Convergencia en la medida

La convergencia en medida es cualquiera de dos conceptos matemáticos distintos, los cuales generalizan el concepto de convergencia en probabilidad .

Definiciones

Sean funciones medibles en un espacio de medida. Se dice que la secuencia es ${\displaystyle f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle f_{n}}$convergen globalmente en la medida enque para cada uno y para ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0,}$$convergen localmente en medida asi para cada unoy cadacon ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle F\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (F)<\infty ,}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0.}$$

En un espacio de medida finito, ambas nociones son equivalentes. De lo contrario, la convergencia en la medida puede referirse tanto a la convergencia global en la medida como a la convergencia local en la medida, según el autor.

Propiedades

En todo momento, f y f _n ( n N ) son funciones mensurables X → R . ${\displaystyle \in }$

• La convergencia global en la medida implica convergencia local en la medida. Sin embargo, lo inverso es falso; es decir , la convergencia local en la medida es estrictamente más débil que la convergencia global en la medida, en general.
• Sin embargo, si, o, más generalmente, si f y todos los f _n desaparecen fuera de algún conjunto de medida finita, entonces la distinción entre convergencia local y global en medida desaparece. ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$
• Si μ es σ -finito y ( f _n ) converge (local o globalmente) a f en medida, existe una subsecuencia que converge a f casi en todas partes . La suposición de σ -finito no es necesaria en el caso de convergencia global en medida.
• Si μ es σ -finito, ( f _n ) converge a f localmente en medida si y sólo si cada subsecuencia tiene a su vez una subsecuencia que converge a f casi en todas partes.
• En particular, si ( f _n ) converge a f casi en todas partes, entonces ( f _n ) converge a f localmente en cierta medida. Lo inverso es falso.
• El lema de Fatou y el teorema de convergencia monótona se cumplen si casi en todas partes la convergencia es reemplazada por convergencia (local o global) en medida.
• Si μ es σ -finito, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue también se cumple si casi en todas partes la convergencia es reemplazada por convergencia (local o global) en medida.
• Si X = [ a , b ] ⊆ R y μ es una medida de Lebesgue , existen secuencias ( g _n ) de funciones escalonadas y ( h _n ) de funciones continuas que convergen globalmente en medida a f .
• Si f y f _n ( n ∈ N ) están en L ^p ( μ ) para algún p > 0 y ( f _n ) converge a f en la p -norma, entonces ( f _n ) converge a f globalmente en medida. Lo inverso es falso.
• Si f _n converge a f en medida y g _n converge a g en medida, entonces f _n + g _n converge a f + g en medida. Además, si el espacio de medida es finito, f _n g _n también converge a fg .

Contraejemplos

Sea μ la medida de Lebesgue y f la función constante con valor cero. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$

• La secuencia converge a f localmente en medida, pero no converge a f globalmente en medida. ${\displaystyle f_{n}=\chi _{[n,\infty )}}$
• La sucesión donde y (cuyos primeros cinco términos son ) converge a 0 globalmente en medida; pero para ningún x , f _n (x) converge a cero. Por lo tanto, (f _n ) no converge a f en casi todas partes. ${\displaystyle f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]}}$ ${\displaystyle k=\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ ${\displaystyle j=n-2^{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]}}$

• La secuencia converge a f casi en todas partes y globalmente en medida, pero no en la p -norma para ningún . ${\displaystyle f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Topología

Existe una topología , llamada topología de convergencia (local) en medida , sobre la colección de funciones mensurables de X tales que la convergencia local en medida corresponde a la convergencia en esa topología. Esta topología está definida por la familia de pseudometrías donde En general, uno puede restringirse a alguna subfamilia de conjuntos F (en lugar de todos los subconjuntos posibles de medida finita). Basta con que para cada uno de medida finita y exista F en la familia tal que Cuando , podemos considerar solo una métrica , por lo que la topología de convergencia en medida finita es metrizable. Si es una medida arbitraria finita o no, entonces todavía define una métrica que genera la convergencia global en medida. ^[1] $${\displaystyle \{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},}$$ $${\displaystyle \rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|f-g|,1\}\,d\mu .}$$ ${\displaystyle G\subset X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \mu (G\setminus F)<\varepsilon .}$ ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle \rho _{X}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|f-g|\geq \delta \})+\delta }$$

Como esta topología se genera mediante una familia de pseudometrías, es uniformizable . Trabajar con estructuras uniformes en lugar de topologías nos permite formular propiedades uniformes como Cauchyness .

Véase también

• Espacio de convergencia

Referencias

1. Vladimir I. Bogachev, Teoría de la medida, vol. I, Springer Science & Business Media, 2007

• DH Fremlin, 2000. Teoría de la medida . Torres Fremlin.
• HL Royden, 1988. Análisis real . Prentice Hall.
• GB Folland 1999, Sección 2.4. Análisis real . John Wiley & Sons.