familia de conjuntos

Cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto.

En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas , una familia (o colección ) puede significar cualquiera de

• colocar
• conjunto indexado
• conjunto múltiple
• clase

dependiendo del contexto. Una colección de subconjuntos de un conjunto dado se llama familia de subconjuntos de , o familia de conjuntos sobre . Más generalmente, una colección de cualquier conjunto se llama familia de conjuntos , familia de conjuntos o sistema de conjuntos . Además, una familia de conjuntos se puede definir como una función desde un conjunto , conocido como conjunto índice, hasta , en cuyo caso los conjuntos de la familia están indexados por miembros de . ^[1] En algunos contextos, se puede permitir que una familia de conjuntos contenga copias repetidas de cualquier miembro determinado, ^{[2] [3] [4]} y en otros contextos puede formar una clase adecuada . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

Una familia finita de subconjuntos de un conjunto finito también se llama hipergrafo . El tema de la teoría de conjuntos extremos se refiere a los ejemplos más grandes y más pequeños de familias de conjuntos que satisfacen ciertas restricciones. ${\displaystyle S}$

Ejemplos

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado se llama conjunto potencia de y se denota por El conjunto potencia de un conjunto dado es una familia de conjuntos sobre ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S).}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Un subconjunto de elementos que tienen se llama subconjunto de Los subconjuntos de un conjunto forman una familia de conjuntos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{(k)}}$ ${\displaystyle S}$

Un ejemplo de una familia de conjuntos (en el sentido de conjuntos múltiples ) viene dado por dónde y ${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\},}$ ${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}.}$

La clase de todos los números ordinales es una gran familia de conjuntos. Es decir, no es en sí mismo un conjunto sino una clase propiamente dicha . ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$

Propiedades

Cualquier familia de subconjuntos de un conjunto es en sí misma un subconjunto del conjunto potencia si no tiene miembros repetidos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$

Cualquier familia de conjuntos sin repeticiones es una subclase de la clase propia de todos los conjuntos (el universo ).

El teorema del matrimonio de Hall , debido a Philip Hall , da condiciones necesarias y suficientes para que una familia finita de conjuntos no vacíos (se permiten repeticiones) tenga un sistema de representantes distintos .

Si es cualquier familia de conjuntos, entonces denota la unión de todos los conjuntos en donde, en particular, cualquier familia de conjuntos es una familia y también una familia sobre cualquier superconjunto de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}.}$

Conceptos relacionados

Ciertos tipos de objetos de otras áreas de las matemáticas son equivalentes a familias de conjuntos, en el sentido de que pueden describirse puramente como una colección de conjuntos de objetos de algún tipo:

• Un hipergrafo , también llamado sistema de conjuntos, está formado por un conjunto de vértices junto con otro conjunto de hiperaristas , cada uno de los cuales puede ser un conjunto arbitrario. Los hiperaristas de un hipergrafo forman una familia de conjuntos, y cualquier familia de conjuntos puede interpretarse como un hipergrafo que tiene la unión de los conjuntos como vértices.
• Un complejo simplicial abstracto es una abstracción combinatoria de la noción de complejo simplicial , una forma formada por uniones de segmentos de línea, triángulos, tetraedros y símplices de dimensiones superiores , unidos cara a cara. En un complejo simplicial abstracto, cada simplex se representa simplemente como el conjunto de sus vértices. Cualquier familia de conjuntos finitos sin repeticiones en la que los subconjuntos de cualquier conjunto de la familia también pertenecen a la familia forma un complejo simplicial abstracto.
• Una estructura de incidencia consta de un conjunto de puntos , un conjunto de líneas y una relación binaria (arbitraria) , llamada relación de incidencia , que especifica qué puntos pertenecen a qué líneas. Una estructura de incidencia puede especificarse mediante una familia de conjuntos (incluso si dos líneas distintas contienen el mismo conjunto de puntos), los conjuntos de puntos que pertenecen a cada línea, y cualquier familia de conjuntos puede interpretarse como una estructura de incidencia de esta manera.
• Un código de bloque binario consta de un conjunto de palabras de código, cada una de las cuales es una cadena de ceros y unos, todas de la misma longitud. Cuando cada par de palabras en código tiene una distancia de Hamming grande , se puede utilizar como código de corrección de errores . Un código de bloque también puede describirse como una familia de conjuntos, describiendo cada palabra de código como el conjunto de posiciones en las que contiene un 1.
• Un espacio topológico consta de un par donde hay un conjunto (cuyos elementos se llaman puntos ) y una topología sobre la cual hay una familia de conjuntos (cuyos elementos se llaman conjuntos abiertos ) que contiene tanto el conjunto vacío como a sí mismo, y es cerrado. bajo uniones de conjuntos arbitrarios e intersecciones de conjuntos finitos. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Cubiertas y topologías

Se dice que una familia de conjuntos cubre un conjunto si cada punto de pertenece a algún miembro de la familia. Una subfamilia de una portada que también es una portada se llama subcubierta . Una familia se llama colección puntual finita si cada punto de se encuentra en un número finito de miembros de la familia. Si cada punto de una cubierta se encuentra exactamente en un miembro, la cubierta es una partición de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando es un espacio topológico , una cubierta cuyos miembros son todos conjuntos abiertos se llama cubierta abierta . Una familia se llama localmente finita si cada punto en el espacio tiene una vecindad que intersecta sólo a un número finito de miembros de la familia. Una colección σ-localmente finita o contablemente localmente finita es una familia que es la unión de un número contable de familias localmente finitas. ${\displaystyle X}$

Se dice que una cubierta refina otra cubierta (más burda) si cada miembro de está contenido en algún miembro de Un refinamiento en estrella es un tipo particular de refinamiento. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Tipos especiales de familias de conjuntos.

Una familia Sperner es una familia de conjuntos en la que ninguno de los conjuntos contiene a los demás. El teorema de Sperner limita el tamaño máximo de una familia Sperner.

Una familia Helly es una familia establecida tal que cualquier subfamilia mínima con una intersección vacía tiene un tamaño acotado. El teorema de Helly establece que los conjuntos convexos en espacios euclidianos de dimensión acotada forman familias de Helly.

Un complejo simplicial abstracto es una familia de conjuntos (que consta de conjuntos finitos) que está cerrada hacia abajo ; es decir, cada subconjunto de un conjunto también está en Una matroide es un complejo simplicial abstracto con una propiedad adicional llamada propiedad de aumento . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Cada filtro es una familia de conjuntos.

Un espacio de convexidad es una familia de conjuntos cerrada bajo intersecciones y uniones de cadenas arbitrarias (con respecto a la relación de inclusión ).

Otros ejemplos de familias establecidas son los sistemas de independencia , los codiciosos , los antimatroides y los espacios bornológicos .

Ver también

• Álgebra de conjuntos  : identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Clase (teoría de conjuntos)  : colección de conjuntos en matemáticas que se pueden definir en función de una propiedad de sus miembros.
• Diseño combinatorio  : disposición simétrica de conjuntos finitos.
• Anillo δ  : anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos.
• Cuantificador generalizado  : tipo de expresión en semántica lingüísticaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Familia indexada  : colección de objetos, cada uno asociado con un elemento de algún conjunto de índices.
• Sistema λ (sistema Dynkin)  : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Sistema π  : familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• La paradoja de Russell  - Paradoja en la teoría de conjuntos (o Conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos )
• σ-álgebra  - Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• σ-ring  – Anillo cerrado bajo uniones contables

Notas

1. P. Halmos, Teoría ingenua de conjuntos , p.34. Serie universitaria de matemáticas de pregrado, 1960. Litton Educational Publishing, Inc.
2. Brualdi 2010, pág. 322
3. Roberts y Tesman 2009, pág. 692
4. Biggs 1985, pág. 89

Referencias

• Biggs, Norman L. (1985), Matemáticas discretas , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010), Combinatoria introductoria (5ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2
• Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), Combinatoria aplicada (2ª ed.), Boca Ratón: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

enlaces externos

• Medios relacionados con familias de conjuntos en Wikimedia Commons