Parámetros de impedancia

Conjunto de propiedades utilizadas en ingeniería eléctrica.

Los parámetros de impedancia o parámetros Z (los elementos de una matriz de impedancia o matriz Z ) son propiedades utilizadas en ingeniería eléctrica , ingeniería electrónica e ingeniería de sistemas de comunicación para describir el comportamiento eléctrico de redes eléctricas lineales . También se utilizan para describir la respuesta de señal pequeña ( linealizada ) de redes no lineales. Son miembros de una familia de parámetros similares utilizados en ingeniería electrónica, otros ejemplos son: parámetros S , ^[1] parámetros Y , ^[2] parámetros H , parámetros T o parámetros ABCD . ^{[3] [4]}

Los parámetros Z también se conocen como parámetros de impedancia de circuito abierto , ya que se calculan en condiciones de circuito abierto, es decir, I _x = 0, donde x = 1,2 se refieren a las corrientes de entrada y salida que fluyen a través de los puertos (de una red de dos puertos en este caso) respectivamente.

La matriz de parámetros Z

Una matriz de parámetros Z describe el comportamiento de cualquier red eléctrica lineal que pueda considerarse como una caja negra con varios puertos . Un puerto en este contexto es un par de terminales eléctricos que llevan corrientes iguales y opuestas hacia dentro y hacia fuera de la red, y que tienen un voltaje particular entre ellos. La matriz Z no brinda información sobre el comportamiento de la red cuando las corrientes en cualquier puerto no están equilibradas de esta manera (si esto fuera posible), ni tampoco brinda información sobre el voltaje entre terminales que no pertenecen al mismo puerto. Por lo general, se pretende que cada conexión externa a la red se realice entre los terminales de un solo puerto, de modo que estas limitaciones sean apropiadas.

Para una definición genérica de red multipuerto, se supone que a cada uno de los puertos se le asigna un número entero n que va de 1 a N , donde N es el número total de puertos. Para el puerto n , la definición del parámetro Z asociado se expresa en términos de la corriente y el voltaje del puerto, respectivamente . ${\displaystyle I_{n}\,}$ ${\displaystyle V_{n}\,}$

Para todos los puertos, los voltajes pueden definirse en términos de la matriz de parámetros Z y las corrientes mediante la siguiente ecuación matricial:

${\displaystyle V=ZI\,}$

donde Z es una matriz N × N cuyos elementos se pueden indexar utilizando la notación matricial convencional . En general, los elementos de la matriz de parámetros Z son números complejos y funciones de frecuencia. Para una red de un puerto, la matriz Z se reduce a un solo elemento, que es la impedancia ordinaria medida entre los dos terminales. Los parámetros Z también se conocen como parámetros de circuito abierto porque se miden o calculan aplicando corriente a un puerto y determinando los voltajes resultantes en todos los puertos mientras que los puertos no activados terminan en circuitos abiertos.

Redes de dos puertos

El circuito equivalente para los parámetros Z de una red de dos puertos.

El circuito equivalente para los parámetros Z de una red recíproca de dos puertos.

La matriz de parámetros Z para la red de dos puertos es probablemente la más común. En este caso, la relación entre las corrientes y los voltajes de los puertos y la matriz de parámetros Z viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$.

dónde

${\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

${\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

Para el caso general de una red de N puertos,

${\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

Relaciones de impedancia

La impedancia de entrada de una red de dos puertos viene dada por:

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}$

donde Z _L es la impedancia de la carga conectada al puerto dos.

De manera similar, la impedancia de salida viene dada por:

${\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}$

donde Z _S es la impedancia de la fuente conectada al puerto uno.

Relación con los parámetros S

Los parámetros Z de una red están relacionados con sus parámetros S por ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}$ 

y ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}$ 

donde es la matriz identidad , es una matriz diagonal que tiene la raíz cuadrada de la impedancia característica en cada puerto como sus elementos distintos de cero, ${\displaystyle 1_{\!N}}$ ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

y es la matriz diagonal correspondiente de raíces cuadradas de admitancias características . En estas expresiones, las matrices representadas por los factores entre corchetes conmutan y, por lo tanto, como se muestra arriba, pueden escribirse en cualquier orden. ^{[5] [nota 1]} ${\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}$

Dos puertos

En el caso especial de una red de dos puertos, con la misma impedancia característica en cada puerto, las expresiones anteriores se reducen a ${\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

Dónde

${\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}$

Los parámetros S de dos puertos se pueden obtener a partir de los parámetros Z de dos puertos equivalentes mediante las siguientes expresiones ^[6]

${\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

${\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}$

Las expresiones anteriores generalmente utilizan números complejos para y . Tenga en cuenta que el valor de puede convertirse en 0 para valores específicos de , por lo que la división por en los cálculos de puede dar lugar a una división por 0. ${\displaystyle S_{ij}\,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle S_{ij}\,}$

Relación con los parámetros Y

La conversión de parámetros Y a parámetros Z es mucho más sencilla, ya que la matriz de parámetros Z es simplemente la inversa de la matriz de parámetros Y. Para dos puertos:

${\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}$

dónde

${\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}$

es el determinante de la matriz de parámetros Y.

Notas

1. Toda matriz cuadrada conmuta consigo misma y con la matriz identidad, y si dos matrices A y B conmutan, entonces también lo hacen A y B ⁻¹ (ya que AB ⁻¹  =  B ⁻¹ BAB ⁻¹  =  B ⁻¹ ABB ⁻¹  =  B ⁻¹ A )

Referencias

1. David M. Pozar (5 de febrero de 2004). Ingeniería de microondas . Wiley. págs. 170-174. ISBN 978-0-471-44878-5.
2. David M. Pozar, 2005 (op. cit); págs. 170-174.
3. David M. Pozar, 2005 (op. cit); págs. 183-186.
4. AH Morton, Ingeniería eléctrica avanzada , Pitman Publishing Ltd., 1985; págs. 33-72, ISBN 0-273-40172-6 . 
5. Russer, Peter (2003). Electromagnetismo, diseño de circuitos de microondas y antenas para ingeniería de comunicaciones . Artech House. pág. 420. ISBN 1-58053-532-1.
6. Simon Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (9 de febrero de 1994). Campos y ondas en la electrónica de comunicaciones . Wiley. págs. 537–541. ISBN 978-0-471-58551-0.

Bibliografía

• David M. Pozar (5 de febrero de 2004). Ingeniería de microondas . Wiley. ISBN 978-0-471-44878-5.
• Simon Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (9 de febrero de 1994). Campos y ondas en la electrónica de comunicaciones . Wiley. ISBN 978-0-471-58551-0.

Véase también

• Parámetros de dispersión
• Parámetros de admisión
• Red de dos puertos