Proceso estocástico

Colección de variables aleatorias.

Una realización simulada por computadora de un proceso de movimiento Wiener o Browniano en la superficie de una esfera. El proceso de Wiener es ampliamente considerado el proceso estocástico central y más estudiado en la teoría de la probabilidad. ^{[1] [2] [3]}

En teoría de la probabilidad y campos relacionados, un proceso estocástico ( / s t ə ˈ k æ s t ɪ k / ) o aleatorio es un objeto matemático generalmente definido como una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad , donde el índice de la secuencia a menudo Tiene la interpretación del tiempo . Los procesos estocásticos se utilizan ampliamente como modelos matemáticos de sistemas y fenómenos que parecen variar de manera aleatoria. Los ejemplos incluyen el crecimiento de una población bacteriana , una corriente eléctrica que fluctúa debido al ruido térmico o el movimiento de una molécula de gas . ^{[1] [4] [5]} Los procesos estocásticos tienen aplicaciones en muchas disciplinas como biología , ^[6] química , ^[7] ecología , ^[8] neurociencia , ^[9] física , ^[10] procesamiento de imágenes , procesamiento de señales , ^{[ 11]} teoría del control , ^[12] teoría de la información , ^[13] informática , ^[14] y telecomunicaciones . ^[15] Además, cambios aparentemente aleatorios en los mercados financieros han motivado el uso extensivo de procesos estocásticos en las finanzas . ^{[16] [17] [18]}

Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos han inspirado a su vez la propuesta de nuevos procesos estocásticos. Ejemplos de tales procesos estocásticos incluyen el proceso de Wiener o proceso de movimiento browniano, ^[a] utilizado por Louis Bachelier para estudiar los cambios de precios en la Bolsa de París , ^[21] y el proceso de Poisson , utilizado por AK Erlang para estudiar el número de llamadas telefónicas que ocurren. en un período de tiempo determinado. ^[22] Estos dos procesos estocásticos se consideran los más importantes y centrales en la teoría de los procesos estocásticos, ^{[1] [4] [23]} y fueron descubiertos repetida e independientemente, tanto antes como después de Bachelier y Erlang, en diferentes entornos y países. . ^{[21] [24]}

El término función aleatoria también se utiliza para referirse a un proceso estocástico o aleatorio, ^{[25] [26]} porque un proceso estocástico también puede interpretarse como un elemento aleatorio en un espacio funcional . ^{[27] [28]} Los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se usan indistintamente, a menudo sin un espacio matemático específico para el conjunto que indexa las variables aleatorias. ^{[27] [29]} Pero a menudo estos dos términos se utilizan cuando las variables aleatorias están indexadas por números enteros o un intervalo de la línea real . ^{[5] [29]} Si las variables aleatorias están indexadas por el plano cartesiano o algún espacio euclidiano de dimensiones superiores , entonces la colección de variables aleatorias generalmente se denomina campo aleatorio . ^{[5] [30]} Los valores de un proceso estocástico no siempre son números y pueden ser vectores u otros objetos matemáticos. ^{[5] [28]}

Según sus propiedades matemáticas, los procesos estocásticos se pueden agrupar en varias categorías, que incluyen paseos aleatorios , ^[31] martingalas , ^[32] procesos de Markov , ^[33] procesos de Lévy , ^[34] procesos gaussianos , ^[35] campos aleatorios, ^{[ 36]} procesos de renovación y procesos de ramificación . ^[37] El estudio de procesos estocásticos utiliza conocimientos y técnicas matemáticas de probabilidad , cálculo , álgebra lineal , teoría de conjuntos y topología ^{[38] [39] [40]} así como ramas del análisis matemático como análisis real , teoría de medidas , Análisis de Fourier y análisis funcional . ^{[41] [42] [43]} La teoría de los procesos estocásticos se considera una contribución importante a las matemáticas ^[44] y continúa siendo un tema activo de investigación tanto por razones teóricas como por aplicaciones. ^{[45] [46] [47]}

Introducción

Un proceso estocástico o aleatorio se puede definir como una colección de variables aleatorias indexadas por algún conjunto matemático, lo que significa que cada variable aleatoria del proceso estocástico está asociada de forma única con un elemento del conjunto. ^{[4] [5]} El conjunto utilizado para indexar las variables aleatorias se llama conjunto de índice . Históricamente, el conjunto de índices era algún subconjunto de la línea real , como los números naturales , dando al conjunto de índices la interpretación del tiempo. ^[1] Cada variable aleatoria de la colección toma valores del mismo espacio matemático conocido como espacio de estados . Este espacio de estados puede ser, por ejemplo, los números enteros, la recta real o el espacio euclidiano de dimensiones. ^{[1] [5]} Un incremento es la cantidad que un proceso estocástico cambia entre dos valores de índice, a menudo interpretados como dos puntos en el tiempo. ^{[48] ​​[49]} Un proceso estocástico puede tener muchos resultados , debido a su aleatoriedad, y un único resultado de un proceso estocástico se denomina, entre otros nombres, función de muestra o realización . ^{[28] [50]} ${\displaystyle n}$

Una única función de muestra simulada por computadora o realización , entre otros términos, de un proceso de movimiento tridimensional de Wiener o Browniano para el tiempo 0 ≤ t ≤ 2. El conjunto de índices de este proceso estocástico son los números no negativos, mientras que su espacio de estados es un espacio euclidiano tridimensional.

Clasificaciones

Un proceso estocástico se puede clasificar de diferentes maneras, por ejemplo, por su espacio de estados, su conjunto de índices o la dependencia entre las variables aleatorias. Una forma común de clasificación es mediante la cardinalidad del conjunto de índices y el espacio de estados. ^{[51] [52] [53]}

Cuando se interpreta como tiempo, si el conjunto de índices de un proceso estocástico tiene un número finito o contable de elementos, como un conjunto finito de números, el conjunto de números enteros o los números naturales, entonces se dice que el proceso estocástico es discreto . tiempo . ^{[54] [55]} Si el conjunto de índices es algún intervalo de la línea real, entonces se dice que el tiempo es continuo . Los dos tipos de procesos estocásticos se denominan respectivamente procesos estocásticos de tiempo discreto y de tiempo continuo . ^{[48] ​​[56] [57]} Los procesos estocásticos de tiempo discreto se consideran más fáciles de estudiar porque los procesos de tiempo continuo requieren conocimientos y técnicas matemáticas más avanzados, particularmente debido a que el conjunto de índices es incontable. ^{[58] [59]} Si el conjunto de índices son los números enteros, o algún subconjunto de ellos, entonces el proceso estocástico también puede denominarse secuencia aleatoria . ^[55]

Si el espacio de estados son los números enteros o naturales, entonces el proceso estocástico se llama proceso estocástico discreto o de valor entero . Si el espacio de estados es la línea real, entonces el proceso estocástico se denomina proceso estocástico de valor real o proceso con espacio de estados continuo . Si el espacio de estados es un espacio euclidiano de dimensiones, entonces el proceso estocástico se denomina proceso vectorial de dimensiones o proceso vectorial . ^{[51] [52]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Etimología

La palabra estocástico en inglés se usó originalmente como un adjetivo con la definición "perteneciente a conjeturar" y proviene de una palabra griega que significa "apuntar a una marca, adivinar", y el Diccionario de ingles Oxford da el año 1662 como su primera aparición. . ^[60] En su trabajo sobre probabilidad Ars Conjectandi , publicado originalmente en latín en 1713, Jakob Bernoulli usó la frase "Ars Conjectandi sive Stochastice", que ha sido traducida como "el arte de conjeturar o estocástico". ^[61] Esta frase fue utilizada, con referencia a Bernoulli, por Ladislaus Bortkiewicz ^[62] quien en 1917 escribió en alemán la palabra stochastik con un sentido que significa aleatorio. El término proceso estocástico apareció por primera vez en inglés en un artículo de 1934 de Joseph Doob . ^[60] Para el término y una definición matemática específica, Doob citó otro artículo de 1934, donde el término stochastischer Prozeß fue utilizado en alemán por Aleksandr Khinchin , ^{[63] [64]} aunque el término alemán había sido utilizado antes, por ejemplo, por Andréi Kolmogorov en 1931. ^[65]

Según el Oxford English Dictionary, las primeras apariciones de la palabra aleatorio en inglés con su significado actual, que se relaciona con el azar o la suerte, se remontan al siglo XVI, mientras que los usos registrados anteriormente comenzaron en el siglo XIV como un sustantivo que significa "impetuosidad, gran velocidad, fuerza o violencia (al montar a caballo, correr, golpear, etc.)". La palabra en sí proviene de una palabra del francés medio que significa "velocidad, prisa", y probablemente se deriva de un verbo francés que significa "correr" o "galopar". La primera aparición escrita del término proceso aleatorio es anterior al proceso estocástico , que el Oxford English Dictionary también da como sinónimo, y fue utilizado en un artículo de Francis Edgeworth publicado en 1888. ^[66]

Terminología

La definición de proceso estocástico varía, ^[67] pero un proceso estocástico se define tradicionalmente como una colección de variables aleatorias indexadas por algún conjunto. ^{[68] [69]} Los términos proceso aleatorio y proceso estocástico se consideran sinónimos y se usan indistintamente, sin que se especifique con precisión el conjunto de índices. ^{[27] [29] [30] [70] [71] [72]} Se utilizan tanto "colección", ^{[28] [70] como "familia" [4] [73]} mientras que en lugar de "conjunto de índices", a veces Se utilizan los términos "conjunto de parámetros" ^[28] o "espacio de parámetros" ^{[30] .}

El término función aleatoria también se usa para referirse a un proceso estocástico o aleatorio, ^{[5] [74] [75]} aunque a veces solo se usa cuando el proceso estocástico toma valores reales. ^{[28] [73]} Este término también se usa cuando los conjuntos de índices son espacios matemáticos distintos de la línea real, ^{[5] [76]} mientras que los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se usan generalmente cuando el conjunto de índices se interpreta como tiempo, ^{[5] [76] [77]} y se utilizan otros términos, como campo aleatorio , cuando el conjunto de índices es un espacio euclidiano de dimensiones o una variedad . ^{[5] [28] [30]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Notación

Un proceso estocástico puede denotarse, entre otras formas, por , ^[56] , ^{[69] [78]} o simplemente como . Algunos autores escriben erróneamente aunque sea un abuso de la notación de funciones . ^[79] Por ejemplo, o se utilizan para referirse a la variable aleatoria con el índice , y no a todo el proceso estocástico. ^[78] Si el conjunto de índices es , entonces se puede escribir, por ejemplo, para denotar el proceso estocástico. ^[29] ${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ ${\displaystyle \{X(t)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

Ejemplos

proceso de Bernoulli

Uno de los procesos estocásticos más simples es el proceso de Bernoulli , ^[80] que es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid), donde cada variable aleatoria toma el valor uno o cero, digamos uno con probabilidad y cero con probabilidad . Este proceso puede vincularse a una idealización del lanzamiento repetido de una moneda, donde se considera que la probabilidad de obtener cara es uno y su valor es uno, mientras que el valor de una cruz es cero. ^[81] En otras palabras, un proceso de Bernoulli es una secuencia de variables aleatorias iid de Bernoulli, ^[82] donde cada lanzamiento de moneda idealizado es un ejemplo de una prueba de Bernoulli . ^[83] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p}$

Caminata aleatoria

Los paseos aleatorios son procesos estocásticos que generalmente se definen como sumas de variables aleatorias iid o vectores aleatorios en el espacio euclidiano, por lo que son procesos que cambian en tiempo discreto. ^{[84] [85] [86] [87] [88]} Pero algunos también usan el término para referirse a procesos que cambian en el tiempo continuo, ^[89] particularmente el proceso de Wiener utilizado en modelos financieros, lo que ha generado cierta confusión. dando lugar a sus críticas. ^[90] Existen otros tipos diversos de paseos aleatorios, definidos de manera que sus espacios de estados puedan ser otros objetos matemáticos, como redes y grupos, y en general están muy estudiados y tienen muchas aplicaciones en diferentes disciplinas. ^{[89] [91]}

Un ejemplo clásico de paseo aleatorio se conoce como paseo aleatorio simple , que es un proceso estocástico en tiempo discreto con los números enteros como espacio de estados, y se basa en un proceso de Bernoulli, donde cada variable de Bernoulli toma el valor positivo uno o uno negativo. En otras palabras, el paseo aleatorio simple tiene lugar sobre números enteros y su valor aumenta en uno con probabilidad, digamos, o disminuye en uno con probabilidad , por lo que el conjunto de índices de este paseo aleatorio son los números naturales, mientras que su espacio de estados son los números enteros. Si , este paseo aleatorio se denomina paseo aleatorio simétrico. ^{[92] [93]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p=0.5}$

proceso de salchicha

El proceso de Wiener es un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independientes que se distribuyen normalmente en función del tamaño de los incrementos. ^{[2] [94]} El proceso de Wiener lleva el nombre de Norbert Wiener , quien demostró su existencia matemática, pero el proceso también se llama proceso de movimiento browniano o simplemente movimiento browniano debido a su conexión histórica como modelo para el movimiento browniano en líquidos. ^{[95] [96] [97]}

Realizaciones de procesos de Wiener (o procesos de movimiento browniano) con deriva ( azul ) y sin deriva ( rojo ).

Al desempeñar un papel central en la teoría de la probabilidad, el proceso de Wiener a menudo se considera el proceso estocástico más importante y estudiado, con conexiones con otros procesos estocásticos. ^{[1] [2] [3] [98] [99] [100] [101]} Su conjunto de índices y espacio de estados son números no negativos y números reales, respectivamente, por lo que tiene tanto un conjunto de índices continuo como un espacio de estados. ^[102] Pero el proceso se puede definir de manera más general, de modo que su espacio de estados pueda ser un espacio euclidiano -dimensional. ^{[91] [99] [103]} Si la media de cualquier incremento es cero, entonces se dice que el proceso de movimiento Wiener o Browniano resultante tiene deriva cero. Si la media del incremento para dos puntos cualesquiera en el tiempo es igual a la diferencia de tiempo multiplicada por alguna constante , que es un número real, entonces se dice que el proceso estocástico resultante tiene deriva . ^{[104] [105] [106]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Es casi seguro que una ruta de muestra de un proceso de Wiener es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna . Puede considerarse como una versión continua del paseo aleatorio simple. ^{[49] [105]} El proceso surge como el límite matemático de otros procesos estocásticos como ciertos paseos aleatorios reescalados, ^{[107] [108]} que es el tema del teorema de Donsker o principio de invariancia, también conocido como teorema del límite central funcional. ^{[109] [110] [111]}

El proceso de Wiener es miembro de algunas familias importantes de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Markov, los procesos de Lévy y los procesos gaussianos. ^{[2] [49]} El proceso también tiene muchas aplicaciones y es el principal proceso estocástico utilizado en el cálculo estocástico. ^{[112] [113]} Desempeña un papel central en las finanzas cuantitativas, ^{[114] [115]} donde se utiliza, por ejemplo, en el modelo Black-Scholes-Merton. ^[116] El proceso también se utiliza en diferentes campos, incluida la mayoría de las ciencias naturales, así como algunas ramas de las ciencias sociales, como modelo matemático para diversos fenómenos aleatorios. ^{[3] [117] [118]}

proceso de veneno

El proceso de Poisson es un proceso estocástico que tiene diferentes formas y definiciones. ^{[119] [120]} Se puede definir como un proceso de conteo, que es un proceso estocástico que representa el número aleatorio de puntos o eventos hasta cierto tiempo. El número de puntos del proceso que se ubican en el intervalo de cero a un tiempo dado es una variable aleatoria de Poisson que depende de ese tiempo y de algún parámetro. Este proceso tiene los números naturales como espacio de estados y los números no negativos como conjunto de índices. Este proceso también se denomina proceso de conteo de Poisson, ya que puede interpretarse como un ejemplo de proceso de conteo. ^[119]

Si un proceso de Poisson se define con una única constante positiva, entonces el proceso se denomina proceso de Poisson homogéneo. ^{[119] [121]} El proceso homogéneo de Poisson es miembro de clases importantes de procesos estocásticos, como los procesos de Markov y los procesos de Lévy. ^[49]

El proceso homogéneo de Poisson se puede definir y generalizar de diferentes maneras. Se puede definir de manera que su conjunto de índices sea la línea real, y este proceso estocástico también se denomina proceso estacionario de Poisson. ^{[122] [123]} Si el parámetro constante del proceso de Poisson se reemplaza con alguna función integrable no negativa de , el proceso resultante se llama proceso de Poisson no homogéneo o no homogéneo, donde la densidad promedio de puntos del proceso ya no es constante. . ^[124] El proceso de Poisson, que sirve como proceso fundamental en la teoría de colas, es un proceso importante para los modelos matemáticos, donde encuentra aplicaciones para modelos de eventos que ocurren aleatoriamente en ciertas ventanas de tiempo. ^{[125] [126]} ${\displaystyle t}$

Definido sobre la línea real, el proceso de Poisson puede interpretarse como un proceso estocástico, ^{[49] [127]} entre otros objetos aleatorios. ^{[128] [129]} Pero luego se puede definir en el espacio euclidiano de dimensiones u otros espacios matemáticos, ^[130] donde a menudo se interpreta como un conjunto aleatorio o una medida de conteo aleatoria, en lugar de un proceso estocástico. ^{[128] [129]} En este contexto, el proceso de Poisson, también llamado proceso de puntos de Poisson, es uno de los objetos más importantes en la teoría de la probabilidad, tanto por aplicaciones como por razones teóricas. ^{[22] [131]} Pero se ha observado que el proceso de Poisson no recibe tanta atención como debería, en parte debido a que a menudo se considera solo en la línea real y no en otros espacios matemáticos. ^{[131] [132]} ${\displaystyle n}$

Definiciones

Proceso estocástico

Un proceso estocástico se define como una colección de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad común , donde es un espacio muestral , es a - álgebra y es una medida de probabilidad ; y las variables aleatorias, indexadas por algún conjunto , toman valores en el mismo espacio matemático , que deben ser mensurables con respecto a alguna álgebra . ^[28] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

En otras palabras, para un espacio de probabilidad dado y un espacio medible , un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias valoradas, que se pueden escribir como: ^[80] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

Históricamente, en muchos problemas de las ciencias naturales un punto tenía el significado de tiempo, por lo que es una variable aleatoria que representa un valor observado en el tiempo . ^[133] Un proceso estocástico también se puede escribir de manera que refleje que en realidad es una función de dos variables, y . ^{[28] [134]} ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Hay otras formas de considerar un proceso estocástico, considerándose la definición anterior la tradicional. ^{[68] [69]} Por ejemplo, un proceso estocástico se puede interpretar o definir como una variable aleatoria valorada, donde es el espacio de todas las funciones posibles del conjunto en el espacio . ^{[27] [68]} Sin embargo, esta definición alternativa como "variable aleatoria con valor de función" en general requiere que se definan bien supuestos de regularidad adicionales. ^[135] ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Conjunto de índices

El conjunto se denomina conjunto de índices ^{[4] [51]} o conjunto de parámetros ^{[28] [136]} del proceso estocástico. A menudo este conjunto es algún subconjunto de la recta real , como los números naturales o un intervalo, dando al conjunto la interpretación del tiempo. ^[1] Además de estos conjuntos, el conjunto índice puede ser otro conjunto con un orden total o un conjunto más general, ^{[1] [54]} como el plano cartesiano o el espacio euclidiano -dimensional, donde un elemento puede representar un punto en el espacio. ^{[48] ​​[137]} Dicho esto, muchos resultados y teoremas solo son posibles para procesos estocásticos con un conjunto de índices totalmente ordenado. ^[138] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t\in T}$

Espacio de Estados

El espacio matemático de un proceso estocástico se llama espacio de estados . Este espacio matemático se puede definir utilizando números enteros , líneas reales , espacios euclidianos de dimensiones , planos complejos o espacios matemáticos más abstractos. El espacio de estados se define mediante elementos que reflejan los diferentes valores que puede tomar el proceso estocástico. ^{[1] [5] [28] [51] [56]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

Función de muestra

Una función de muestra es un resultado único de un proceso estocástico, por lo que se forma tomando un único valor posible de cada variable aleatoria del proceso estocástico. ^{[28] [139]} Más precisamente, si es un proceso estocástico, entonces para cualquier punto , el mapeo ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

se llama función de muestra, realización o, particularmente cuando se interpreta como tiempo, ruta de muestra del proceso estocástico . ^[50] Esto significa que para un fijo , existe una función de muestra que asigna el índice establecido al espacio de estados . ^[28] Otros nombres para una función de muestra de un proceso estocástico incluyen trayectoria , función de ruta ^[140] o ruta . ^[141] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Incremento

Un incremento de un proceso estocástico es la diferencia entre dos variables aleatorias del mismo proceso estocástico. Para un proceso estocástico con un conjunto de índices que puede interpretarse como tiempo, un incremento es cuánto cambia el proceso estocástico durante un período de tiempo determinado. Por ejemplo, si se trata de un proceso estocástico con espacio de estados y conjunto de índices , entonces, para dos números cualesquiera no negativos y tales que , la diferencia es una variable aleatoria de valor conocida como incremento. ^{[48] ​​[49]} Cuando nos interesan los incrementos, a menudo el espacio de estados es la línea real o los números naturales, pero puede ser un espacio euclidiano de dimensiones o espacios más abstractos como los espacios de Banach . ^[49] ${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

Otras definiciones

Ley

Para un proceso estocástico definido en el espacio de probabilidad , la ley del proceso estocástico se define como la medida de la imagen : ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu =P\circ X^{-1},}$

donde es una medida de probabilidad, el símbolo denota la composición de la función y es la imagen previa de la función medible o, equivalentemente, la variable aleatoria valorada , donde es el espacio de todas las funciones valoradas posibles de , por lo que la ley de un estocástico El proceso es una medida de probabilidad. ^{[27] [68] [142] [143]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t\in T}$

Para un subconjunto medible de , la imagen previa de da ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}$

entonces la ley de a se puede escribir como: ^[28] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}$

La ley de un proceso estocástico o de una variable aleatoria también se llama ley de probabilidad , distribución de probabilidad o distribución . ^{[133] [142] [144] [145] [146]}

Distribuciones de probabilidad de dimensión finita

Para un proceso estocástico con ley , su distribución de dimensión finita se define como: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}$

Esta medida es la distribución conjunta del vector aleatorio ; puede verse como una "proyección" de la ley sobre un subconjunto finito de . ^{[27] [147]} ${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$ ${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Para cualquier subconjunto medible de la potencia cartesiana , las distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico se pueden escribir como: ^[28] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}$

Las distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico satisfacen dos condiciones matemáticas conocidas como condiciones de consistencia. ^[57]

Estacionariedad

La estacionariedad es una propiedad matemática que tiene un proceso estocástico cuando todas las variables aleatorias de ese proceso estocástico están distribuidas de manera idéntica. En otras palabras, si es un proceso estocástico estacionario, entonces para cualquiera la variable aleatoria tiene la misma distribución, lo que significa que para cualquier conjunto de valores del conjunto de índices , las variables aleatorias correspondientes ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{t_{1}},\dots X_{t_{n}},}$

todos tienen la misma distribución de probabilidad . El conjunto de índices de un proceso estocástico estacionario generalmente se interpreta como tiempo, por lo que pueden ser números enteros o la línea real. ^{[148] [149]} Pero el concepto de estacionariedad también existe para procesos puntuales y campos aleatorios, donde el conjunto de índices no se interpreta como tiempo. ^{[148] [150] [151]}

Cuando el conjunto de índices puede interpretarse como tiempo, se dice que un proceso estocástico es estacionario si sus distribuciones de dimensión finita son invariantes ante las traslaciones del tiempo. Este tipo de proceso estocástico se puede utilizar para describir un sistema físico que se encuentra en estado estable, pero que aún experimenta fluctuaciones aleatorias. ^[148] La intuición detrás de la estacionariedad es que a medida que pasa el tiempo, la distribución del proceso estocástico estacionario sigue siendo la misma. ^[152] Una secuencia de variables aleatorias forma un proceso estocástico estacionario sólo si las variables aleatorias están distribuidas de manera idéntica. ^[148] ${\displaystyle T}$

A veces se dice que un proceso estocástico con la definición anterior de estacionariedad es estrictamente estacionario, pero existen otras formas de estacionariedad. Un ejemplo es cuando se dice que un proceso estocástico de tiempo discreto o continuo es estacionario en el sentido amplio, entonces el proceso tiene un segundo momento finito para todos y la covarianza de las dos variables aleatorias y depende solo del número para todos. . ^{[152] [153]} Khinchin introdujo el concepto relacionado de estacionariedad en sentido amplio , que tiene otros nombres que incluyen estacionariedad de covarianza o estacionariedad en sentido amplio . ^{[153] [154]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+h}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t\in T}$

Filtración

Una filtración es una secuencia creciente de sigma-álgebras definidas en relación con algún espacio de probabilidad y un conjunto de índices que tiene alguna relación de orden total , como en el caso de que el conjunto de índices sea algún subconjunto de los números reales. Más formalmente, si un proceso estocástico tiene un conjunto de índices con un orden total, entonces una filtración , en un espacio de probabilidad, es una familia de álgebras sigma tales que para todos , donde y denota el orden total del conjunto de índices . ^[51] Con el concepto de filtración, es posible estudiar la cantidad de información contenida en un proceso estocástico en , que puede interpretarse como tiempo . ^{[51] [155]} La intuición detrás de una filtración es que a medida que pasa el tiempo , se conoce o está disponible más y más información , que se captura en , lo que resulta en particiones cada vez más finas de . ^{[156] [157]} ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle t,s\in T}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Modificación

Una modificación de un proceso estocástico es otro proceso estocástico, que está estrechamente relacionado con el proceso estocástico original. Más precisamente, se dice que un proceso estocástico que tiene el mismo conjunto de índices , espacio de estados y espacio de probabilidad que otro proceso estocástico es una modificación de if para todos los siguientes ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=1,}$

sostiene. Dos procesos estocásticos que son modificaciones entre sí tienen la misma ley de dimensión finita ^[158] y se dice que son estocásticamente equivalentes o equivalentes . ^[159]

En lugar de modificación, también se usa el término versión , ^{[150] [160] [161] [162]} sin embargo, algunos autores usan el término versión cuando dos procesos estocásticos tienen las mismas distribuciones de dimensión finita, pero pueden definirse con diferentes probabilidades. espacios, por lo que dos procesos que son modificaciones entre sí, también son versiones entre sí, en el último sentido, pero no al revés. ^{[163] [142]}

Si un proceso estocástico de tiempo continuo de valor real cumple ciertas condiciones de momento en sus incrementos, entonces el teorema de continuidad de Kolmogorov dice que existe una modificación de este proceso que tiene trayectorias muestrales continuas con probabilidad uno, por lo que el proceso estocástico tiene una modificación continua o versión. ^{[161] [162] [164]} El teorema también se puede generalizar a campos aleatorios, de modo que el conjunto de índices sea un espacio euclidiano -dimensional ^[165] , así como a procesos estocásticos con espacios métricos como espacios de estado. ^[166] ${\displaystyle n}$

Indistinguible

Se dice que dos procesos estocásticos definidos en el mismo espacio de probabilidad con el mismo conjunto de índices y espacio de conjuntos son indistinguibles si lo siguiente ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}{\text{ for all }}t\in T)=1,}$

sostiene. ^{[142] [158]} Si dos y son modificaciones entre sí y son casi seguramente continuos , entonces y son indistinguibles. ^[167] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Posibilidad de separación

La separabilidad es una propiedad de un proceso estocástico basada en su índice establecido en relación con la medida de probabilidad. La propiedad se supone de modo que los funcionales de procesos estocásticos o campos aleatorios con conjuntos de índices incontables puedan formar variables aleatorias. Para que un proceso estocástico sea separable, además de otras condiciones, su conjunto de índices debe ser un espacio separable , ^[b] lo que significa que el conjunto de índices tiene un subconjunto contable denso. ^{[150] [168]}

Más precisamente, un proceso estocástico de tiempo continuo de valor real con un espacio de probabilidad es separable si su conjunto de índices tiene un subconjunto contable denso y hay un conjunto de probabilidad cero, de modo que para cada conjunto abierto y cada conjunto cerrado , el dos eventos y difieren entre sí como máximo en un subconjunto de . ^{[169] [170] [171]} La definición de separabilidad ^[c] también se puede establecer para otros conjuntos de índices y espacios de estados, ^[174] como en el caso de campos aleatorios, donde el conjunto de índices y el espacio de estados puede ser un espacio euclidiano -dimensional. ^{[30] [150]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U\subset T}$ ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$ ${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$ ${\displaystyle G\subset T}$ ${\displaystyle F\subset \textstyle R=(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle n}$

El concepto de separabilidad de un proceso estocástico fue introducido por Joseph Doob . ^[168] La idea subyacente de la separabilidad es hacer que un conjunto contable de puntos del conjunto de índices determine las propiedades del proceso estocástico. ^[172] Cualquier proceso estocástico con un conjunto de índices contables ya cumple las condiciones de separabilidad, por lo que los procesos estocásticos en tiempo discreto siempre son separables. ^[175] Un teorema de Doob, a veces conocido como teorema de separabilidad de Doob, dice que cualquier proceso estocástico de tiempo continuo de valor real tiene una modificación separable. ^{[168] [170] [176]} También existen versiones de este teorema para procesos estocásticos más generales con conjuntos de índices y espacios de estados distintos de la línea real. ^[136]

Independencia

Se dice que dos procesos estocásticos definidos en el mismo espacio de probabilidad con el mismo conjunto de índices son independientes si para todos y para cada elección de épocas , los vectores aleatorios y son independientes. ^{[177] : pág. 515} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$ ${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

Descorrelación

Dos procesos estocásticos se denominan no correlacionados si su covarianza cruzada es cero en todo momento. ^{[178] : pág. 142} Formalmente: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

La independencia implica falta de correlación

Si dos procesos estocásticos son independientes, entonces tampoco están correlacionados. ^{[178] : pág. 151} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ortogonalidad

Dos procesos estocásticos se llaman ortogonales si su correlación cruzada es cero para todos los tiempos. ^{[178] : pág. 142} Formalmente: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Espacio Skorokhod

Un espacio Skorokhod , también escrito como espacio Skorohod , es un espacio matemático de todas las funciones que son continuas por la derecha con límites por la izquierda, definidas en algún intervalo de la recta real como o , y toman valores en la recta real o en alguna métrica. espacio. ^{[179] [180] [181]} Estas funciones se conocen como funciones càdlàg o cadlag, según el acrónimo de la frase francesa continue à droite, limite à gauche . ^{[179] [182]} Un espacio funcional de Skorokhod, introducido por Anatoliy Skorokhod , ^[181] a menudo se denota con la letra , ^{[179] [180] [181] [182]} por lo que el espacio funcional también se conoce como espacio . ^{[179] [183] ​​[184]} La notación de este espacio funcional también puede incluir el intervalo en el que se definen todas las funciones càdlàg, por lo que, por ejemplo, denota el espacio de funciones càdlàg definidas en el intervalo unitario . ^{[182] [184] [185]} ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Los espacios funcionales de Skorokhod se utilizan con frecuencia en la teoría de procesos estocásticos porque a menudo se supone que las funciones muestrales de los procesos estocásticos de tiempo continuo pertenecen a un espacio de Skorokhod. ^{[181] [183]} ​​Dichos espacios contienen funciones continuas, que corresponden a funciones de muestra del proceso de Wiener. Pero el espacio también tiene funciones con discontinuidades, lo que significa que las funciones muestrales de procesos estocásticos con saltos, como el proceso de Poisson (en la recta real), también son miembros de este espacio. ^{[184] [186]}

Regularidad

En el contexto de la construcción matemática de procesos estocásticos, el término regularidad se utiliza cuando se discute y asume ciertas condiciones para que un proceso estocástico resuelva posibles problemas de construcción. ^{[187] [188]} Por ejemplo, para estudiar procesos estocásticos con conjuntos de índices incontables, se supone que el proceso estocástico se adhiere a algún tipo de condición de regularidad, como que las funciones de muestra sean continuas. ^{[189] [190]}

Más ejemplos

Procesos y cadenas de Markov.

Los procesos de Markov son procesos estocásticos, tradicionalmente en tiempo discreto o continuo , que tienen la propiedad de Markov, lo que significa que el siguiente valor del proceso de Markov depende del valor actual, pero es condicionalmente independiente de los valores anteriores del proceso estocástico. En otras palabras, el comportamiento del proceso en el futuro es estocásticamente independiente de su comportamiento en el pasado, dado el estado actual del proceso. ^{[191] [192]}

El proceso de movimiento browniano y el proceso de Poisson (en una dimensión) son ejemplos de procesos de Markov ^[193] en tiempo continuo, mientras que los paseos aleatorios sobre números enteros y el problema de la ruina del jugador son ejemplos de procesos de Markov en tiempo discreto. ^{[194] [195]}

Una cadena de Markov es un tipo de proceso de Markov que tiene un espacio de estados discreto o un conjunto de índices discretos (que a menudo representan el tiempo), pero la definición precisa de una cadena de Markov varía. ^[196] Por ejemplo, es común definir una cadena de Markov como un proceso de Markov en tiempo discreto o continuo con un espacio de estados contable (por lo tanto, independientemente de la naturaleza del tiempo), ^{[197] [198] [199] [200 ]} pero también ha sido común definir una cadena de Markov como si tuviera tiempo discreto en un espacio de estados contable o continuo (por lo tanto, independientemente del espacio de estados). ^[196] Se ha argumentado que ahora se tiende a utilizar la primera definición de cadena de Markov, donde tiene tiempo discreto, a pesar de que la segunda definición ha sido utilizada por investigadores como Joseph Doob y Kai Lai Chung . ^[201]

Los procesos de Markov forman una clase importante de procesos estocásticos y tienen aplicaciones en muchas áreas. ^{[39] [202]} Por ejemplo, son la base de un método de simulación estocástica general conocido como cadena de Markov Monte Carlo , que se utiliza para simular objetos aleatorios con distribuciones de probabilidad específicas y ha encontrado aplicación en la estadística bayesiana . ^{[203] [204]}

El concepto de propiedad de Markov fue originalmente para procesos estocásticos en tiempo continuo y discreto, pero la propiedad se ha adaptado para otros conjuntos de índices como el espacio euclidiano bidimensional, que da como resultado colecciones de variables aleatorias conocidas como campos aleatorios de Markov. ^{[205] [206] [207]} ${\displaystyle n}$

martingala

Una martingala es un proceso estocástico de tiempo discreto o continuo con la propiedad de que, en cada instante, dado el valor actual y todos los valores pasados ​​del proceso, la expectativa condicional de cada valor futuro es igual al valor actual. En tiempo discreto, si esta propiedad se cumple para el siguiente valor, entonces se cumple para todos los valores futuros. La definición matemática exacta de martingala requiere otras dos condiciones unidas al concepto matemático de filtración, que se relaciona con la intuición de aumentar la información disponible a medida que pasa el tiempo. Las martingalas generalmente se definen como de valor real, ^{[208] [209] [155]} pero también pueden tener valores complejos ^[210] o incluso más generales. ^[211]

Un paseo aleatorio simétrico y un proceso de Wiener (con deriva cero) son ejemplos de martingalas, respectivamente, en tiempo discreto y continuo. ^{[208] [209]} Para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media cero, el proceso estocástico formado a partir de las sumas parciales sucesivas es una martingala de tiempo discreto. ^[212] En este aspecto, las martingalas de tiempo discreto generalizan la idea de sumas parciales de variables aleatorias independientes. ^[213] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ ${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

También se pueden crear martingalas a partir de procesos estocásticos aplicando algunas transformaciones adecuadas, como es el caso del proceso de Poisson homogéneo (en la línea real), que da como resultado una martingala llamada proceso de Poisson compensado . ^[209] Las martingalas también se pueden construir a partir de otras martingalas. ^[212] Por ejemplo, existen martingalas basadas en el proceso de martingala de Wiener, formando martingalas de tiempo continuo. ^{[208] [214]}

Las martingalas formalizan matemáticamente la idea de un "juego limpio" en el que es posible formar expectativas razonables de ganancias, ^[215] y fueron desarrolladas originalmente para mostrar que no es posible obtener una ventaja "injusta" en tal juego. ^[216] Pero ahora se utilizan en muchas áreas de la probabilidad, que es una de las principales razones para estudiarlos. ^{[155] [216] [217]} Muchos problemas de probabilidad se han resuelto encontrando una martingala en el problema y estudiándola. ^[218] Las martingalas convergerán, dadas algunas condiciones en sus momentos, por lo que a menudo se utilizan para derivar resultados de convergencia, debido en gran parte a los teoremas de convergencia de martingala . ^{[213] [219] [220]}

Las martingalas tienen muchas aplicaciones en estadística, pero se ha observado que su uso y aplicación no están tan extendidos como podría estarlo en el campo de la estadística, particularmente en la inferencia estadística. ^[221] Han encontrado aplicaciones en áreas de la teoría de la probabilidad, como la teoría de colas y el cálculo de Palm ^[222] y otros campos como la economía ^[223] y las finanzas. ^[17]

proceso de levy

Los procesos de Lévy son tipos de procesos estocásticos que pueden considerarse como generalizaciones de paseos aleatorios en tiempo continuo. ^{[49] [224]} Estos procesos tienen muchas aplicaciones en campos como las finanzas, la mecánica de fluidos, la física y la biología. ^{[225] [226]} Las principales características definitorias de estos procesos son sus propiedades de estacionariedad e independencia, por lo que se les conoció como procesos con incrementos estacionarios e independientes . En otras palabras, un proceso estocástico es un proceso de Lévy si para números no negativos, los incrementos correspondientes ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

son todos independientes entre sí, y la distribución de cada incremento solo depende de la diferencia en el tiempo. ^[49]

Un proceso de Lévy se puede definir de manera que su espacio de estados sea algún espacio matemático abstracto, como un espacio de Banach , pero los procesos a menudo se definen de manera que tomen valores en el espacio euclidiano. El conjunto de índices son los números no negativos, lo que da la interpretación del tiempo. Procesos estocásticos importantes como el proceso de Wiener, el proceso homogéneo de Poisson (en una dimensión) y los subordinadores son todos procesos de Lévy. ^{[49] [224]} ${\displaystyle I=[0,\infty )}$

Campo aleatorio

Un campo aleatorio es una colección de variables aleatorias indexadas por un espacio euclidiano de dimensiones o alguna variedad. En general, un campo aleatorio puede considerarse un ejemplo de proceso estocástico o aleatorio, donde el conjunto de índices no es necesariamente un subconjunto de la línea real. ^[30] Pero existe la convención de que una colección indexada de variables aleatorias se denomina campo aleatorio cuando el índice tiene dos o más dimensiones. ^{[5] [28] [227]} Si la definición específica de un proceso estocástico requiere que el conjunto de índices sea un subconjunto de la línea real, entonces el campo aleatorio puede considerarse como una generalización del proceso estocástico. ^[228] ${\displaystyle n}$

proceso de puntos

Un proceso puntual es una colección de puntos ubicados aleatoriamente en algún espacio matemático como la línea real, el espacio euclidiano de dimensiones o espacios más abstractos. A veces no se prefiere el término proceso puntual , ya que históricamente la palabra proceso denota una evolución de algún sistema en el tiempo, por lo que un proceso puntual también se denomina campo puntual aleatorio . ^[229] Hay diferentes interpretaciones de un proceso puntual, como una medida de conteo aleatorio o un conjunto aleatorio. ^{[230] [231]} Algunos autores consideran un proceso puntual y un proceso estocástico como dos objetos diferentes, de modo que un proceso puntual es un objeto aleatorio que surge de un proceso estocástico o está asociado con él, ^{[232] [233]} aunque se ha comentado que la diferencia entre procesos puntuales y procesos estocásticos no está clara. ^[233] ${\displaystyle n}$

Otros autores consideran un proceso puntual como un proceso estocástico, donde el proceso está indexado por conjuntos del espacio subyacente ^[d] en el que se define, como la línea real o el espacio euclidiano -dimensional. ^{[236] [237]} Otros procesos estocásticos, como los procesos de renovación y conteo, se estudian en la teoría de los procesos puntuales. ^{[238] [233]} ${\displaystyle n}$

Historia

Teoría temprana de la probabilidad

La teoría de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, que tienen una larga historia, y algunos juegos se jugaron hace miles de años, ^{[239] [240]} pero se realizó muy poco análisis sobre ellos en términos de probabilidad. ^{[239] [241]} El año 1654 a menudo se considera el nacimiento de la teoría de la probabilidad cuando los matemáticos franceses Pierre Fermat y Blaise Pascal mantuvieron una correspondencia escrita sobre la probabilidad, motivada por un problema de juego . ^{[239] [242] [243]} Pero hubo un trabajo matemático anterior realizado sobre la probabilidad de los juegos de azar como Liber de Ludo Aleae de Gerolamo Cardano , escrito en el siglo XVI pero publicado póstumamente más tarde en 1663. ^{[239] [244]}

Después de Cardano, Jakob Bernoulli ^[e] escribió Ars Conjectandi , que se considera un acontecimiento significativo en la historia de la teoría de la probabilidad. ^[239] El libro de Bernoulli se publicó, también póstumamente, en 1713 e inspiró a muchos matemáticos a estudiar la probabilidad. ^{[239] [246] [247]} Pero a pesar de que algunos matemáticos de renombre contribuyeron a la teoría de la probabilidad, como Pierre-Simon Laplace , Abraham de Moivre , Carl Gauss , Siméon Poisson y Pafnuty Chebyshev , ^{[248] [249]} la mayor parte de la comunidad matemática ^[f] no consideró la teoría de la probabilidad como parte de las matemáticas hasta el siglo XX. ^{[248] [250] [251] [252]}

Mecánica estadística

En las ciencias físicas, los científicos desarrollaron en el siglo XIX la disciplina de la mecánica estadística , donde los sistemas físicos, como los contenedores llenos de gases, se consideran o tratan matemáticamente como conjuntos de muchas partículas en movimiento. Aunque algunos científicos, como Rudolf Clausius , intentaron incorporar la aleatoriedad en la física estadística , la mayor parte del trabajo tenía poca o ninguna aleatoriedad. ^{[253] [254]} Esto cambió en 1859 cuando James Clerk Maxwell contribuyó significativamente al campo, más específicamente, a la teoría cinética de los gases, al presentar un trabajo en el que modeló las partículas de gas moviéndose en direcciones aleatorias a velocidades aleatorias. ^{[255] [256]} La teoría cinética de los gases y la física estadística continuaron desarrollándose en la segunda mitad del siglo XIX, con trabajos realizados principalmente por Clausius, Ludwig Boltzmann y Josiah Gibbs , que más tarde tendrían una influencia en Albert Einstein . s modelo matemático para el movimiento browniano . ^[257]

Teoría de la medida y teoría de la probabilidad.

En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900, David Hilbert presentó una lista de problemas matemáticos , donde su sexto problema pedía un tratamiento matemático de la física y la probabilidad que implicara axiomas . ^[249] A principios del siglo XX, los matemáticos desarrollaron la teoría de la medida, una rama de las matemáticas para estudiar integrales de funciones matemáticas, donde dos de los fundadores fueron los matemáticos franceses, Henri Lebesgue y Émile Borel . En 1925, otro matemático francés, Paul Lévy , publicó el primer libro sobre probabilidad que utilizó ideas de la teoría de la medida. ^[249]

En la década de 1920, matemáticos como Sergei Bernstein , Aleksandr Khinchin , ^[g] y Andrei Kolmogorov hicieron contribuciones fundamentales a la teoría de la probabilidad en la Unión Soviética . ^[252] Kolmogorov publicó en 1929 su primer intento de presentar una base matemática, basada en la teoría de la medida, para la teoría de la probabilidad. ^[258] A principios de la década de 1930, Khinchin y Kolmogorov organizaron seminarios sobre probabilidad, a los que asistieron investigadores como Eugene Slutsky y Nikolai Smirnov , ^[259] y Khinchin dio la primera definición matemática de un proceso estocástico como un conjunto de variables aleatorias indexadas. por la línea real. ^{[63] [260] [h]}

Nacimiento de la teoría de la probabilidad moderna

En 1933, Andrei Kolmogorov publicó en alemán su libro sobre los fundamentos de la teoría de la probabilidad titulado Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , ^[i] donde Kolmogorov utilizó la teoría de la medida para desarrollar un marco axiomático para la teoría de la probabilidad. La publicación de este libro ahora se considera ampliamente como el nacimiento de la teoría de la probabilidad moderna, cuando las teorías de la probabilidad y los procesos estocásticos se convirtieron en parte de las matemáticas. ^{[249] [252]}

Después de la publicación del libro de Kolmogorov, Khinchin y Kolmogorov, así como otros matemáticos como Joseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang Doeblin y Harald Cramér , realizaron más trabajos fundamentales sobre la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos . ^{[249] [252]} Décadas más tarde, Cramér se refirió a la década de 1930 como el "período heroico de la teoría matemática de la probabilidad". ^[252] La Segunda Guerra Mundial interrumpió en gran medida el desarrollo de la teoría de la probabilidad, provocando, por ejemplo, la migración de Feller de Suecia a los Estados Unidos de América ^[252] y la muerte de Doeblin, considerado ahora un pionero en los procesos estocásticos. ^[262]

El matemático Joseph Doob realizó sus primeros trabajos sobre la teoría de los procesos estocásticos, haciendo contribuciones fundamentales, particularmente en la teoría de las martingalas. ^{[263] [261]} Su libro Procesos estocásticos se considera muy influyente en el campo de la teoría de la probabilidad. ^[264]

Procesos estocásticos después de la Segunda Guerra Mundial

Después de la Segunda Guerra Mundial, el estudio de la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos atrajo más atención por parte de los matemáticos, con importantes contribuciones en muchas áreas de la probabilidad y las matemáticas, así como la creación de nuevas áreas. ^{[252] [265]} A partir de la década de 1940, Kiyosi Itô publicó artículos que desarrollaban el campo del cálculo estocástico , que involucra integrales estocásticas y ecuaciones diferenciales estocásticas basadas en el proceso de movimiento de Wiener o Browniano. ^[266]

También a partir de la década de 1940, se establecieron conexiones entre los procesos estocásticos, en particular las martingalas, y el campo matemático de la teoría potencial , con las primeras ideas de Shizuo Kakutani y luego con el trabajo posterior de Joseph Doob. ^[265] Gilbert Hunt realizó trabajos adicionales, considerados pioneros, en la década de 1950, conectando los procesos de Markov y la teoría potencial, lo que tuvo un efecto significativo en la teoría de los procesos de Lévy y generó un mayor interés en estudiar los procesos de Markov con métodos desarrollados por Itô. . ^{[21] [267] [268]}

En 1953, Doob publicó su libro Procesos estocásticos , que tuvo una fuerte influencia en la teoría de los procesos estocásticos y destacó la importancia de la teoría de la medida en la probabilidad. ^{[265] [264]} Doob también desarrolló principalmente la teoría de las martingalas, con contribuciones sustanciales posteriores de Paul-André Meyer . Sergei Bernstein , Paul Lévy y Jean Ville habían realizado trabajos anteriores ; este último adoptó el término martingala para el proceso estocástico. ^{[269] [270]} Los métodos de la teoría de las martingalas se hicieron populares para resolver diversos problemas de probabilidad. Se desarrollaron técnicas y teorías para estudiar los procesos de Markov y luego se aplicaron a las martingalas. Por el contrario, se establecieron métodos basados ​​en la teoría de las martingalas para tratar los procesos de Markov. ^[265]

Se desarrollaron y utilizaron otros campos de la probabilidad para estudiar procesos estocásticos, siendo uno de los enfoques principales la teoría de las grandes desviaciones. ^[265] La teoría tiene muchas aplicaciones en la física estadística, entre otros campos, y tiene ideas centrales que se remontan al menos a la década de 1930. Más tarde, en las décadas de 1960 y 1970, Alexander Wentzell en la Unión Soviética y Monroe D. Donsker y Srinivasa Varadhan en los Estados Unidos de América realizaron un trabajo fundamental , ^[271] que más tarde resultaría en que Varadhan ganara el Premio Abel en 2007. ^[272] En las décadas de 1990 y 2000, las teorías de la evolución de Schramm-Loewner ^[273] y los caminos aproximados ^[142] se introdujeron y desarrollaron para estudiar procesos estocásticos y otros objetos matemáticos en la teoría de la probabilidad, lo que resultó respectivamente en la concesión de medallas Fields a Wendelin. Werner ^[274] en 2008 y a Martin Hairer en 2014. ^[275]

La teoría de los procesos estocásticos sigue siendo un foco de investigación, con conferencias internacionales anuales sobre el tema de los procesos estocásticos. ^{[45] [225]}

Descubrimientos de procesos estocásticos específicos.

Aunque Khinchin dio definiciones matemáticas de procesos estocásticos en la década de 1930, ^{[63] [260]} ya se habían descubierto procesos estocásticos específicos en diferentes entornos, como el proceso de movimiento browniano y el proceso de Poisson. ^{[21] [24]} Algunas familias de procesos estocásticos, como los procesos puntuales o los procesos de renovación, tienen historias largas y complejas que se remontan a siglos atrás. ^[276]

proceso de Bernoulli

El proceso de Bernoulli, que puede servir como modelo matemático para lanzar una moneda sesgada, es posiblemente el primer proceso estocástico estudiado. ^[81] El proceso es una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli, ^[82] que llevan el nombre de Jackob Bernoulli , quien los usó para estudiar juegos de azar, incluidos los problemas de probabilidad propuestos y estudiados anteriormente por Christiaan Huygens. ^[277] El trabajo de Bernoulli, incluido el proceso Bernoulli, se publicó en su libro Ars Conjectandi en 1713. ^[278]

Paseos aleatorios

En 1905, Karl Pearson acuñó el término paseo aleatorio al plantear un problema que describía un paseo aleatorio en un avión, motivado por una aplicación en biología, pero problemas de este tipo relacionados con paseos aleatorios ya se habían estudiado en otros campos. Ciertos problemas de juego que se estudiaron siglos antes pueden considerarse problemas que implican paseos aleatorios. ^{[89] [278]} Por ejemplo, el problema conocido como la ruina del jugador se basa en un paseo aleatorio simple, ^{[195] [279]} y es un ejemplo de un paseo aleatorio con barreras absorbentes. ^{[242] [280]} Pascal, Fermat y Huyens dieron soluciones numéricas a este problema sin detallar sus métodos, ^{[281] y luego Jakob Bernoulli y} Abraham de Moivre presentaron soluciones más detalladas . ^[282]

Para paseos aleatorios en redes de enteros -dimensionales , George Pólya publicó, en 1919 y 1921, un trabajo donde estudió la probabilidad de que un paseo aleatorio simétrico regresara a una posición anterior en la red. Pólya demostró que un paseo aleatorio simétrico, que tiene la misma probabilidad de avanzar en cualquier dirección en la red, regresará a una posición anterior en la red un número infinito de veces con probabilidad uno en una y dos dimensiones, pero con probabilidad cero en tres o más dimensiones. ^{[283] [284]} ${\displaystyle n}$

proceso de salchicha

El proceso de Wiener o proceso de movimiento browniano tiene su origen en diferentes campos como la estadística, las finanzas y la física. ^[21] En 1880, el astrónomo danés Thorvald Thiele escribió un artículo sobre el método de mínimos cuadrados, donde utilizó el proceso para estudiar los errores de un modelo en el análisis de series temporales. ^{[285] [286] [287]} El trabajo ahora se considera como un descubrimiento temprano del método estadístico conocido como filtrado de Kalman , pero el trabajo fue pasado por alto en gran medida. Se cree que las ideas del artículo de Thiele eran demasiado avanzadas para haber sido entendidas por la comunidad matemática y estadística más amplia de la época. ^[287]

Norbert Wiener dio la primera prueba matemática de la existencia del proceso de Wiener. Este objeto matemático había aparecido previamente en los trabajos de Thorvald Thiele , Louis Bachelier y Albert Einstein . ^[21]

El matemático francés Louis Bachelier utilizó un proceso de Wiener en su tesis de 1900 ^{[288] [289]} para modelar los cambios de precios en la Bolsa de París , una bolsa de valores , ^[290] sin conocer el trabajo de Thiele. ^[21] Se ha especulado que Bachelier extrajo ideas del modelo de paseo aleatorio de Jules Regnault , pero Bachelier no lo citó, ^[291] y la tesis de Bachelier ahora se considera pionera en el campo de las matemáticas financieras. ^{[290] [291]}

Se piensa comúnmente que el trabajo de Bachelier obtuvo poca atención y fue olvidado durante décadas hasta que fue redescubierto en la década de 1950 por Leonard Savage , y luego se hizo más popular después de que la tesis de Bachelier fuera traducida al inglés en 1964. Pero el trabajo nunca fue olvidado en el comunidad matemática, ya que Bachelier publicó un libro en 1912 detallando sus ideas, ^[291] que fue citado por matemáticos como Doob, Feller ^[291] y Kolmogorov. ^[21] El libro continuó siendo citado, pero luego, a partir de la década de 1960, la tesis original de Bachelier comenzó a ser citada más que su libro cuando los economistas comenzaron a citar el trabajo de Bachelier. ^[291]

En 1905, Albert Einstein publicó un artículo donde estudiaba la observación física del movimiento browniano o movimiento para explicar los movimientos aparentemente aleatorios de partículas en líquidos utilizando ideas de la teoría cinética de los gases . Einstein derivó una ecuación diferencial , conocida como ecuación de difusión , para describir la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada región del espacio. Poco después del primer artículo de Einstein sobre el movimiento browniano, Marian Smoluchowski publicó un trabajo en el que citaba a Einstein, pero escribió que había obtenido de forma independiente resultados equivalentes utilizando un método diferente. ^[292]

El trabajo de Einstein, así como los resultados experimentales obtenidos por Jean Perrin , inspiraron más tarde a Norbert Wiener en la década de 1920 ^[293] a utilizar un tipo de teoría de la medida, desarrollada por Percy Daniell , y el análisis de Fourier para demostrar la existencia del proceso de Wiener como método matemático. objeto. ^[21]

proceso de veneno

El proceso de Poisson lleva el nombre de Siméon Poisson , debido a su definición que involucra la distribución de Poisson , pero Poisson nunca estudió el proceso. ^{[22] [294]} Hay una serie de afirmaciones sobre usos o descubrimientos tempranos del proceso de Poisson. ^{[22] [24]} A principios del siglo XX, el proceso de Poisson surgiría de forma independiente en diferentes situaciones. ^{[22] [24]} En Suecia en 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, ahora considerado fundamental y pionero, donde proponía modelar reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo. ^{[295] [296]}

Otro descubrimiento ocurrió en Dinamarca en 1909 cuando AK Erlang derivó la distribución de Poisson al desarrollar un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang no estaba al tanto del trabajo anterior de Poisson en ese momento y asumió que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo eran independientes entre sí. Luego encontró el caso límite, que efectivamente está reformulando la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial. ^[22]

En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el recuento de partículas alfa. Motivado por su trabajo, Harry Bateman estudió el problema de conteo y derivó las probabilidades de Poisson como solución a una familia de ecuaciones diferenciales, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. ^[22] Después de esta época hubo muchos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es complicada, lo que ha sido explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos, ecólogos, ingenieros y diversos científicos físicos. ^[22]

Procesos de Markov

Los procesos de Markov y las cadenas de Markov llevan el nombre de Andrey Markov , quien estudió las cadenas de Markov a principios del siglo XX. Markov estaba interesado en estudiar una extensión de secuencias aleatorias independientes. En su primer artículo sobre las cadenas de Markov, publicado en 1906, Markov demostró que bajo ciertas condiciones los resultados promedio de la cadena de Markov convergerían a un vector fijo de valores, demostrando así una ley débil de grandes números sin el supuesto de independencia, ^{[297] [298] [299]} que se había considerado comúnmente como un requisito para que se cumplieran tales leyes matemáticas. ^[299] Más tarde, Markov utilizó cadenas de Markov para estudiar la distribución de vocales en Eugene Onegin , escrito por Alexander Pushkin , y demostró un teorema de límite central para tales cadenas. ^{[300] [297]}

En 1912, Poincaré estudió las cadenas de Markov en grupos finitos con el objetivo de estudiar el barajado de cartas. Otros usos tempranos de las cadenas de Markov incluyen un modelo de difusión, introducido por Paul y Tatyana Ehrenfest en 1907, y un proceso de ramificación, introducido por Francis Galton y Henry William Watson en 1873, que precede al trabajo de Markov. ^{[297] [298]} Después del trabajo de Galton y Watson, más tarde se reveló que su proceso de ramificación había sido descubierto y estudiado de forma independiente unas tres décadas antes por Irénée-Jules Bienaymé . ^[301] A partir de 1928, Maurice Fréchet se interesó por las cadenas de Markov, lo que finalmente le llevó a publicar en 1938 un estudio detallado sobre las cadenas de Markov. ^{[297] [302]}

Andrei Kolmogorov desarrolló en un artículo de 1931 gran parte de la teoría inicial de los procesos de Markov en tiempo continuo. ^{[252] [258]} Kolmogorov se inspiró en parte en el trabajo de Louis Bachelier de 1900 sobre las fluctuaciones en el mercado de valores, así como en el trabajo de Norbert Wiener sobre el modelo de Einstein del movimiento browniano. ^{[258] [303]} Introdujo y estudió un conjunto particular de procesos de Markov conocidos como procesos de difusión, donde derivó un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen los procesos. ^{[258] [304]} Independientemente del trabajo de Kolmogorov, Sydney Chapman derivó en un artículo de 1928 una ecuación, ahora llamada ecuación de Chapman-Kolmogorov , de una manera matemáticamente menos rigurosa que Kolmogorov, mientras estudiaba el movimiento browniano. ^[305] Las ecuaciones diferenciales ahora se denominan ecuaciones de Kolmogorov ^[306] o ecuaciones de Kolmogorov-Chapman. ^[307] Otros matemáticos que contribuyeron significativamente a los fundamentos de los procesos de Markov incluyen a William Feller, a partir de la década de 1930, y luego a Eugene Dynkin, a partir de la década de 1950. ^[252]

Procesos de Levy

Los procesos de Lévy como el proceso de Wiener y el proceso de Poisson (en la recta real) llevan el nombre de Paul Lévy, quien comenzó a estudiarlos en la década de 1930, ^[225] pero tienen conexiones con distribuciones infinitamente divisibles que se remontan a la década de 1920. ^[224] En un artículo de 1932, Kolmogorov derivó una función característica para variables aleatorias asociadas con los procesos de Lévy. Este resultado fue obtenido posteriormente en condiciones más generales por Lévy en 1934, y luego Khinchin dio de forma independiente una forma alternativa para esta función característica en 1937. ^{[252] [308]} Además de Lévy, Khinchin y Kolomogrov, las primeras contribuciones fundamentales a la teoría Los procesos de Lévy fueron realizados por Bruno de Finetti y Kiyosi Itô . ^[224]

construcción matemática

En matemáticas, al igual que en los procesos estocásticos, se necesitan construcciones de objetos matemáticos para demostrar su existencia matemática. ^[57] Hay dos enfoques principales para construir un proceso estocástico. Un enfoque implica considerar un espacio mensurable de funciones, definir un mapeo mensurable adecuado desde un espacio de probabilidad a este espacio mensurable de funciones y luego derivar las distribuciones de dimensión finita correspondientes. ^[309]

Otro enfoque implica definir una colección de variables aleatorias para que tengan distribuciones específicas de dimensión finita y luego usar el teorema de existencia de Kolmogorov ^[j] para demostrar que existe un proceso estocástico correspondiente. ^{[57] [309]} Este teorema, que es un teorema de existencia para medidas en espacios de productos infinitos, ^[313] dice que si alguna distribución de dimensión finita satisface dos condiciones, conocidas como condiciones de consistencia , entonces existe un proceso estocástico con esas distribuciones finitas. -Distribuciones dimensionales. ^[57]

Problemas de construcción

Al construir procesos estocásticos de tiempo continuo surgen ciertas dificultades matemáticas debido a los conjuntos de índices incontables, que no ocurren con procesos de tiempo discreto. ^{[58] [59]} Un problema es que es posible tener más de un proceso estocástico con las mismas distribuciones de dimensión finita. Por ejemplo, tanto la modificación continua a la izquierda como la modificación continua a la derecha de un proceso de Poisson tienen las mismas distribuciones de dimensión finita. ^[314] Esto significa que la distribución del proceso estocástico no necesariamente especifica de forma única las propiedades de las funciones muestrales del proceso estocástico. ^{[309] [315]}

Otro problema es que las funciones del proceso de tiempo continuo que dependen de un número incontable de puntos del conjunto de índices pueden no ser mensurables, por lo que las probabilidades de ciertos eventos pueden no estar bien definidas. ^[168] Por ejemplo, el supremo de un proceso estocástico o campo aleatorio no es necesariamente una variable aleatoria bien definida. ^{[30] [59]} Para un proceso estocástico de tiempo continuo , otras características que dependen de un número incontable de puntos del conjunto de índices incluyen: ^[168] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• una función de muestra de un proceso estocástico es una función continua de ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• una función de muestra de un proceso estocástico es una función acotada de ; y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• una función de muestra de un proceso estocástico es una función creciente de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$

Para superar estas dos dificultades, son posibles diferentes supuestos y enfoques. ^[69]

Resolviendo problemas de construcción

Un enfoque para evitar problemas de construcción matemática de procesos estocásticos, propuesto por Joseph Doob , es asumir que el proceso estocástico es separable. ^[316] La separabilidad garantiza que las distribuciones de dimensión infinita determinen las propiedades de las funciones de muestra al requerir que las funciones de muestra estén esencialmente determinadas por sus valores en un conjunto denso y contable de puntos en el conjunto de índices. ^[317] Además, si un proceso estocástico es separable, entonces las funciones de un número incontable de puntos del conjunto de índices son mensurables y sus probabilidades pueden estudiarse. ^{[168] [317]}

Es posible otro enfoque, desarrollado originalmente por Anatoliy Skorokhod y Andrei Kolmogorov , ^[318] para un proceso estocástico de tiempo continuo con cualquier espacio métrico como espacio de estados. Para la construcción de dicho proceso estocástico, se supone que las funciones muestrales del proceso estocástico pertenecen a algún espacio funcional adecuado, que suele ser el espacio de Skorokhod que consta de todas las funciones continuas por la derecha con límites por la izquierda. Este enfoque se utiliza ahora más que el supuesto de separabilidad, ^{[69] [263]} pero un proceso estocástico basado en este enfoque será automáticamente separable. ^[319]

Aunque se utiliza menos, el supuesto de separabilidad se considera más general porque cada proceso estocástico tiene una versión separable. ^[263] También se utiliza cuando no es posible construir un proceso estocástico en un espacio de Skorokhod. ^[173] Por ejemplo, se supone la separabilidad al construir y estudiar campos aleatorios, donde la colección de variables aleatorias ahora está indexada por conjuntos distintos de la línea real, como el espacio euclidiano bidimensional. ^{[30] [320]} ${\displaystyle n}$

Ver también

• Lista de temas de procesos estocásticos.
• Función de covarianza
• Sistema determinista
• Dinámica de partículas markovianas.
• Tasa de entropía (para un proceso estocástico)
• proceso ergódico
• Algoritmo de Gillespie
• Sistema de partículas interactivas
• Ley (procesos estocásticos)
• cadena de markov
• Autómata celular estocástico
• Campo aleatorio
• Aleatoriedad
• Proceso estacionario
• Modelo estadístico
• cálculo estocástico
• control estocástico
• loro estocástico
• Procesos estocásticos y problemas de valores en la frontera.

Notas

1. El término movimiento browniano puede referirse al proceso físico, también conocido como movimiento browniano , y al proceso estocástico, un objeto matemático, pero para evitar ambigüedades, este artículo utiliza los términos proceso de movimiento browniano o proceso de Wiener para este último en un estilo similar a , por ejemplo, Gikhman y Skorokhod ^[19] o Rosenblatt. ^[20]
2. El término "separable" aparece dos veces aquí con dos significados diferentes, donde el primer significado es de probabilidad y el segundo de topología y análisis. Para que un proceso estocástico sea separable (en un sentido probabilístico), su conjunto de índices debe ser un espacio separable (en un sentido topológico o analítico), además de otras condiciones. ^[136]
3. La definición de separabilidad para un proceso estocástico de valor real en tiempo continuo se puede expresar de otras maneras. ^{[172] [173]}
4. En el contexto de los procesos puntuales, el término "espacio de estados" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[234] [235]} que corresponde al índice establecido en la terminología de procesos estocásticos.
5. También conocido como James o Jacques Bernoulli. ^[245]
6. Se ha señalado que una excepción notable fue la Escuela de San Petersburgo en Rusia, donde los matemáticos dirigidos por Chebyshev estudiaron teoría de la probabilidad. ^[250]
7. El nombre Khinchin también está escrito (o transliterado) en inglés como Khintchine. ^[63]
8. Doob, al citar a Khinchin, utiliza el término "variable de probabilidad", que solía ser un término alternativo para "variable aleatoria". ^[261]
9. Posteriormente traducido al inglés y publicado en 1950 como Fundamentos de la teoría de la probabilidad ^[249]
10. El teorema tiene otros nombres, incluido el teorema de consistencia de Kolmogorov, ^[310] teorema de extensión de Kolmogorov ^[311] o el teorema de Daniell-Kolmogorov. ^[312]

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Otras lecturas

Artículos

• Applebaum, David (2004). "Procesos de Lévy: de la probabilidad a las finanzas y los grupos cuánticos". Avisos de la AMS . 51 (11): 1336-1347.
• Cramer, Harald (1976). "Medio siglo con la teoría de la probabilidad: algunos recuerdos personales". Los anales de la probabilidad . 4 (4): 509–546. doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798.
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "¿Qué pasó con el caos discreto, el proceso de Quenouille y la propiedad de Sharp Markov? Alguna historia de los procesos puntuales estocásticos". Revista estadística internacional . 80 (2): 253–268. doi :10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "Una breve historia de la integración estocástica y las finanzas matemáticas: los primeros años, 1880-1970". Un Festschrift para Herman Rubin . Notas de conferencias del Instituto de Estadística Matemática - Serie de monografías. págs. 75–91. doi :10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN  0749-2170.
• Meyer, Paul-André (2009). "Procesos estocásticos desde 1950 hasta la actualidad". Revista Electrónica de Historia de la Probabilidad y Estadística . 5 (1): 1–42.

Libros

• Robert J. Adler (2010). La geometría de los campos aleatorios. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
• Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (2009). Campos aleatorios y geometría. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-48116-6.
• Pierre Bremaud (2013). Cadenas de Markov: campos de Gibbs, simulación de Monte Carlo y colas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4757-3124-8.
• José L. Doob (1990). Procesos estocásticos. Wiley.
• Anders Hald (2005). Una historia de la probabilidad y la estadística y sus aplicaciones antes de 1750. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72517-6.
• Crispin Gardiner (2010). Métodos estocásticos. Saltador. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Iósif I. Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1996). Introducción a la Teoría de Procesos Aleatorios. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-69387-3.
• Emanuel Parzén (2015). Procesos estocásticos. Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-0-486-79688-8.
• Murray Rosenblatt (1962). Procesos Aleatorios . Prensa de la Universidad de Oxford.

enlaces externos

• Medios relacionados con los procesos estocásticos en Wikimedia Commons