Ruido de Johnson-Nyquist

Ruido electrónico debido a la vibración térmica dentro de un conductor.

Estos tres circuitos son todos equivalentes: (A) Una resistencia a temperatura distinta de cero, que tiene ruido de Johnson; (B) Una resistencia silenciosa en serie con una fuente de voltaje que crea ruido (es decir, el circuito equivalente de Thévenin ); (C) Una resistencia silenciosa en paralelo con una fuente de corriente que crea ruido (es decir, el circuito equivalente de Norton ).

El ruido de Johnson-Nyquist ( ruido térmico , ruido de Johnson o ruido de Nyquist ) es el ruido electrónico generado por la agitación térmica de los portadores de carga (generalmente los electrones ) dentro de un conductor eléctrico en equilibrio, que ocurre independientemente de cualquier voltaje aplicado . El ruido térmico está presente en todos los circuitos eléctricos y en equipos electrónicos sensibles (como receptores de radio ) puede ahogar las señales débiles y puede ser el factor limitante de la sensibilidad de los instrumentos de medición eléctricos. El ruido térmico aumenta con la temperatura. Algunos equipos electrónicos sensibles, como los receptores de radiotelescopios , se enfrían a temperaturas criogénicas para reducir el ruido térmico en sus circuitos. La derivación física estadística genérica de este ruido se denomina teorema de fluctuación-disipación , donde se utiliza la impedancia generalizada o la susceptibilidad generalizada para caracterizar el medio.

El ruido térmico en una resistencia ideal es aproximadamente blanco , lo que significa que la densidad espectral de potencia es casi constante en todo el espectro de frecuencia , pero decae a cero en frecuencias extremadamente altas ( terahercios para temperatura ambiente ). Cuando se limita a un ancho de banda finito, el ruido térmico tiene una distribución de amplitud casi gaussiana . ^[1]

Historia del ruido térmico.

En 1905, en uno de los artículos Annus mirabilis de Albert Einstein, la teoría del movimiento browniano se resolvió por primera vez en términos de fluctuaciones térmicas. Al año siguiente, en un segundo artículo sobre el movimiento browniano, Einstein sugirió que se podrían aplicar los mismos fenómenos para derivar corrientes agitadas térmicamente, pero no llevó a cabo el cálculo por considerarlo no comprobable. ^[2]

Geertruida de Haas-Lorentz , hija de Hendrik Lorentz , en su tesis doctoral de 1912, amplió la teoría estocástica de Einstein y la aplicó por primera vez al estudio de los electrones. Deducir una fórmula para el valor medio cuadrático de la corriente térmica. ^{[2] [3]}

Walter H. Schottky estudió el problema en 1918, mientras estudiaba el ruido térmico utilizando las teorías de Einstein, descubrió experimentalmente otro tipo de ruido, el ruido de disparo . ^[2]

Frits Zernike , que trabaja en metrología eléctrica, encontró deflexiones aleatorias inusuales mientras trabajaba con galvanómetros de alta sensibilidad . Rechazó la idea de que el ruido fuera mecánico y concluyó que era de naturaleza térmica. En 1927, introdujo la idea de las autocorrelaciones en las mediciones eléctricas y calculó el límite de tiempo de detección. Su trabajo coincidió con la predicción de De Haas-Lorentz. ^[2]

El mismo año, trabajando de forma independiente y sin ningún conocimiento del trabajo de Zernike, John B. Johnson, que trabajaba en los laboratorios Bell , encontró el mismo tipo de ruido en los sistemas de comunicación, pero lo describió en términos de frecuencias. ^{[4] [5] [2]} Describió sus hallazgos a Harry Nyquist , también en Bell Labs, quien pudo explicar los resultados, publicados en 1928. ^[6]

Derivación

Como afirmó Nyquist en su artículo de 1928, la suma de la energía en los modos normales de oscilación eléctrica determinaría la amplitud del ruido. Nyquist utilizó la ley de equipartición de Boltzmann y Maxwell. Utilizando el concepto de energía potencial y osciladores armónicos de la ley de equipartición, ^[7]

${\displaystyle \left\langle H\right\rangle =k_{\rm {B}}T}$

donde es la densidad de potencia del ruido en (W/Hz), es la constante de Boltzmann y es la temperatura . Multiplicar la ecuación por el ancho de banda da el resultado como potencia de ruido. ${\displaystyle \left\langle H\right\rangle }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle N=k_{\rm {B}}T\Delta f}$

donde N es la potencia de ruido y Δf es el ancho de banda .

Tensión y potencia de ruido.

El ruido térmico se diferencia del ruido de disparo , que consiste en fluctuaciones de corriente adicionales que se producen cuando se aplica un voltaje y una corriente macroscópica comienza a fluir. Para el caso general, la definición anterior se aplica a los portadores de carga en cualquier tipo de medio conductor (por ejemplo, iones en un electrolito ), no solo a las resistencias . Puede modelarse mediante una fuente de voltaje que represente el ruido de la resistencia no ideal en serie con una resistencia ideal libre de ruido.

La densidad espectral de potencia unilateral , o variación de voltaje (cuadrado medio) por hercio de ancho de banda , viene dada por

${\displaystyle {\overline {v_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR}$

donde k _B es la constante de Boltzmann en julios por kelvin , T es la temperatura absoluta de la resistencia en kelvin y R es el valor de la resistencia en ohmios (Ω). Usando esta ecuación para un cálculo rápido, a temperatura ambiente:

${\displaystyle {\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{\sqrt {R}}~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.}$

Por ejemplo, una resistencia de 1 kΩ a una temperatura de 300 K tiene

${\displaystyle {\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}={\sqrt {4\cdot 1.38\cdot 10^{-23}~\mathrm {J} /\mathrm {K} \cdot 300~\mathrm {K} \cdot 1000~\Omega }}=4.07\cdot 10^{-9}~\mathrm {V} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.}$

Para un ancho de banda dado, la raíz cuadrática media (RMS) del voltaje, está dada por ${\displaystyle v_{n}}$

${\displaystyle v_{n}={\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}{\sqrt {\Delta f}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Delta f}}}$

donde Δ f es el ancho de banda en hercios sobre el cual se mide el ruido. Para una resistencia de 1 kΩ a temperatura ambiente y un ancho de banda de 10 kHz, el voltaje de ruido RMS es de 400 nV. ^[8] Una regla general útil para recordar es que 50 Ω a un ancho de banda de 1 Hz corresponden a un ruido de 1 nV a temperatura ambiente.

Una resistencia en cortocircuito disipa una potencia de ruido de

${\displaystyle P={v_{n}^{2}}/R=4k_{\text{B}}\,T\Delta f.}$

El ruido generado en la resistencia puede transferirse al circuito restante; la transferencia máxima de potencia de ruido ocurre con la adaptación de impedancia cuando la resistencia equivalente de Thévenin del circuito restante es igual a la resistencia generadora de ruido. En este caso cada una de las dos resistencias participantes disipa el ruido tanto en sí misma como en la otra resistencia. Dado que sólo la mitad del voltaje de la fuente cae a través de cualquiera de estas resistencias, la potencia de ruido resultante viene dada por

${\displaystyle P=k_{\text{B}}\,T\Delta f}$

donde P es la potencia del ruido térmico en vatios. Tenga en cuenta que esto es independiente de la resistencia que genera ruido.

Corriente de ruido

La fuente de ruido también puede modelarse mediante una fuente de corriente en paralelo con la resistencia. Tomar el equivalente Norton de la fuente de voltaje corresponde a dividir el voltaje de ruido por R. Esto da el valor cuadrático medio de la fuente actual como:

${\displaystyle i_{n}={v_{n} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.}$

Potencia de ruido en decibeles.

La potencia de la señal a menudo se mide en dBm ( decibelios relativos a 1 milivatio ). De la ecuación anterior, la potencia de ruido en una resistencia a temperatura ambiente , en dBm, es entonces:

${\displaystyle P_{\mathrm {dBm} }=10\ \log _{10}(k_{\text{B}}T\Delta f/1\,{\textrm {mW}})\ {\textrm {dBm}}.}$

A temperatura ambiente (300 K) esto es aproximadamente

${\displaystyle P_{\mathrm {dBm} }=-173.8\ {\textrm {dBm}}+10\ \log _{10}(\Delta f{\text{ in Hz}})\ {\textrm {dB}}.}$^{[9] [10] : 260}

Utilizando esta ecuación, la potencia de ruido para diferentes anchos de banda es sencilla de calcular:

Ruido térmico en condensadores.

Los condensadores ideales, como dispositivos sin pérdidas, no tienen ruido térmico, pero como se usan comúnmente con resistencias en un circuito RC , la combinación tiene lo que se llama ruido kTC . El ancho de banda de ruido de un circuito RC es Δ f = 1/(4 RC ). ^[11] Cuando esto se sustituye en la ecuación del ruido térmico, el resultado tiene una forma inusualmente simple ya que el valor de la resistencia ( R ) sale de la ecuación. Esto se debe a que una R más alta disminuye el ancho de banda tanto como aumenta el ruido.

El voltaje de ruido medio cuadrático y RMS generado en dicho filtro es: ^[12]

${\displaystyle {\overline {v_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}=k_{\text{B}}T/C}$

${\displaystyle v_{n}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}.}$

La carga de ruido es la capacitancia multiplicada por el voltaje:

${\displaystyle Q_{n}=Cv_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}$

${\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}{\overline {v_{n}^{2}}}=C^{2}k_{\text{B}}T/C=k_{\text{B}}TC}$

Este ruido de carga es el origen del término " ruido kTC ".

Aunque es independiente del valor de la resistencia, el 100% del ruido kTC surge en la resistencia. Por lo tanto, si la resistencia y el condensador están a diferentes temperaturas, en el cálculo anterior se debe utilizar únicamente la temperatura de la resistencia.

Un caso extremo es el límite de ancho de banda cero llamado ruido de reinicio que queda en un capacitor al abrir un interruptor ideal. La resistencia es infinita, pero la fórmula sigue siendo válida; sin embargo, ahora el RMS debe interpretarse no como un promedio de tiempo, sino como un promedio de muchos de estos eventos de reinicio, ya que el voltaje es constante cuando el ancho de banda es cero. En este sentido, el ruido Johnson de un circuito RC puede verse como inherente, un efecto de la distribución termodinámica del número de electrones en el condensador, incluso sin la participación de una resistencia.

El ruido no es causado por el capacitor en sí, sino por las fluctuaciones termodinámicas de la cantidad de carga en el capacitor. Una vez que el capacitor se desconecta de un circuito conductor, la fluctuación termodinámica se congela en un valor aleatorio con una desviación estándar como se indicó anteriormente. El ruido de reinicio de los sensores capacitivos suele ser una fuente limitante de ruido, por ejemplo en los sensores de imagen .

Cualquier sistema en equilibrio térmico tiene variables de estado con una energía media de kT /2 por grado de libertad . Usando la fórmula para la energía en un capacitor ( E  = ½ CV ² ), se puede ver que la energía de ruido media en un capacitor también es ½ C ( kT / C ) = kT /2. El ruido térmico en un condensador se puede derivar de esta relación, sin considerar la resistencia.

Formas generalizadas

El ruido de tensión descrito anteriormente es un caso especial para un componente puramente resistivo para bajas frecuencias. En general, el ruido eléctrico térmico sigue relacionado con la respuesta resistiva en muchos casos eléctricos más generalizados, como consecuencia del teorema de fluctuación-disipación . A continuación se señalan una variedad de generalizaciones. Todas estas generalizaciones comparten una limitación común: solo se aplican en los casos en que el componente eléctrico considerado es puramente pasivo y lineal. ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$

Impedancias reactivas

El artículo original de Nyquist también proporcionó el ruido generalizado para componentes que tienen una respuesta parcialmente reactiva , por ejemplo, fuentes que contienen condensadores o inductores. ^[6] Un componente de este tipo puede describirse mediante una impedancia eléctrica compleja dependiente de la frecuencia . La fórmula para la densidad espectral de potencia del voltaje de ruido en serie es ${\displaystyle Z(f)}$

${\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].}$

La función es simplemente igual a 1 excepto en frecuencias muy altas o cerca del cero absoluto (ver más abajo). ${\displaystyle \eta (f)}$

La parte real de la impedancia, , depende en general de la frecuencia, por lo que el ruido de Johnson-Nyquist no es ruido blanco. El voltaje de ruido rms en un rango de frecuencias se puede encontrar mediante la integración de la densidad espectral de potencia: ${\displaystyle \operatorname {Re} [Z(f)]}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}$.

Alternativamente, se puede utilizar una corriente de ruido paralela para describir el ruido de Johnson, siendo su densidad espectral de potencia

${\displaystyle S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].}$

¿ Dónde está la admitancia eléctrica ? tenga en cuenta que ${\displaystyle Y(f)=1/Z(f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)]=\operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}}$

Efectos cuánticos a altas frecuencias o bajas temperaturas.

Nyquist también señaló que los efectos cuánticos ocurren para frecuencias muy altas o temperaturas muy bajas cercanas al cero absoluto. ^[6] La función en general viene dada por ^[13] ${\displaystyle \eta (f)}$

${\displaystyle \eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}},}$

donde es la constante de Planck y es un factor multiplicador. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \eta (f)}$

A frecuencias muy altas , la función comienza a disminuir exponencialmente hasta cero. A temperatura ambiente, esta transición se produce en terahercios, mucho más allá de las capacidades de la electrónica convencional, por lo que es válido configurarla para que funcione la electrónica convencional. ${\displaystyle f\gtrsim k_{\text{B}}T/h}$ ${\displaystyle \eta (f)}$ ${\displaystyle \eta (f)=1}$

Relación con la ley de Planck

La fórmula de Nyquist es esencialmente la misma que derivó Planck en 1901 para la radiación electromagnética de un cuerpo negro en una dimensión; es decir, es la versión unidimensional de la ley de Planck sobre la radiación de un cuerpo negro . ^[14] En otras palabras, una resistencia caliente creará ondas electromagnéticas en una línea de transmisión del mismo modo que un objeto caliente creará ondas electromagnéticas en el espacio libre.

En 1946, Robert H. Dicke desarrolló la relación ^[15] y la conectó además con las propiedades de las antenas, particularmente el hecho de que la apertura promedio de la antena en todas las direcciones diferentes no puede ser mayor que , donde λ es la longitud de onda. Esto se debe a la diferente dependencia de la frecuencia entre la ley de Planck 3D y la 1D. ${\displaystyle \lambda ^{2}/(4\pi )}$

Redes eléctricas multipuerto

Richard Q. Twiss extendió las fórmulas de Nyquist a redes eléctricas pasivas multipuerto , incluidos dispositivos no recíprocos como circuladores y aisladores . ^[16] El ruido térmico aparece en cada puerto y puede describirse como fuentes de voltaje en serie aleatorias en serie con cada puerto. Los voltajes aleatorios en diferentes puertos pueden correlacionarse, y sus amplitudes y correlaciones se describen completamente mediante un conjunto de funciones de densidad espectral cruzada que relacionan los diferentes voltajes de ruido.

${\displaystyle S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})}$

donde son los elementos de la matriz de impedancia . Nuevamente, una descripción alternativa del ruido es en términos de fuentes de corriente paralelas aplicadas en cada puerto. Su densidad espectral cruzada está dada por ${\displaystyle Z_{mn}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})}$

¿Dónde está la matriz de admitancia ? ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}}$

Medios electrodinámicos continuos.

La generalización completa del ruido de Nyquist se encuentra en la electrodinámica de fluctuación, que describe la densidad de corriente del ruido dentro de medios continuos con respuesta disipativa en una función de respuesta continua como la permitividad dieléctrica o la permeabilidad magnética . Las ecuaciones de la electrodinámica de fluctuación proporcionan un marco común para describir tanto el ruido de Johnson-Nyquist como la radiación de cuerpo negro en el espacio libre . ^[17]

Ver también

• Teorema de disipación de fluctuaciones
• Disparo
• Ruido rosa
• Ecuación de Langevin
• Subida sobre térmica

Referencias

1. John R. Barry; Edward A. Lee; David G. Messerschmitt (2004). Comunicaciones digitales. Velocista. pag. 69.ISBN​ 9780792375487.
2. Dörfel, G. (15 de agosto de 2012). "La historia temprana del ruido térmico: el largo camino hacia el cambio de paradigma". Annalen der Physik . 524 (8): 117–121. doi : 10.1002/andp.201200736. ISSN  0003-3804.
3. Van Der Ziel, A. (1 de enero de 1980), Marton, L.; Marton, C. (eds.), "Historia de la investigación del ruido", Avances en electrónica y física electrónica , Academic Press, vol. 50, págs. 351–409, doi :10.1016/s0065-2539(08)61066-5 , consultado el 16 de marzo de 2024
4. Anónimo (1927). "Acta de la reunión de Filadelfia del 28, 29 y 30 de diciembre de 1926". Revisión física . 29 (2): 350–373. Código bibliográfico : 1927PhRv...29..350.. doi : 10.1103/PhysRev.29.350.
5. Johnson, J. (1928). "Agitación térmica de la electricidad en conductores". Revisión física . 32 (97): 97-109. Código bibliográfico : 1928PhRv...32...97J. doi :10.1103/physrev.32.97.
6. Nyquist, H. (1928). "Agitación térmica de carga eléctrica en conductores". Revisión física . 32 (110): 110-113. Código bibliográfico : 1928PhRv...32..110N. doi :10.1103/physrev.32.110.
7. Tomasi, Wayne (1994). Comunicación electrónica. PTR de Prentice Hall. ISBN 9780132200622.
8. Resultado de la Calculadora de Google para 1 kΩ a temperatura ambiente y ancho de banda de 10 kHz
9. Pierce, JR (1956). "Fuentes físicas de ruido". Actas del IRE . 44 (5): 601–608. doi :10.1109/JRPROC.1956.275123. S2CID  51667159.
10. Vizmuller, Peter (1995), Guía de diseño de RF , Artech House, ISBN 0-89006-754-6
11. Lundberg, Kent H. "Fuentes de ruido en CMOS masivos" (PDF) . pag. 10.
12. Sarpeshkar, R.; Delbrück, T.; Mead, CA (noviembre de 1993). "Ruido blanco en transistores y resistencias MOS" (PDF) . Revista de circuitos y dispositivos IEEE . 9 (6): 23–29. doi : 10.1109/101.261888. S2CID  11974773.
13. Callen, Herbert. "Irreversibilidad y ruido generalizado". Revisión física . 83 (1): 34.
14. Urick, VJ; Williams, Keith J.; McKinney, Jason D. (30 de enero de 2015). Fundamentos de la fotónica de microondas. John Wiley e hijos. pag. 63.ISBN​ 9781119029786.
15. Dicke, RH (1 de julio de 1946). "La medición de la radiación térmica en frecuencias de microondas". Revisión de Instrumentos Científicos . 17 (7): 268–275. Código bibliográfico : 1946RScI...17..268D. doi : 10.1063/1.1770483 . PMID  20991753. S2CID  26658623.
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17. Pitaevskii, LP ; Lifshitz, EM (1980). "Capítulo VIII. Fluctuaciones Electromagnéticas". Física estadística, parte 2: Teoría del estado condensado . vol. 9 (1ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-7506-2636-1.

 Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C. Administración de Servicios Generales . Archivado desde el original el 22 de enero de 2022. (en apoyo de MIL-STD-188 ).

enlaces externos

• Ruido del amplificador en sistemas de RF.
• Ruido térmico (pregrado) con matemáticas detalladas.