Sistema Pi

Familia de conjuntos cerrados bajo intersección

En matemáticas , un sistema π (o sistema pi ) en un conjunto es una colección de ciertos subconjuntos de tales que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle P}$no está vacío .
• Si entonces ${\displaystyle A,B\in P}$ ${\displaystyle A\cap B\in P.}$

Es decir, es una familia no vacía de subconjuntos de que está cerrada bajo intersecciones finitas no vacías . ^{[nb 1]} La importancia de los π -sistemas surge del hecho de que si dos medidas de probabilidad concuerdan en un π -sistema, entonces concuerdan en el 𝜎-álgebra generada por ese π -sistema. Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, se cumplen para el π -sistema, entonces se cumplen también para el 𝜎-álgebra generada. Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los que se cumple la propiedad es un 𝜆-sistema . Los π -sistemas también son útiles para comprobar la independencia de variables aleatorias. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$

Esto es deseable porque en la práctica, los sistemas π suelen ser más sencillos de trabajar que las 𝜎-álgebras. Por ejemplo, puede resultar complicado trabajar con 𝜎-álgebras generadas por un número infinito de conjuntos. Por lo tanto, podemos examinar la unión de todas las 𝜎-álgebras generadas por un número finito de conjuntos . Esto forma un sistema π que genera la 𝜎-álgebra deseada. Otro ejemplo es la colección de todos los intervalos de la línea real , junto con el conjunto vacío, que es un sistema π que genera la muy importante 𝜎-álgebra de Borel de subconjuntos de la línea real. ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$ ${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$

Definiciones

Un π -sistema es una colección no vacía de conjuntos que está cerrada bajo intersecciones finitas no vacías, lo que equivale a contener la intersección de dos de sus elementos. Si cada conjunto en este π -sistema es un subconjunto de entonces se llama π -sistema en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Para cualquier familia no vacía de subconjuntos de existe un π -sistema llamado el π -sistema generado por , que es el único π -sistema de que contiene cada elemento de Es igual a la intersección de todos los π -sistemas que contienen y puede describirse explícitamente como el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas no vacías de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$$

Una familia de conjuntos no vacía tiene la propiedad de intersección finita si y sólo si el sistema π que genera no contiene el conjunto vacío como elemento.

Ejemplos

• Para cualquier número real y los intervalos forman un sistema π , y los intervalos forman un sistema π si también se incluye el conjunto vacío. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ ${\displaystyle (a,b]}$
• La topología (colección de subconjuntos abiertos ) de cualquier espacio topológico es un sistema π .
• Cada filtro es un sistema π . Todo sistema π que no contenga el conjunto vacío es un prefiltro (también conocido como base de filtro).
• Para cualquier función medible, el conjunto   define un π -sistema, y ​​se denomina π -sistema generado por (Alternativamente, define un π -sistema generado por ) ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle f.}$
• Si y son π -sistemas para y respectivamente, entonces es un π -sistema para el producto cartesiano ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2},}$ ${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• Cada 𝜎-álgebra es un π -sistema.

Relación con los sistemas 𝜆

Un sistema 𝜆 es un conjunto de subconjuntos de satisfactorios ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• Si entonces ${\displaystyle A\in D}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• Si es una secuencia de subconjuntos disjuntos (por pares) en entonces ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Si bien es cierto que cualquier 𝜎-álgebra satisface las propiedades de ser tanto un π -sistema como un 𝜆-sistema, no es cierto que cualquier π -sistema sea un 𝜆-sistema, y ​​además no es cierto que cualquier π -sistema sea una 𝜎-álgebra. Sin embargo, una clasificación útil es que cualquier sistema de conjuntos que sea tanto un 𝜆-sistema como un π -sistema es una 𝜎-álgebra. Esto se utiliza como un paso para demostrar el teorema π -𝜆.

Elπ-Teorema de -𝜆

Sea un 𝜆-sistema, y ​​sea   un π -sistema contenido en El teorema π -𝜆 ^[1] establece que el 𝜎-álgebra generada por está contenido en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

El teorema π -𝜆 se puede utilizar para demostrar muchos resultados teóricos de medidas elementales . Por ejemplo, se utiliza para demostrar la afirmación de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas 𝜎-finitas. ^[2]

El teorema π -𝜆 está estrechamente relacionado con el teorema de la clase monótona , que proporciona una relación similar entre las clases monótonas y las álgebras, y puede utilizarse para derivar muchos de los mismos resultados. Dado que los sistemas π son clases más simples que las álgebras, puede ser más fácil identificar los conjuntos que están en ellos mientras que, por otro lado, comprobar si la propiedad en consideración determina un sistema 𝜆 suele ser relativamente fácil. A pesar de la diferencia entre los dos teoremas, el teorema π -𝜆 a veces se denomina teorema de la clase monótona. ^[1]

Ejemplo

Sean dos medidas en el álgebra 𝜎 y supongamos que es generada por un sistema π Si ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F=\sigma (I)}$ ${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$Para todos y ${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}$

Entonces, este es el enunciado de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas finitas. Si este resultado no parece muy notable, considere el hecho de que, por lo general, es muy difícil o incluso imposible describir completamente cada conjunto en el álgebra de 𝜎, por lo que el problema de igualar medidas sería completamente inútil sin una herramienta de este tipo. ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}$

Idea de la prueba ^[2] Definir la colección de conjuntos Por el primer supuesto, y concordar en y por lo tanto Por el segundo supuesto, y se puede demostrar además que es un 𝜆-sistema. Se sigue del teorema π -𝜆 que y por lo tanto Es decir, las medidas concuerdan en $${\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}$$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq D.}$ ${\displaystyle \Omega \in D,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$ ${\displaystyle D=\sigma (I).}$ ${\displaystyle \sigma (I).}$

π-Sistemas en probabilidad

Los sistemas π se utilizan con más frecuencia en el estudio de la teoría de la probabilidad que en el campo general de la teoría de la medida. Esto se debe principalmente a nociones probabilísticas como la independencia , aunque también puede ser una consecuencia del hecho de que el teorema π -𝜆 fue demostrado por el probabilista Eugene Dynkin . Los textos estándar de teoría de la medida suelen demostrar los mismos resultados a través de clases monótonas , en lugar de sistemas π .

Igualdad en la distribución

El teorema π -𝜆 motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recordemos que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como mientras que la ley aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad donde es el álgebra 𝜎 de Borel. Las variables aleatorias y (en dos espacios de probabilidad posiblemente diferentes ) son iguales en distribución (o ley ), denotada por si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa; es decir, si La motivación para la definición surge de la observación de que si entonces eso es exactamente decir que y están de acuerdo con el sistema π que genera y así por el ejemplo anterior: ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Un resultado similar se aplica a la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supongamos que y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad con sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ $${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Sin embargo, y Debido a que es un sistema π generado por el par aleatorio, se utiliza el teorema π -𝜆 para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de En otras palabras, y tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta. ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$ ${\displaystyle (X,Y),}$ ${\displaystyle (X,Y).}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (W,Z)}$

En la teoría de procesos estocásticos , se sabe que dos procesos son iguales en distribución si y solo si concuerdan en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todas las ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

La prueba de esto es otra aplicación del teorema π -𝜆. ^[3]

Variables aleatorias independientes

La teoría de los sistemas π desempeña un papel importante en la noción probabilística de independencia . Si y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad , entonces las variables aleatorias son independientes si y solo si sus sistemas π satisfacen para todos y es decir que son independientes. En realidad, este es un caso especial del uso de sistemas π para determinar la distribución de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle (X,Y).}$

Ejemplo

Sean donde son variables aleatorias normales estándar iid . Defina las variables de radio y argumento (arctan) ${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ $${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$$

Entonces y son variables aleatorias independientes. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Theta }$

Para demostrar esto, es suficiente mostrar que los sistemas π son independientes: es decir, para todos y ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$ ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}$$

Confirmar que esto es así es un ejercicio de cambio de variables. Fix y luego la probabilidad puede expresarse como una integral de la función de densidad de probabilidad de ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ ${\displaystyle Z.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$$

Véase también

• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Ideal (teoría de conjuntos)  : Familia no vacía de conjuntos que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos.
• Independencia (teoría de la probabilidad)  : cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de otro.
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Teorema de la clase monótona
• Distribución de probabilidad  : función matemática que representa la probabilidad de que se produzca un resultado determinado en un experimento.
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables
• Anillo 𝜎  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

Notas

1. La intersección nularia (0-aria) de subconjuntos de es por convención igual a la cual no se requiere que sea un elemento de un π -sistema. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

Citas

1. Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, pág. 2
2. Durrett, Teoría de la probabilidad y ejemplos, pág. 404
3. Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, pág. 48

Referencias

• Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Springer Texts in Statistics. Nueva York: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN . 0-387-22833-0.
• Williams, David (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5.ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .