Parámetros de dispersión

Valores que describen el comportamiento de un circuito eléctrico lineal

Los parámetros de dispersión o parámetros S (los elementos de una matriz de dispersión o matriz S ) describen el comportamiento eléctrico de las redes eléctricas lineales cuando se someten a diversos estímulos de estado estable mediante señales eléctricas.

Los parámetros son útiles para varias ramas de la ingeniería eléctrica , incluida la electrónica , el diseño de sistemas de comunicación y, especialmente, la ingeniería de microondas .

Los parámetros S son miembros de una familia de parámetros similares, otros ejemplos son: parámetros Y , ^[1] parámetros Z , ^[2] parámetros H , parámetros T o parámetros ABCD . ^{[3] [4]} Se diferencian de estos, en el sentido de que los parámetros S no utilizan condiciones de circuito abierto o cortocircuito para caracterizar una red eléctrica lineal; en su lugar, se utilizan cargas adaptadas . Estas terminaciones son mucho más fáciles de usar en frecuencias de señal altas que las terminaciones de circuito abierto y cortocircuito. Contrariamente a la creencia popular, las cantidades no se miden en términos de potencia (excepto en los analizadores de red de seis puertos ahora obsoletos). Los analizadores de red vectoriales modernos miden la amplitud y la fase de los fasores de onda viajera de voltaje utilizando esencialmente el mismo circuito que el utilizado para la demodulación de señales inalámbricas moduladas digitalmente .

Muchas propiedades eléctricas de redes de componentes ( inductores , condensadores , resistencias ) pueden expresarse utilizando parámetros S, como ganancia , pérdida de retorno , relación de onda estacionaria de tensión (VSWR), coeficiente de reflexión y estabilidad del amplificador . El término "dispersión" es más común en la ingeniería óptica que en la ingeniería de RF, y se refiere al efecto que se observa cuando una onda electromagnética plana incide sobre una obstrucción o pasa a través de medios dieléctricos diferentes . En el contexto de los parámetros S, la dispersión se refiere a la forma en que las corrientes y voltajes que viajan en una línea de transmisión se ven afectados cuando encuentran una discontinuidad causada por la inserción de una red en la línea de transmisión. Esto es equivalente a que la onda encuentre una impedancia diferente de la impedancia característica de la línea .

Aunque son aplicables a cualquier frecuencia , los parámetros S se utilizan principalmente para redes que operan en frecuencias de radio (RF) y microondas . Los parámetros S de uso común (los parámetros S convencionales) son cantidades lineales (no cantidades de potencia, como en el enfoque de "ondas de potencia" mencionado a continuación de Kaneyuki Kurokawa  [ja] (黒川兼行)). Los parámetros S cambian con la frecuencia de medición, por lo que se debe especificar la frecuencia para cualquier medición de parámetros S indicada, además de la impedancia característica o la impedancia del sistema .

Los parámetros S se representan fácilmente en forma de matriz y obedecen las reglas del álgebra matricial.

Fondo

La primera descripción publicada de los parámetros S fue en la tesis de Vitold Belevitch en 1945. ^[5] El nombre utilizado por Belevitch fue matriz de repartición y la consideración limitada a las redes de elementos agrupados. El término matriz de dispersión fue utilizado por el físico e ingeniero Robert Henry Dicke en 1947, quien desarrolló la idea de forma independiente durante el trabajo en radar en tiempos de guerra. ^{[6] [7]} En estos parámetros S y matrices de dispersión, las ondas dispersas son las llamadas ondas viajeras. Un tipo diferente de parámetros S se introdujo en la década de 1960. ^[8] Este último fue popularizado por Kaneyuki Kurokawa  [ja] (黒川兼行), ^[9] quien se refirió a las nuevas ondas dispersas como "ondas de potencia". Los dos tipos de parámetros S tienen propiedades muy diferentes y no deben confundirse. ^[10] En su artículo seminal, ^[11] Kurokawa distingue claramente los parámetros S de las ondas de potencia y los parámetros S de las ondas viajeras convencionales. Una variante de estos últimos son los parámetros S de las ondas pseudo-viajeras. ^[12]

En el enfoque de parámetros S, una red eléctrica se considera como una " caja negra " que contiene varios componentes básicos de circuitos eléctricos interconectados o elementos agrupados, como resistencias, condensadores, inductores y transistores, que interactúan con otros circuitos a través de puertos . La red se caracteriza por una matriz cuadrada de números complejos llamada matriz de parámetros S, que se puede utilizar para calcular su respuesta a las señales aplicadas a los puertos.

Para la definición del parámetro S, se entiende que una red puede contener cualquier componente siempre que toda la red se comporte de manera lineal con pequeñas señales incidentes. También puede incluir muchos componentes o "bloques" típicos de un sistema de comunicación, como amplificadores , atenuadores , filtros , acopladores y ecualizadores, siempre que también funcionen en condiciones lineales y definidas.

Una red eléctrica que se va a describir mediante parámetros S puede tener cualquier número de puertos. Los puertos son los puntos en los que las señales eléctricas entran o salen de la red. Los puertos suelen ser pares de terminales con el requisito de que la corriente que entra en un terminal sea igual a la corriente que sale del otro. ^{[13] [14]} Los parámetros S se utilizan en frecuencias en las que los puertos suelen ser conexiones coaxiales o de guía de ondas .

La matriz de parámetros S que describe una red de N puertos será cuadrada de dimensión N y, por lo tanto, contendrá elementos. En la frecuencia de prueba, cada elemento o parámetro S se representa mediante un número complejo sin unidades que representa la magnitud y el ángulo , es decir, la amplitud y la fase . El número complejo puede expresarse en forma rectangular o, más comúnmente, en forma polar . La magnitud del parámetro S puede expresarse en forma lineal o en forma logarítmica . Cuando se expresa en forma logarítmica, la magnitud tiene la " unidad adimensional " de decibelios . El ángulo del parámetro S se expresa con mayor frecuencia en grados , pero ocasionalmente en radianes . Cualquier parámetro S puede mostrarse gráficamente en un diagrama polar mediante un punto para una frecuencia o un lugar geométrico para un rango de frecuencias. Si se aplica solo a un puerto (al tener la forma ), puede mostrarse en un diagrama de Smith de impedancia o admitancia normalizado a la impedancia del sistema. La tabla de Smith permite una conversión simple entre el parámetro, equivalente al coeficiente de reflexión de voltaje y la impedancia (o admitancia) asociada (normalizada) "vista" en ese puerto. ${\displaystyle N^{2}\,}$ ${\displaystyle S_{nn}\,}$ ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Al especificar un conjunto de parámetros S se debe definir la siguiente información:

1. La frecuencia
2. La impedancia característica nominal (a menudo 50 Ω)
3. La asignación de números de puerto
4. Condiciones que pueden afectar la red, como temperatura, voltaje de control y corriente de polarización, cuando corresponda.

La matriz de parámetros S

Una definición

En el caso de una red multipuerto genérica, los puertos se numeran del 1 al N , donde N es el número total de puertos. Para el puerto i , la definición del parámetro S asociado se expresa en términos de "ondas de potencia" incidentes y reflejadas, y respectivamente. ${\displaystyle a_{i}\,}$ ${\displaystyle b_{i}\,}$

Kurokawa ^[15] define la onda de potencia incidente para cada puerto como

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})\,}$

y la onda reflejada para cada puerto se define como

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})\,}$

donde es la impedancia para el puerto i, es el conjugado complejo de y son respectivamente las amplitudes complejas del voltaje y la corriente en el puerto i , y ${\displaystyle Z_{i}\,}$ ${\displaystyle Z_{i}^{*}\,}$ ${\displaystyle Z_{i}\,}$ ${\displaystyle V_{i}\,}$ ${\displaystyle I_{i}\,}$

${\displaystyle k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}\,}$

A veces es útil suponer que la impedancia de referencia es la misma para todos los puertos, en cuyo caso las definiciones de las ondas incidentes y reflejadas se pueden simplificar a

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,}$

y

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,}$

Tenga en cuenta que, como señaló el propio Kurokawa, las definiciones anteriores de y no son únicas. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

La relación entre los vectores a y b , cuyos componentes i -ésimos son las ondas de potencia y respectivamente, se puede expresar utilizando la matriz de parámetros S S : ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a} \,}$

O usando componentes explícitos:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}$

Reciprocidad

Una red será recíproca si es pasiva y contiene solo materiales recíprocos que influyen en la señal transmitida. Por ejemplo, los atenuadores, cables, divisores y combinadores son todos redes recíprocas y, en cada caso, la matriz de parámetros S será igual a su transpuesta . Las redes que incluyen materiales no recíprocos en el medio de transmisión, como las que contienen componentes de ferrita polarizados magnéticamente, serán no recíprocas. Un amplificador es otro ejemplo de una red no recíproca. ${\displaystyle S_{mn}=S_{nm}\,}$

Sin embargo, una propiedad de las redes de tres puertos es que no pueden ser simultáneamente recíprocas, libres de pérdidas y perfectamente adaptadas. ^[16]

Redes sin pérdidas

Una red sin pérdidas es aquella que no disipa ninguna potencia, o: . La suma de las potencias incidentes en todos los puertos es igual a la suma de las potencias salientes (por ejemplo, 'reflejadas') en todos los puertos. Esto implica que la matriz de parámetros S es unitaria , es decir , donde es la transpuesta conjugada de y es la matriz identidad . ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle (S)^{H}(S)=(I)\,}$ ${\displaystyle (S)^{H}\,}$ ${\displaystyle (S)\,}$ ${\displaystyle (I)\,}$

Redes con pérdidas

Una red pasiva con pérdidas es aquella en la que la suma de las potencias incidentes en todos los puertos es mayor que la suma de las potencias salientes (por ejemplo, 'reflejadas') en todos los puertos. Por lo tanto, disipa potencia: . Por lo tanto , y es definida positiva . ^[17] ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle (I)-(S)^{H}(S)\,}$

Parámetros S de dos puertos

La matriz de parámetros S para la red de 2 puertos es probablemente la más utilizada y sirve como bloque de construcción básico para generar matrices de orden superior para redes más grandes. ^[18] En este caso, la relación entre las ondas salientes ('reflejadas'), las ondas incidentes y la matriz de parámetros S viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$.

Ampliando las matrices en ecuaciones obtenemos:

${\displaystyle b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}\,}$

y

${\displaystyle b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}\,}$.

Cada ecuación proporciona la relación entre las ondas salientes (por ejemplo, reflejadas) e incidentes en cada uno de los puertos de red, 1 y 2, en términos de los parámetros S individuales de la red, , , y . Si se considera una onda incidente en el puerto 1 ( ) pueden resultar de ella ondas que salen del propio puerto 1 ( ) o del puerto 2 ( ). Sin embargo, si, según la definición de los parámetros S, el puerto 2 termina en una carga idéntica a la impedancia del sistema ( ), entonces, por el teorema de transferencia de potencia máxima , será totalmente absorbida, lo que la hace igual a cero. Por lo tanto, definiendo las ondas de voltaje incidente como y con las ondas salientes/reflejadas siendo y , ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle a_{1}\,}$ ${\displaystyle b_{1}\,}$ ${\displaystyle b_{2}\,}$ ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle b_{2}\,}$ ${\displaystyle a_{2}\,}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle a_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle b_{1}=V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{-}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$y . ${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$

De manera similar, si el puerto 1 termina en el sistema, la impedancia se vuelve cero, lo que da ${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$y ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$

Los parámetros S de 2 puertos tienen las siguientes descripciones genéricas:

${\displaystyle S_{11}\,}$es el coeficiente de reflexión del voltaje del puerto de entrada

${\displaystyle S_{12}\,}$¿Es la ganancia de voltaje inversa?

${\displaystyle S_{21}\,}$es la ganancia de voltaje directo

${\displaystyle S_{22}\,}$es el coeficiente de reflexión de voltaje del puerto de salida.

Si, en lugar de definir la dirección de la onda de voltaje relativa a cada puerto, se definen por su dirección absoluta como ondas directas e inversas , entonces y . Los parámetros S adquieren entonces un significado más intuitivo, como la ganancia de voltaje directo, que se define por la relación de los voltajes directos . ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle S_{21}=V_{2}^{-}/V_{1}^{+}}$

Utilizando esto, la matriz anterior se puede ampliar de una manera más práctica.

${\displaystyle V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{+}\,}$

${\displaystyle V_{2}^{-}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+}\,}$

Propiedades de los parámetros S de redes de 2 puertos

Un amplificador que funciona en condiciones lineales (de pequeña señal) es un buen ejemplo de una red no recíproca y un atenuador adaptado es un ejemplo de una red recíproca. En los siguientes casos, asumiremos que las conexiones de entrada y salida son a los puertos 1 y 2 respectivamente, que es la convención más común. También se deben especificar la impedancia nominal del sistema, la frecuencia y cualquier otro factor que pueda influir en el dispositivo, como la temperatura.

Ganancia lineal compleja

La ganancia lineal compleja G viene dada por

${\displaystyle G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}\,}$.

Se trata de la relación lineal entre la onda de potencia reflejada de salida dividida por la onda de potencia incidente de entrada, todos los valores expresados ​​como cantidades complejas. Para redes con pérdidas, es subunitaria, para redes activas , será igual a la ganancia de voltaje solo cuando el dispositivo tenga impedancias de entrada y salida iguales. ${\displaystyle |G|>1}$

Ganancia lineal escalar

La ganancia lineal escalar (o magnitud de ganancia lineal) viene dada por

${\displaystyle \left|G\right|=\left|S_{21}\right|\,}$.

Representa la magnitud de la ganancia (valor absoluto), la relación entre la onda de potencia de salida y la onda de potencia de entrada, y es igual a la raíz cuadrada de la ganancia de potencia. Se trata de una cantidad de valor real (o escalar), en la que se omite la información de fase.

Ganancia logarítmica escalar

La expresión logarítmica escalar (decibel o dB) para la ganancia (g) es:

${\displaystyle g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$Decibelios.

Este término se utiliza con más frecuencia que la ganancia lineal escalar y una cantidad positiva normalmente se entiende simplemente como una "ganancia", mientras que una cantidad negativa es una "ganancia negativa" (una "pérdida"), equivalente a su magnitud en dB. Por ejemplo, a 100 MHz, un cable de 10 m de longitud puede tener una ganancia de -1 dB, lo que equivale a una pérdida de 1 dB.

Pérdida de inserción

En caso de que los dos puertos de medición utilicen la misma impedancia de referencia, la pérdida de inserción ( IL ) es el recíproco de la magnitud del coeficiente de transmisión | S ₂₁ | expresado en decibeles. Por lo tanto, viene dada por: ^[19]

${\displaystyle IL=10\log _{10}\left|{\frac {1}{S_{21}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$Decibelios.

Es la pérdida extra producida por la introducción del dispositivo bajo prueba (DUT) entre los 2 planos de referencia de la medición. La pérdida extra puede deberse a pérdida intrínseca en el DUT y/o desajuste. En caso de pérdida extra, la pérdida de inserción se define como positiva. El negativo de la pérdida de inserción expresado en decibelios se define como ganancia de inserción y es igual a la ganancia logarítmica escalar (ver: definición anterior).

Pérdida de retorno de entrada

La pérdida de retorno de entrada ( RL _en ) se puede considerar como una medida de qué tan cerca está la impedancia de entrada real de la red del valor de impedancia nominal del sistema. La pérdida de retorno de entrada expresada en decibeles se da por

${\displaystyle RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{S_{11}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|\,}$Decibelios.

Tenga en cuenta que para redes pasivas de dos puertos en las que | S ₁₁ | ≤ 1 , se deduce que la pérdida de retorno es una cantidad no negativa: RL _en  ≥ 0 . Tenga en cuenta también que, de manera un tanto confusa, la pérdida de retorno a veces se utiliza como el negativo de la cantidad definida anteriormente, pero este uso es, estrictamente hablando, incorrecto según la definición de pérdida. ^[20]

Pérdida de retorno de salida

La pérdida de retorno de salida ( RL _out ) tiene una definición similar a la pérdida de retorno de entrada, pero se aplica al puerto de salida (puerto 2) en lugar del puerto de entrada. Se expresa mediante

${\displaystyle RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|\,}$Decibelios.

Ganancia inversa y aislamiento inverso

La expresión logarítmica escalar (decibel o dB) para la ganancia inversa ( ) es: ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|\,}$Decibelios.

A menudo, esto se expresará como aislamiento inverso ( ), en cuyo caso se convierte en una cantidad positiva igual a la magnitud de y la expresión se convierte en: ${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }\,}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|\,}$Decibelios.

Coeficiente de reflexión

El coeficiente de reflexión en el puerto de entrada ( ) o en el puerto de salida ( ) son equivalentes a y respectivamente, por lo que ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$ ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$y . ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}\,}$

Como y son cantidades complejas, también lo son y . ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$

Los coeficientes de reflexión son cantidades complejas y pueden representarse gráficamente en diagramas polares o diagramas de Smith.

Véase también el artículo Coeficiente de reflexión .

Relación de ondas estacionarias de voltaje

La relación de onda estacionaria de voltaje (VSWR) en un puerto, representada por la letra "s" minúscula, es una medida similar de la correspondencia del puerto con la pérdida de retorno, pero es una cantidad lineal escalar, la relación entre el voltaje máximo de la onda estacionaria y el voltaje mínimo de la onda estacionaria. Por lo tanto, se relaciona con la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje y, por lo tanto, con la magnitud del puerto de entrada o del puerto de salida. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

En el puerto de entrada, el VSWR ( ) viene dado por ${\displaystyle s_{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}\,}$

En el puerto de salida, el VSWR ( ) viene dado por ${\displaystyle s_{\mathrm {out} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}\,}$

Esto es correcto para coeficientes de reflexión con una magnitud no mayor que la unidad, que es el caso habitual. Un coeficiente de reflexión con una magnitud mayor que la unidad, como en un amplificador de diodo túnel , dará como resultado un valor negativo para esta expresión. Sin embargo, la ROE, según su definición, siempre es positiva. Una expresión más correcta para el puerto k de un multipuerto es:

${\displaystyle s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}\,}$

Parámetros S de 4 puertos

Los parámetros de 4 puertos se utilizan para caracterizar redes de 4 puertos. Incluyen información sobre las ondas de potencia reflejadas e incidentes entre los 4 puertos de la red.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}}$

Se utilizan comúnmente para analizar un par de líneas de transmisión acopladas para determinar la cantidad de interferencias entre ellas, si son impulsadas por dos señales independientes de un solo extremo, o la potencia reflejada e incidente de una señal diferencial impulsada a través de ellas. Muchas especificaciones de señales diferenciales de alta velocidad definen un canal de comunicación en términos de los parámetros S de 4 puertos, por ejemplo, la interfaz de unidad de conexión de 10 gigabits (XAUI), SATA, PCI-X y los sistemas InfiniBand.

Parámetros S de modo mixto de 4 puertos

Los parámetros S de modo mixto de 4 puertos caracterizan una red de 4 puertos en términos de la respuesta de la red a señales de estímulo diferenciales y de modo común. La siguiente tabla muestra los parámetros S de modo mixto de 4 puertos.

Tenga en cuenta el formato de la notación de parámetros SXYab, donde "S" representa el parámetro de dispersión o parámetro S, "X" es el modo de respuesta (diferencial o común), "Y" es el modo de estímulo (diferencial o común), "a" es el puerto de respuesta (salida) y b es el puerto de estímulo (entrada). Esta es la nomenclatura típica para los parámetros de dispersión.

El primer cuadrante se define como los 4 parámetros superiores izquierdos que describen las características de estímulo diferencial y respuesta diferencial del dispositivo bajo prueba. Este es el modo de operación real para la mayoría de las interconexiones diferenciales de alta velocidad y es el cuadrante que recibe la mayor atención. Incluye pérdida de retorno diferencial de entrada (SDD11), pérdida de inserción diferencial de entrada (SDD21), pérdida de retorno diferencial de salida (SDD22) y pérdida de inserción diferencial de salida (SDD12). Algunos beneficios del procesamiento de señales diferenciales son:

• susceptibilidad reducida a interferencias electromagnéticas
• Reducción de la radiación electromagnética del circuito diferencial equilibrado.
• Productos de distorsión diferencial de orden par transformados en señales de modo común
• factor de aumento de dos en el nivel de voltaje en relación con un solo extremo
• Rechazo de la fuente de alimentación en modo común y codificación de ruido de tierra en señal diferencial

El segundo y tercer cuadrante son los cuatro parámetros superior derecho e inferior izquierdo respectivamente. También se los conoce como cuadrantes de modos cruzados. Esto se debe a que caracterizan por completo cualquier conversión de modo que se produzca en el dispositivo en prueba, ya sea una conversión de SDCab común a diferencial (susceptibilidad a EMI para una aplicación de transmisión SDD de señal diferencial prevista) o una conversión de SCDab diferencial a común (radiación EMI para una aplicación diferencial). Comprender la conversión de modo es muy útil cuando se intenta optimizar el diseño de interconexiones para el rendimiento de datos de gigabits.

El cuarto cuadrante son los 4 parámetros inferiores a la derecha y describe las características de rendimiento de la señal de modo común SCCab que se propaga a través del dispositivo bajo prueba. Para un dispositivo diferencial SDDab correctamente diseñado, debe haber una salida de modo común mínima SCCab. Sin embargo, los datos de respuesta de modo común del cuarto cuadrante son una medida de la respuesta de transmisión de modo común y se utilizan en relación con la respuesta de transmisión diferencial para determinar el rechazo de modo común de la red. Este rechazo de modo común es un beneficio importante del procesamiento de señales diferenciales y se puede reducir a uno en algunas implementaciones de circuitos diferenciales. ^{[21] [22]}

Parámetros S en el diseño de amplificadores

El parámetro de aislamiento inverso determina el nivel de retroalimentación de la salida de un amplificador a la entrada y, por lo tanto, influye en su estabilidad (su tendencia a abstenerse de oscilar) junto con la ganancia directa . Un amplificador con puertos de entrada y salida perfectamente aislados entre sí tendría un aislamiento de magnitud logarítmica escalar infinito o la magnitud lineal de sería cero. Se dice que un amplificador de este tipo es unilateral. Sin embargo, la mayoría de los amplificadores prácticos tendrán un aislamiento finito que permitirá que el coeficiente de reflexión "visto" en la entrada se vea influenciado en cierta medida por la carga conectada a la salida. Un amplificador que está diseñado deliberadamente para tener el valor más pequeño posible de a menudo se denomina amplificador buffer . ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle \left|S_{12}\right|\,}$

Supongamos que el puerto de salida de un amplificador real (no unilateral o bilateral) está conectado a una carga arbitraria con un coeficiente de reflexión de . El coeficiente de reflexión real "visto" en el puerto de entrada estará dado por ^[23] ${\displaystyle \Gamma _{L}\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\,}$.

Si el amplificador es unilateral entonces y o, para decirlo de otra manera, la carga de salida no tiene efecto sobre la entrada. ${\displaystyle S_{12}=0\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$

Existe una propiedad similar en la dirección opuesta, en este caso si es el coeficiente de reflexión visto en el puerto de salida y es el coeficiente de reflexión de la fuente conectada al puerto de entrada. ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}\,}$

Condiciones de carga del puerto para que un amplificador sea incondicionalmente estable

Un amplificador es incondicionalmente estable si se puede conectar una carga o fuente de cualquier coeficiente de reflexión sin causar inestabilidad. Esta condición se produce si las magnitudes de los coeficientes de reflexión en la fuente, la carga y los puertos de entrada y salida del amplificador son simultáneamente menores que la unidad. Un requisito importante que a menudo se pasa por alto es que el amplificador sea una red lineal sin polos en el semiplano derecho. ^[24] La inestabilidad puede causar una distorsión grave de la respuesta de frecuencia de ganancia del amplificador o, en casos extremos, oscilación. Para ser incondicionalmente estable en la frecuencia de interés, un amplificador debe satisfacer las siguientes 4 ecuaciones simultáneamente: ^[25]

${\displaystyle \left|\Gamma _{s}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{L}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1\,}$

La condición límite para que cada uno de estos valores sea igual a la unidad se puede representar mediante un círculo dibujado en el diagrama polar que representa el coeficiente de reflexión (complejo), uno para el puerto de entrada y el otro para el puerto de salida. A menudo, estos se escalarán como diagramas de Smith. En cada caso, las coordenadas del centro del círculo y el radio asociado se dan mediante las siguientes ecuaciones:

ΓL_​valores para| Γ _en | = 1(círculo de estabilidad de salida)

Radio ${\displaystyle r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.}$

Centro ${\displaystyle c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.}$

Γ _Svalores para| Γ _fuera | = 1(círculo de estabilidad de entrada)

Radio ${\displaystyle r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.}$

Centro ${\displaystyle c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.}$

En ambos casos

${\displaystyle \Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21},}$

y la estrella superíndice (*) indica un conjugado complejo .

Los círculos están en unidades complejas de coeficiente de reflexión, por lo que se pueden dibujar en diagramas de Smith basados ​​en impedancia o admitancia normalizados a la impedancia del sistema. Esto sirve para mostrar fácilmente las regiones de impedancia (o admitancia) normalizada para la estabilidad incondicional prevista. Otra forma de demostrar la estabilidad incondicional es mediante el factor de estabilidad de Rollett ( ), definido como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.}$

La condición de estabilidad incondicional se logra cuando y ${\displaystyle K>1}$ ${\displaystyle |\Delta |<1.}$

Parámetros de transferencia de dispersión

Los parámetros de transferencia de dispersión o parámetros T de una red de dos puertos se expresan mediante la matriz de parámetros T y están estrechamente relacionados con la matriz de parámetros S correspondiente. Sin embargo, a diferencia de los parámetros S, no existe un medio físico simple para medir los parámetros T en un sistema, a veces denominados ondas de Youla. La matriz de parámetros T está relacionada con las ondas normalizadas incidentes y reflejadas en cada uno de los puertos de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,}$

Sin embargo, podrían definirse de manera diferente, como sigue:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$

El complemento RF Toolbox de MATLAB ^[26] y varios libros (por ejemplo, "Network scattering parameters" ^[27] ) utilizan esta última definición, por lo que es necesario tener cuidado. Los párrafos "From S to T" y "From T to S" de este artículo se basan en la primera definición. La adaptación a la segunda definición es trivial (intercambiando T 11 por T 22 y T 12 por T 21 ). La ventaja de los parámetros T en comparación con los parámetros S es que, si las impedancias de referencia son puramente reales o complejas conjugadas, se pueden utilizar para determinar fácilmente el efecto de la conexión en cascada de 2 o más redes de 2 puertos simplemente multiplicando las matrices de parámetros T individuales asociadas. Si los parámetros T de, por ejemplo, tres redes de 2 puertos diferentes 1, 2 y 3 son , y respectivamente, entonces la matriz de parámetros T para la cascada de las tres redes ( ) en orden serial viene dada por: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que el orden es importante. Al igual que con los parámetros S, los parámetros T son valores complejos y existe una conversión directa entre los dos tipos. Aunque los parámetros T en cascada son una simple multiplicación matricial de los parámetros T individuales, la conversión de los parámetros S de cada red a los parámetros T correspondientes y la conversión de los parámetros T en cascada nuevamente a los parámetros S en cascada equivalentes, que generalmente se requieren, no es trivial. Sin embargo, una vez que se completa la operación, se tendrán en cuenta las interacciones complejas de onda completa entre todos los puertos en ambas direcciones. Las siguientes ecuaciones proporcionarán la conversión entre los parámetros S y T para redes de 2 puertos. ^[28]

De S a T:

${\displaystyle T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,}$

Donde indica el determinante de la matriz , ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}}$.

De T a S

${\displaystyle S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,}$

Donde indica el determinante de la matriz . ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21},}$

Parámetros S de 1 puerto

El parámetro S para una red de un puerto se da mediante una matriz simple de 1 × 1 de la forma donde n es el número de puerto asignado. Para cumplir con la definición de linealidad del parámetro S, normalmente sería una carga pasiva de algún tipo. Una antena es una red común de un puerto para la cual los valores pequeños de indican que la antena irradiará o disipará/almacenará energía. ${\displaystyle (s_{nn})\,}$ ${\displaystyle s_{11}}$

Matrices de parámetros S de orden superior

Los parámetros S de orden superior para pares de puertos diferentes ( ), donde se pueden deducir de manera similar a los de las redes de 2 puertos al considerar pares de puertos por turno, en cada caso asegurando que todos los puertos restantes (no utilizados) estén cargados con una impedancia idéntica a la impedancia del sistema. De esta manera, la onda de potencia incidente para cada uno de los puertos no utilizados se vuelve cero, lo que produce expresiones similares a las obtenidas para el caso de 2 puertos. Los parámetros S relacionados solo con puertos individuales ( ) requieren que todos los puertos restantes estén cargados con una impedancia idéntica a la impedancia del sistema, lo que hace que todas las ondas de potencia incidentes sean cero, excepto la del puerto en consideración. En general, por lo tanto, tenemos: ${\displaystyle S_{mn}\,}$ ${\displaystyle m\neq \;n\,}$ ${\displaystyle S_{mm}\,}$

${\displaystyle S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,}$

y

${\displaystyle S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,}$

Por ejemplo, una red de 3 puertos, como un divisor de 2 vías, tendría las siguientes definiciones de parámetros S

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,}$

con

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

donde se refiere a la onda saliente en el puerto m inducida por la onda incidente en el puerto n. ${\displaystyle S_{mn}}$

Medición de parámetros S

Los parámetros S se miden más comúnmente con un analizador de red vectorial (VNA).

Formato de salida de datos de parámetros S medidos y corregidos

Los datos de prueba del parámetro S se pueden proporcionar en muchos formatos alternativos, por ejemplo: lista, gráfico ( diagrama de Smith o diagrama polar ).

Formato de lista

En formato de lista, los parámetros S medidos y corregidos se tabulan en función de la frecuencia. El formato de lista más común se conoce como Touchstone o S n P, donde n es el número de puertos. Normalmente, los archivos de texto que contienen esta información tienen la extensión de nombre de archivo ".s2p". ^{[ Aclaración necesaria ]}

Gráfico (diagrama de Smith)

Cualquier parámetro S de 2 puertos se puede mostrar en un diagrama de Smith usando coordenadas polares, pero lo más significativo sería y ya que cualquiera de estos se puede convertir directamente en una impedancia (o admitancia) normalizada equivalente usando la escala de impedancia (o admitancia) característica del diagrama de Smith adecuada a la impedancia del sistema. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

Gráfica (diagrama polar)

Cualquier parámetro S de 2 puertos se puede mostrar en un diagrama polar utilizando coordenadas polares.

En cualquiera de los formatos gráficos, cada parámetro S en una frecuencia de prueba particular se muestra como un punto. Si la medición es un barrido a través de varias frecuencias, aparecerá un punto para cada una.

Medición de parámetros S de una red de un solo puerto

La matriz de parámetros S para una red con un solo puerto tendrá un solo elemento representado en la forma , donde n es el número asignado al puerto. La mayoría de los analizadores vectoriales de redes proporcionan una capacidad de calibración simple de un puerto para la medición de un puerto a fin de ahorrar tiempo si eso es todo lo que se necesita. ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Medición de parámetros S de redes con más de 2 puertos

Los analizadores vectoriales de red diseñados para la medición simultánea de los parámetros S de redes con más de dos puertos son factibles, pero rápidamente se vuelven prohibitivamente complejos y costosos. Por lo general, su compra no está justificada, ya que las mediciones requeridas se pueden obtener utilizando un analizador vectorial de red calibrado de dos puertos estándar con mediciones adicionales seguidas de la interpretación correcta de los resultados obtenidos. La matriz de parámetros S requerida se puede ensamblar a partir de mediciones sucesivas de dos puertos en etapas, dos puertos a la vez, en cada ocasión con los puertos no utilizados terminados en cargas de alta calidad iguales a la impedancia del sistema. Un riesgo de este enfoque es que la pérdida de retorno o ROE de las propias cargas debe especificarse adecuadamente para que sea lo más cercana posible a unos perfectos 50 ohmios, o cualquiera que sea la impedancia nominal del sistema. Para una red con muchos puertos puede existir la tentación, por razones de costo, de especificar inadecuadamente los ROE de las cargas. Será necesario algún análisis para determinar cuál será el peor ROE aceptable de las cargas.

Suponiendo que las cargas adicionales se especifican adecuadamente, si es necesario, se modifican dos o más de los subíndices de los parámetros S de los relacionados con el analizador de redes vectoriales (1 y 2 en el caso considerado anteriormente) a los relacionados con la red bajo prueba (1 a N, si N es el número total de puertos del DUT). Por ejemplo, si el DUT tiene 5 puertos y un analizador de redes vectoriales de dos puertos está conectado con el puerto 1 del analizador de redes vectoriales al puerto 3 del analizador de redes vectoriales y el puerto 2 del analizador de redes vectoriales al puerto 5 del analizador de redes vectoriales, los resultados medidos del analizador de redes vectoriales ( , , y ) serían equivalentes a , , y respectivamente, suponiendo que los puertos 1, 2 y 4 del analizador de redes vectoriales estuvieran terminados en cargas adecuadas de 50 ohmios . Esto proporcionaría 4 de los 25 parámetros S necesarios. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle S_{33}\,}$ ${\displaystyle S_{35}\,}$ ${\displaystyle S_{53}\,}$ ${\displaystyle S_{55}\,}$

Véase también

• Parámetros de admisión
• Parámetros de impedancia
• Red de dos puertos
• Parámetros X , un superconjunto no lineal de parámetros S
• Teorema de Belevitch

Referencias

1. Pozar, David M. (2005); Ingeniería de microondas, tercera edición (edición internacional); John Wiley & Sons, Inc.; págs. 170–174. ISBN  0-471-44878-8 .
2. Pozar, David M. (2005) (op. cit.); págs. 170-174.
3. Pozar, David M. (2005) (op. cit.); págs. 183–186.
4. Morton, AH (1985); Ingeniería eléctrica avanzada ; Pitman Publishing Ltd.; págs. 33–72. ISBN 0-273-40172-6 . 
5. Belevitch, Vitold "Resumen de la historia de la teoría de circuitos", Proceedings of the IRE , vol. 50 , iss. 5, págs. 848–855, mayo de 1962.
   Vandewalle, Joos "In memoriam – Vitold Belevitch", International Journal of Circuit Theory and Applications , vol. 28 , iss. 5, págs. 429–430, septiembre/octubre de 2000. doi :10.1002/1097-007X(200009/10)28:5<429::AID-CTA121>3.0.CO;2-6
6. Valkenburg, Mac Elwyn Van Teoría de circuitos: fundamentos y contribuciones clásicas , p.334, Stroudsburg, Pensilvania: Dowden, Hutchinson & Ross, 1974 ISBN 0-87933-084-8 . 
7. Dicke RH (1947). "Un método computacional aplicable a redes de microondas". Revista de Física Aplicada . 18 (10): 873–878. Bibcode :1947JAP....18..873D. doi :10.1063/1.1697561.
8. Penfield, Jr., Paul "Ruido en amplificadores de resistencia negativa", IRE Transactions on Circuit Theory , vol. 7 , iss. 2, págs. 166-170, junio de 1960.
   Youla, DC "Sobre matrices de dispersión normalizadas a números de puerto complejos", Proceedings of the IRE , vol. 49 , iss. 7, pág. 1221, julio de 1962.
9. "Salón de la fama de los microondas, parte III". Microondas 101. PN Designs. 2012.
10. Amakawa, Shuhei "Reflexiones dispersas sobre parámetros de dispersión", IEICE Transactions on Electronics , vol. E99-C , iss.10, págs. 1100–1112, octubre de 2016.
11. Kurokawa, Kaneyuki "Ondas de potencia y la matriz de dispersión", IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques , vol.13 , iss.2, pp. 194–202, marzo de 1965.
12. Marks, RB y Williams, DF "Una teoría general de circuitos de guía de ondas", Revista de Investigación del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología , vol. 97 , iss. 5, págs. 533–562, 1992.
13. Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pag. 170.
14. Morton, AH (1985) (op. cit.); pag. 33.
15. Kurokawa, K., "Ondas de potencia y la matriz de dispersión", IEEE Trans. Micr. Theory & Tech., marzo de 1965, págs. 194-202
16. Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pag. 173.
17. Diseño de parámetros S; Nota de aplicación AN 154; Agilent Technologies; pág. 7
18. Choma J. y Chen WK (2007). Redes de retroalimentación: teoría y aplicaciones de circuitos. Singapur: World Scientific. Capítulo 3, pág. 225 y siguientes. ISBN 978-981-02-2770-8.
19. Collin, Robert E.; Fundamentos de ingeniería de microondas, segunda edición
20. Trevor S. Bird, "Definición y mal uso de la pérdida de retorno", IEEE Antennas & Propagation Magazine , vol. 51 , iss. 2, pp. 166–167, abril de 2009.
21. Canales de placa base y correlación entre su frecuencia y el rendimiento en el dominio del tiempo.
22. Bockelman, DE; Eisenstadt, WR (julio de 1995). "Parámetros de dispersión diferencial y de modo común combinados: teoría y simulación". IEEE Transactions . 43 (7): 1530–1539. Bibcode :1995ITMTT..43.1530B. doi :10.1109/22.392911.
23. Gonzalez, Guillermo (1997); Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design, Segunda Edición ; Prentice Hall NJ; pp 212–216. ISBN 0-13-254335-4 . 
24. JM Rollett, "Estabilidad e invariantes de ganancia de potencia de dos puertos lineales", IRE Trans. on Circuit Theory vol. CT-9, págs. 29-32, marzo de 1962
25. González, Guillermo (op. cit.); pp 217–222
26. "Documentación de RF Toolbox".
27. R. Mavaddat. (1996). Parámetro de dispersión de red. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-2305-2.
28. Diseño de parámetros S; Nota de aplicación AN 154; Agilent Technologies; pág. 14

Bibliografía

• Guillermo González, "Amplificadores de transistores de microondas, análisis y diseño, 2.ª ed.", Prentice Hall, Nueva Jersey; ISBN 0-13-581646-7 
• David M. Pozar, "Ingeniería de microondas", tercera edición, John Wiley & Sons Inc.; ISBN 0-471-17096-8 
• William Eisenstadt, Bob Stengel y Bruce Thompson, "Diseño de circuitos diferenciales de microondas utilizando parámetros S de modo mixto", Artech House; ISBN 1-58053-933-5 ; ISBN 978-1-58053-933-3  
• "Diseño de parámetros S", Nota de aplicación AN 154, Keysight Technologies
• "Técnicas de parámetros S para un diseño de redes más rápido y preciso", Nota de aplicación AN 95-1, Keysight Technologies, diapositivas en formato PDF más video QuickTime o escaneo del artículo original de Richard W. Anderson
• AJ Baden Fuller, "Introducción a la teoría y las técnicas de microondas", segunda edición, Biblioteca Internacional de Pérgamo; ISBN 0-08-024227-8 
• Ramo, Whinnery y Van Duzer, "Campos y ondas en la electrónica de comunicaciones", John Wiley & Sons; ISBN 0-471-70721-X 
• CW Davidson, "Líneas de transmisión para comunicaciones con programas CAD", segunda edición, Macmillan Education Ltd.; ISBN 0-333-47398-1