Teorema de Fatou-Lebesgue

Teorema de la teoría de la medida

En matemáticas , el teorema de Fatou-Lebesgue establece una cadena de inecuaciones que relacionan las integrales (en el sentido de Lebesgue ) del límite inferior y del límite superior de una sucesión de funciones con el límite inferior y el límite superior de las integrales de estas funciones. El teorema recibe su nombre de Pierre Fatou y Henri Léon Lebesgue .

Si la secuencia de funciones converge puntualmente , las desigualdades se convierten en igualdades y el teorema se reduce al teorema de convergencia dominada de Lebesgue .

Enunciado del teorema

Sea f ₁ , f ₂ , ... una sucesión de funciones medibles de valor real definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable de Lebesgue g en S que domina la sucesión en valor absoluto, es decir que | f _n | ≤  g para todos los números naturales n , entonces todas las f _n así como el límite inferior y el límite superior de las f _n son integrables y

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \,.}$

Aquí se toman puntualmente el límite inferior y el límite superior de f _n . La integral del valor absoluto de estas funciones límite está acotada por encima por la integral de g .

Dado que la desigualdad media (para secuencias de números reales) siempre es verdadera, las direcciones de las otras desigualdades son fáciles de recordar.

Prueba

Todas las f _n así como el límite inferior y el límite superior de f _n son medibles y dominados en valor absoluto por g , por tanto integrables.

Usando la linealidad de la integral de Lebesgue y aplicando el lema de Fatou a las funciones no negativas obtenemos Cancelando el término finito(!) obtenemos la primera desigualdad. La segunda desigualdad es la desigualdad elemental entre y . La última desigualdad se obtiene aplicando el lema de Fatou inverso , es decir aplicando el lema de Fatou a las funciones no negativas , y nuevamente (hasta el signo) cancelando el término finito. ${\displaystyle f_{n}+g}$ $${\displaystyle \int _{X}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu +\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}\liminf _{n\to \infty }(f_{n}+g)\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}(f_{n}+g)\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu +\int _{X}g\,d\mu .}$$ ${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu }$ ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle \limsup }$ ${\displaystyle g-f_{n}}$ ${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu }$

Finalmente, desde entonces , ${\displaystyle \limsup _{n}|f_{n}|\leq g}$

${\displaystyle \max {\bigl (}{\biggl |}\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu {\biggr |},{\Bigl |}\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu {\Bigr |}{\bigr )}\leq \int _{S}\max {\bigl (}{\Bigl |}\liminf _{n\to \infty }f_{n}{\Bigr |},{\Bigl |}\limsup _{n\to \infty }f_{n}{\Bigr |}{\bigr )}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}g\,d\mu }$

por la monotonía de la integral de Lebesgue .

Referencias

• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.

Enlaces externos

• "Teorema de Fatou-Lebesgue". PlanetMath .