conjunto de todos los puntos tales que alguna red que converge a está eventualmente en Entonces se puede demostrar que ese operador de clausura satisface los axiomas de un operador de preclausura. A la inversa, sea un conjunto una vecindad de si no está en la clausura del complemento de Se puede demostrar que el conjunto de todas esas vecindades es un sistema de vecindad para una pretopología. ${\displaystyle (X,\operatorname {cl} ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Un espacio pretopológico es un espacio topológico cuando su operador de cierre es idempotente .

Una función entre dos espacios pretopológicos es continua si satisface para todos los subconjuntos ${\displaystyle f:(X,\operatorname {cl} )\to (Y,\operatorname {cl} ')}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} '(f(A)).}$$

Véase también

• Axiomas de cierre de Kuratowski  : concepto matemáticoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio de Cauchy  : concepto de topología general y análisis
• Espacio de convergencia  – Generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general
• Espacio de proximidad  : Estructura que describe una noción de "cercanía" entre subconjuntos

Referencias

• E. Čech, Espacios topológicos , John Wiley and Sons, 1966.
• D. Dikranjan y W. Tholen, Estructura categórica de los operadores de cierre , Kluwer Academic Publishers, 1995.
• S. MacLane, I. Moerdijk, Haces en geometría y lógica , Springer Verlag, 1992.

Enlaces externos

• Espacios de recombinación, métricas y pretopologías BMR Stadler, PF Stadler, M. Shpak. y GP Wagner. (Véase en particular el Apéndice A.)
• Conjuntos cerrados y clausuras en pretopología M. Dalud-Vincent, M. Brissaud y M Lamure. 2009 .