Lema en la teoría de la medida
En matemáticas , el lema de Fatou establece una desigualdad que relaciona la integral de Lebesgue del límite inferior de una sucesión de funciones con el límite inferior de las integrales de estas funciones. El lema recibe su nombre de Pierre Fatou .
El lema de Fatou se puede utilizar para demostrar el teorema de Fatou-Lebesgue y el teorema de convergencia dominada de Lebesgue .
Declaración estándar
En lo que sigue, denota el -álgebra de conjuntos de Borel en .
Teorema — Lema de Fatou. Dado un espacio de medida y un conjunto sea una sucesión de funciones no negativas -medibles . Defina la función por para cada . Entonces es -medible, y
donde las integrales y el Límite inferior pueden ser infinitos .
El lema de Fatou sigue siendo cierto si sus supuestos se cumplen -casi en todas partes-. En otras palabras, basta con que exista un conjunto nulo tal que los valores no sean negativos para cada Para ver esto, observe que las integrales que aparecen en el lema de Fatou no cambian si cambiamos cada función en .
Prueba
El lema de Fatou no requiere el teorema de convergencia monótona , pero este último puede utilizarse para proporcionar una demostración rápida y natural. Más adelante se ofrece una demostración directamente a partir de las definiciones de integrales.
A través del teorema de convergencia monótona
Sea . Entonces:
- La secuencia es puntualmente no decreciente en cualquier x y
- , .
Desde
- ,
y la infima y la suprema de las funciones mensurables son mensurables vemos que es medible.
Por el Teorema de Convergencia Monótona y la propiedad (1), la suma y la integral pueden intercambiarse:
donde el último paso utilizó la propiedad (2).
De los "primeros principios"
Para demostrar que el teorema de convergencia monótona no está "oculto", la prueba a continuación no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí y el hecho de que las funciones y son medibles.
Denotamos por el conjunto de funciones simples -medibles tales que en .
Monotonía —
- Si en todas partes entonces
- Si y entonces
- Si f es no negativo y , donde es una cadena no decreciente de conjuntos -medibles, entonces
Prueba1. Ya que tenemos
Por definición de la integral de Lebesgue y las propiedades del supremo,
2. Sea la función indicadora del conjunto Se puede deducir de la definición de integral de Lebesgue que
si observamos que, para todo fuera de Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad implica
3. Nótese en primer lugar que la afirmación es válida si f es la función indicadora de un conjunto, por monotonía de medidas . Por linealidad, esto también implica inmediatamente la afirmación para funciones simples.
Dado que cualquier función simple soportada en S n es simple y soportada en X , debemos tener
- .
Para el caso inverso, supongamos que g ∈ SF( f ) con Por lo anterior,
Ahora nos dirigimos al teorema principal.
PruebaRecordemos que los intervalos cerrados generan el álgebra σ de Borel . Por lo tanto, basta con demostrar, para cada , que . Ahora observemos que
Todo conjunto del lado derecho es de , que es cerrado bajo intersecciones contables. Por lo tanto, el lado izquierdo también es miembro de .
De manera similar, basta con verificar que , para cada . Como la sucesión no decrece puntualmente,
- .
Paso 2 : Dada una función simple y un número real , defina
Entonces , , y .
PruebaPaso 2a. Para demostrar la primera afirmación, escriba s como una suma ponderada de funciones indicadoras de conjuntos disjuntos :
- .
Entonces
- .
Dado que la preimagen del conjunto de Borel bajo la función medible es medible, y las -álgebras son cerradas bajo intersecciones y uniones finitas, se sigue la primera afirmación.
Paso 2b. Para probar la segunda afirmación, observe que, para cada uno de ,
Paso 2c. Para probar la tercera afirmación, supongamos que existe una contradicción
Entonces , para cada . Tomando el límite como ,
Esto contradice nuestra suposición inicial de que .
Paso 3 — Del paso 2 y la monotonía,
Paso 4 — Para cada ,
- .
PruebaDe hecho, utilizando la definición de , la no negatividad de y la monotonía de la integral de Lebesgue, tenemos
- .
De acuerdo con el Paso 4, a medida que la desigualdad se vuelve
- .
Tomando el límite como rendimiento
- ,
según sea necesario.
Paso 5 — Para completar la prueba, aplicamos la definición de integral de Lebesgue a la desigualdad establecida en el Paso 4 y tenemos en cuenta que :
La prueba está completa.
Ejemplos de desigualdad estricta
Equipar el espacio con el σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue .
Estas secuencias convergen puntualmente (respectivamente de manera uniforme) a la función cero (con integral cero), pero cada una tiene integral uno.
El papel de la no negatividad
Una suposición adecuada sobre las partes negativas de la secuencia f 1 , f 2 , . . . de funciones es necesaria para el lema de Fatou, como lo muestra el siguiente ejemplo. Sea S la semirrecta [0,∞) con la σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. Para cada número natural n definamos
Esta secuencia converge uniformemente en S a la función cero y el límite, 0, se alcanza en un número finito de pasos: para cada x ≥ 0, si n > x , entonces f n ( x ) = 0. Sin embargo, toda función f n tiene integral −1. Contrariamente al lema de Fatou, este valor es estrictamente menor que la integral del límite (0).
Como se analiza en el § Extensiones y variaciones del lema de Fatou más adelante, el problema es que no existe un límite integrable uniforme en la secuencia desde abajo, mientras que 0 es el límite uniforme desde arriba.
Lema de Fatou inverso
Sea f 1 , f 2 , . . . una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable no negativa g en S tal que f n ≤ g para todo n , entonces
Nota: Aquí g integrable significa que g es medible y que .
Bosquejo de la prueba
Aplicamos la linealidad de la integral de Lebesgue y el lema de Fatou a la secuencia. Dado que esta secuencia está definida -casi en todas partes- y no es negativa.
Extensiones y variaciones del lema de Fatou
Límite inferior integrable
Sea f 1 , f 2 , . . . una secuencia de funciones reales medibles extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable g en S tal que f n ≥ − g para todo n , entonces
Prueba
Aplicar el lema de Fatou a la secuencia no negativa dada por f n + g .
Convergencia puntual
Si en la configuración anterior la secuencia f 1 , f 2 , . . . converge puntualmente a una función f μ - casi en todas partes en S , entonces
Prueba
Nótese que f tiene que concordar con el límite inferior de las funciones f n casi en todas partes, y que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no tienen influencia en el valor de la integral.
Convergencia en la medida
La última afirmación también es válida si la secuencia f 1 , f 2 , . . . converge en medida a una función f .
Prueba
Existe una subsecuencia tal que
Como esta subsecuencia también converge en medida a f , existe otra subsecuencia que converge puntualmente a f casi en todas partes, por lo que la variación anterior del lema de Fatou es aplicable a esta subsubsecuencia.
Lema de Fatou con medidas variables
En todos los enunciados anteriores del Lema de Fatou, la integración se llevó a cabo con respecto a una única medida fija μ. Supongamos que μ n es una secuencia de medidas en el espacio medible ( S , Σ ) tal que (véase Convergencia de medidas )
- .
Entonces, con f n funciones integrables no negativas y f siendo su límite puntual inferior, tenemos
Lema de Fatou para expectativas condicionales
En teoría de la probabilidad , mediante un cambio de notación, las versiones anteriores del lema de Fatou son aplicables a secuencias de variables aleatorias X 1 , X 2 , . . . definidas en un espacio de probabilidad ; las integrales se convierten en expectativas . Además, también existe una versión para expectativas condicionales .
Versión estándar
Sea X 1 , X 2 , . . . una secuencia de variables aleatorias no negativas en un espacio de probabilidad y sea una sub- σ-álgebra . Entonces
- casi seguro .
Nota: La expectativa condicional para variables aleatorias no negativas siempre está bien definida, no es necesaria la expectativa finita.
Prueba
Aparte de un cambio de notación, la prueba es muy similar a la de la versión estándar del lema de Fatou anterior, sin embargo se debe aplicar el teorema de convergencia monótona para expectativas condicionales .
Sea X el límite inferior de X n . Para cada número natural k definamos puntualmente la variable aleatoria
Entonces la secuencia Y 1 , Y 2 , . . . es creciente y converge puntualmente a X . Para k ≤ n , tenemos Y k ≤ X n , de modo que
- casi seguro
por la monotonía de la expectativa condicional , por lo tanto
- casi seguro,
porque la unión numerable de los conjuntos excepcionales de probabilidad cero es nuevamente un conjunto nulo . Utilizando la definición de X , su representación como límite puntual de Y k , el teorema de convergencia monótona para expectativas condicionales, la última desigualdad y la definición del límite inferior, se deduce que casi con seguridad
Extensión a partes negativas uniformemente integrables
Sea X 1 , X 2 , . . . una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad y sea una sub- σ-álgebra . Si las partes negativas
son uniformemente integrables respecto de la expectativa condicional, en el sentido de que, para ε > 0 existe una c > 0 tal que
- ,
entonces
- Casi seguro.
Nota: En el set donde
satisface
Se considera que el lado izquierdo de la desigualdad es más infinito. La esperanza condicional del límite inferior podría no estar bien definida en este conjunto, porque la esperanza condicional de la parte negativa también podría ser más infinito.
Prueba
Sea ε > 0. Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la expectativa condicional, existe un c > 0 tal que
Desde
donde x + := max{ x ,0} denota la parte positiva de un x real , la monotonía de la expectativa condicional (o la convención anterior) y la versión estándar del lema de Fatou para expectativas condicionales implican
- Casi seguro.
Desde
tenemos
- casi seguro,
por eso
- Casi seguro.
Esto implica la afirmación.
Referencias
- Carothers, NL (2000). Análisis real . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 321–22. ISBN 0-521-49756-6.
- Royden, HL (1988). Análisis real (3.ª ed.). Londres: Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3.
- Weir, Alan J. (1973). "Los teoremas de convergencia". Integración y medida de Lebesgue . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.