Espacio de convergencia

Generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general

En matemáticas , un espacio de convergencia , también llamado convergencia generalizada , es un conjunto junto con una relación llamada convergencia que satisface ciertas propiedades que relacionan elementos de X con la familia de filtros en X. Los espacios de convergencia generalizan las nociones de convergencia que se encuentran en la topología de conjuntos puntuales , incluyendo la convergencia métrica y la convergencia uniforme . Todo espacio topológico da lugar a una convergencia canónica pero hay convergencias, conocidas como convergencias no topológicas , que no surgen de ningún espacio topológico. ^[1] Los ejemplos de convergencias que en general son no topológicas incluyen la convergencia en medida y la convergencia casi en todas partes . Muchas propiedades topológicas tienen generalizaciones a los espacios de convergencia.

Además de su capacidad para describir nociones de convergencia que las topologías no pueden, la categoría de espacios de convergencia tiene una propiedad categórica importante de la que carece la categoría de espacios topológicos . La categoría de espacios topológicos no es una categoría exponencial (o, equivalentemente, no es cartesiana cerrada ) aunque está contenida en la categoría exponencial de espacios pseudotopológicos, que es en sí misma una subcategoría de la categoría (también exponencial) de espacios de convergencia. ^[2]

Definición y notación

Preliminares y notación

Denotemos el conjunto potencia de un conjunto por El cierre ascendente o isotonización en ^[3] de una familia de subconjuntos se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\left\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\left\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\right\}}$

y de manera similar el cierre hacia abajo de es Si (respectivamente ) entonces se dice que está cerrado hacia arriba (respectivamente cerrado hacia abajo ) en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\left\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Para cualquier familia y declarar que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$si y sólo si para cada existe algo tal que ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$

o equivalentemente, si entonces si y solo si La relación define un preorden en Si que por definición significa entonces se dice que es subordinado a y también más fino que y se dice que es más grueso que La relación se llama subordinación . Dos familias y se llaman equivalentes ( con respecto a la subordinación ) si y ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}.}$

Un filtro sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ es un subconjunto no vacío que está cerrado hacia arriba en cerrado bajo intersecciones finitas, y no tiene el conjunto vacío como elemento (es decir ). Un prefiltro es cualquier familia de conjuntos que es equivalente (con respecto a la subordinación) a algún filtro o, equivalentemente, es cualquier familia de conjuntos cuyo cierre hacia arriba es un filtro. Una familia es un prefiltro, también llamado base de filtro , si y solo si y para cualquier existe alguno tal que Una subbase de filtro es cualquier familia no vacía de conjuntos con la propiedad de intersección finita ; equivalentemente, es cualquier familia no vacía que está contenida como un subconjunto de algún filtro (o prefiltro), en cuyo caso el filtro más pequeño (con respecto a o ) que contiene se llama filtro ( sobre ) generado por . El conjunto de todos los filtros (respectivamente prefiltros , subbases de filtro, ultrafiltros ) sobre se denotará por (respectivamente ). El filtro principal o discreto sobre en un punto es el filtro ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {FilterSubbases} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$

Definición de espacios de (pre)convergencia

Para cualquier si entonces define ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\left\{x\in X~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

y si entonces define ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }^{-1}(x):=\left\{{\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

Así que si entonces si y sólo si El conjunto se llama el conjunto subyacente de y se denota por ^[1] ${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in X\times \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \left|\xi \right|:=X.}$

Una preconvergencia ^{[1] [2] [4]} en un conjunto no vacío es una relación binaria con la siguiente propiedad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$

1. Isótono : sientoncesimplica ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}}$
   • En palabras, cualquier punto límite de es necesariamente un punto límite de cualquier familia más fina/subordinada. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\geq {\mathcal {F}}.}$

y si además tiene la siguiente propiedad:

2. Centrado : si entonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)}$
   • En palabras, para cada ultrafiltro principal/discreto en converge a ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

entonces la preconvergencia se llama convergencia ^[1] en Una convergencia generalizada o un espacio de convergencia (respectivamente un espacio de preconvergencia ) es un par que consiste en un conjunto junto con una convergencia (respectivamente preconvergencia) en ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una preconvergencia se puede extender canónicamente a una relación también denotada por definiendo ^[1] ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X\times \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle \xi ,}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\lim {}_{\xi }\left({\mathcal {F}}^{\uparrow X}\right)}$

para todos Esta preconvergencia extendida será isótona en el sentido de que si entonces implica ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Prefilters} (X).}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}.}$

Ejemplos

Convergencia inducida por un espacio topológico

Sea un espacio topológico con Si entonces se dice que converge a un punto en escrito en si donde denota el filtro de vecindad de en El conjunto de todos tales que en se denota por o simplemente y los elementos de este conjunto se denominan puntos límite de en La convergencia ( canónica ) asociada con o inducida por es la convergencia en denotado por definido para todos y todos por: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \xi _{\tau },}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}}$si y solo si en ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

De manera equivalente, se define para todos ${\displaystyle \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}:=\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$

Una (pre)convergencia inducida por alguna topología se denomina (pre)convergencia topológica ; de lo contrario, se denomina (pre)convergencia no topológica . ${\displaystyle X}$

Fuerza

Sean y espacios topológicos y denotemos el conjunto de aplicaciones continuas La potencia con respecto a y es la topología más burda en que realiza el acoplamiento natural en una aplicación continua ^[2] El problema de encontrar la potencia no tiene solución a menos que sea localmente compacto . Sin embargo, si se busca una convergencia en lugar de una topología, entonces siempre existe una convergencia que resuelve este problema (incluso sin compacidad local). ^[2] En otras palabras, la categoría de espacios topológicos no es una categoría exponencial (es decir, o equivalentemente, no es cartesianamente cerrada ) aunque está contenida en la categoría exponencial de pseudotopologías, que es en sí misma una subcategoría de la categoría (también exponencial) de convergencias. ^[2] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (Z,\sigma )}$ ${\displaystyle C:=C\left((X,\tau );(Z,\sigma )\right)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Z,\sigma ).}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle =f(x)}$ ${\displaystyle (X,\tau )\times \left(C,\theta \right)\to (Z,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Otros ejemplos nombrados

Convergencia estándar en ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La convergencia estándar en la línea real ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ es la convergencia en definida para todos y todos ^[1] por: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\nu }{\mathcal {F}}}$Si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {F}}~\geq ~\left\{\left(x-{\frac {1}{n}},x+{\frac {1}{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Convergencia discreta

La preconvergencia discreta en un conjunto no vacío se define para todos y todos ^[1] por: ${\displaystyle \iota _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\iota _{X}}{\mathcal {F}}}$Si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {F}}~=~\{x\}^{\uparrow X}.}$

Una preconvergencia en es una convergencia si y sólo si ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \leq \iota _{X}.}$

Convergencia vacía

La preconvergencia vacía en un conjunto no vacío se define para todo ^[1] por: ${\displaystyle \varnothing _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \lim {}_{\varnothing _{X}}{\mathcal {F}}:=\emptyset .}$

Aunque es una preconvergencia en no es una convergencia en La preconvergencia vacía en es una preconvergencia no topológica porque para cada topología en el filtro de vecindad en cualquier punto dado necesariamente converge a en ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Convergencia caótica

La preconvergencia caótica en el conjunto no vacío se define para todo ^[1] por: La preconvergencia caótica en es igual a la convergencia canónica inducida por cuando está dotado de la topología indiscreta . ${\displaystyle o_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \lim {}_{o_{X}}{\mathcal {F}}:=X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Una preconvergencia en un conjunto no vacío se llama Hausdorff o T ₂ si es un conjunto singleton para todos ^[1] Se llama T ₁ si es para todos y se llama T ₀ si es para todos distintos ^[1] Toda preconvergencia T ₁ en un conjunto finito es Hausdorff. ^[1] Toda convergencia T ₁ en un conjunto finito es discreta. ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)\subseteq \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(x)\neq \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$

Si bien la categoría de espacios topológicos no es exponencial (es decir, cartesiana cerrada ), puede extenderse a una categoría exponencial mediante el uso de una subcategoría de espacios de convergencia. ^[2]

Véase también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología general y análisis
• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
• Filtro convergente  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de proximidad  : Estructura que describe una noción de "cercanía" entre subconjuntos
• Espacio topológico  – Espacio matemático con noción de cercanía

Citas

1. Dolecki y Mynard 2016, págs. 55–77.
2. Dolecki 2009, págs. 1–51
3. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27-29.
4. Dolecki y Mynard 2014, págs. 1–25

Referencias

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Dolecki, Szymon (2009). Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott (eds.). "Una iniciación en la teoría de la convergencia" (PDF) . Más allá de la topología . Serie de matemáticas contemporáneas AMS 486 : 115–162 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2014). "Una teoría unificada de espacios de funciones e hiperespacios: propiedades locales" (PDF) . Houston J. Math . 40 (1): 285–318 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .