Anillo sigma

Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

En matemáticas , una colección de conjuntos no vacía se denomina anillo 𝜎 (se pronuncia anillo sigma ) si está cerrada bajo unión contable y complementación relativa .

Definición formal

Sea una colección no vacía de conjuntos . Entonces es un anillo 𝜎 si: ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

1. Cerrado bajo uniones contables : si para todos ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. Cerrado bajo complementación relativa : si ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

Propiedades

Estas dos propiedades implican: siempre que sean elementos de $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Esto es porque $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).}$$

Cada anillo 𝜎 es un anillo δ pero existen anillos δ que no son anillos 𝜎.

Conceptos similares

Si la primera propiedad se debilita hasta el cierre bajo unión finita (es decir, siempre que ) pero no bajo unión contable, entonces es un anillo pero no un 𝜎-anillo. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Usos

Los anillos 𝜎 se pueden utilizar en lugar de los cuerpos 𝜎 (álgebras 𝜎) en el desarrollo de la teoría de la medida y la integración , si no se desea exigir que el conjunto universal sea medible. Todo cuerpo 𝜎 es también un anillo 𝜎, pero un anillo 𝜎 no tiene por qué ser un cuerpo 𝜎.

Un anillo 𝜎 que es una colección de subconjuntos de induce un cuerpo 𝜎 para Define Entonces es un cuerpo 𝜎 sobre el conjunto - para comprobar el cierre bajo unión contable, recuerda que un anillo - está cerrado bajo intersecciones contables. De hecho es el cuerpo 𝜎 mínimo que contiene ya que debe estar contenido en cada cuerpo 𝜎 que contiene ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{E\subseteq X:E\in {\mathcal {R}}\ {\text{or}}\ E^{c}\in {\mathcal {R}}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Véase también

• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Unir (álgebra sigma)  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Función medible  – Función para la cual la preimagen de un conjunto medible es medible
• Clase monótona  – teoremaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativaPáginas que muestran descripciones breves sin espacios
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Espacio muestral  : conjunto de todos los resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.
• 𝜎 aditividad  – Función de mapeo
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables

Referencias

• Walter Rudin , 1976. Principles of Mathematical Analysis , 3.ª ed. McGraw-Hill. El capítulo final utiliza anillos 𝜎 en el desarrollo de la teoría de Lebesgue.