En teoría de probabilidad , la evolución de Schramm–Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner ( SLE κ ), es una familia de curvas aleatorias planares que han demostrado ser el límite de escala de una variedad de modelos reticulares bidimensionales en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio en el plano complejo U , da una familia de curvas aleatorias en U , con κ controlando cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de SLE, la SLE cordal que da una familia de curvas aleatorias desde dos puntos límite fijos, y la SLE radial , que da una familia de curvas aleatorias desde un punto límite fijo hasta un punto interior fijo. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de Markov del dominio .
Además de UST y LERW, se conjetura o se ha demostrado que la evolución de Schramm-Loewner describe el límite de escala de varios procesos estocásticos en el plano, como la percolación crítica , el modelo crítico de Ising , el modelo de doble dímero , los paseos autoevitativos y otros modelos críticos de mecánica estadística que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias no autointersecantes en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y una cierta propiedad de Markov inherente a tales procesos estocásticos juntos hacen posible codificar estas curvas planares en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner). De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planares se pueden traducir en ejercicios de cálculo de Itô . De hecho, varias predicciones matemáticamente no rigurosas hechas por físicos utilizando la teoría de campos conforme se han demostrado utilizando esta estrategia.
La ecuación de Loewner
Si es un dominio complejo abierto , simplemente conexo , distinto de , y es una curva simple en que comienza en el límite (una función continua con en el límite de y un subconjunto de ), entonces para cada , el complemento
de es simplemente conexo y, por lo tanto, conformemente isomorfo a por el teorema de aplicación de Riemann . Si es un isomorfismo normalizado adecuado de a , entonces satisface una ecuación diferencial encontrada por Loewner (1923, p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente utilizar la función inversa de , que es una aplicación conforme de a .
En la ecuación de Loewner, , , y los valores límite en el momento son o . La ecuación depende de una función impulsora que toma valores en el límite de . Si
es el disco unitario y la curva está parametrizada por "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es
o
Cuando el semiplano superior es la ecuación de Loewner difiere de ésta por los cambios de variable y es
o
La función de conducción y la curva están relacionadas por
donde y se extienden por continuidad.
Ejemplo
Sea el semiplano superior y considere un SLE 0 , por lo que la función impulsora es un movimiento browniano de difusividad cero. La función es, por lo tanto, idénticamente cero casi con seguridad y
es el semiplano superior con la línea de 0 a eliminada.
Evolución de Schramm-Loewner
La evolución de Schramm-Loewner es la curva aleatoria γ dada por la ecuación de Loewner como en la sección anterior, para la función impulsora
donde B ( t ) es el movimiento browniano en el límite de D , escalado por algún κ real . En otras palabras, la evolución de Schramm–Loewner es una medida de probabilidad en curvas planas, dada como la imagen de la medida de Wiener bajo este mapa.
En general, la curva γ no necesita ser simple, y el dominio D t no es el complemento de γ ([0, t ]) en D , sino que es el componente ilimitado del complemento.
Hay dos versiones de SLE, que utilizan dos familias de curvas, cada una de las cuales depende de un parámetro real no negativo κ :
SLE cordal κ , que está relacionada con las curvas que conectan dos puntos en el límite de un dominio (generalmente el semiplano superior, donde los puntos son 0 e infinito).
SLE radial κ , que está relacionado con las curvas que unen un punto en el límite de un dominio con un punto en el interior (a menudo curvas que unen 1 y 0 en el disco unitario).
El SLE depende de la elección del movimiento browniano en el límite del dominio, y existen diversas variaciones según el tipo de movimiento browniano que se utilice: por ejemplo, puede comenzar en un punto fijo, o comenzar en un punto distribuido uniformemente en el círculo unitario, o puede tener una deriva incorporada, etc. El parámetro κ controla la velocidad de difusión del movimiento browniano, y el comportamiento del SLE depende críticamente de su valor.
Los dos dominios más utilizados en la evolución de Schramm-Loewner son el semiplano superior y el disco unitario. Aunque la ecuación diferencial de Loewner en estos dos casos parece diferente, son equivalentes hasta cambios de variables, ya que el disco unitario y el semiplano superior son equivalentes conformemente. Sin embargo, una equivalencia conforme entre ellos no preserva el movimiento browniano en sus límites utilizado para impulsar la evolución de Schramm-Loewner.
Valores especiales dek
Para 0 ≤ κ < 4 la curva γ( t ) es simple (con probabilidad 1).
Para 4 < κ < 8 la curva γ( t ) se interseca a sí misma y cada punto está contenido en un bucle pero la curva no llena el espacio (con probabilidad 1).
Para κ ≥ 8 la curva γ( t ) llena el espacio (con probabilidad 1).
κ = 4 corresponde a la trayectoria del explorador armónico y las líneas de contorno del campo libre gaussiano .
Interfaz de percolación: Haz un rombo con hexágonos de igual tamaño en el plano. Colorea su lado superior e izquierdo con negro, y el lado inferior y derecho con blanco. Luego colorea los otros hexágonos de “blanco” o “negro” independientemente con la misma probabilidad 1/2. Hay un límite entre el negro y el blanco, que va desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha. El límite de escala del límite es κ = 6.
Para κ = 6, SLE κ tiene la propiedad de localidad. Esto surge en el límite de escala de la percolación crítica en la red triangular y conjeturalmente en otras redes.
κ = 8 corresponde al camino que separa el árbol de expansión uniforme de su árbol dual.
Cuando SLE corresponde a alguna teoría de campo conforme, el parámetro κ está relacionado con la carga central c
de la teoría de campo conforme por
Cada valor de c < 1 corresponde a dos valores de κ , un valor κ entre 0 y 4, y un valor "dual" 16/ κ mayor que 4. (ver Bauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b))
Beffara (2008) demostró que la dimensión de Hausdorff de las trayectorias (con probabilidad 1) es igual a min(2, 1 + κ /8).
Fórmulas de probabilidad de paso por la izquierda para SLEk
La probabilidad de que el SLE cordal κ γ esté a la izquierda del punto fijo fue calculada por Schramm (2001a) [1]
y el lema de Itô para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial para
Para κ = 4, el RHS es , que se utilizó en la construcción del explorador armónico, [2] y para κ = 6, obtenemos la fórmula de Cardy , que fue utilizada por Smirnov para demostrar la invariancia conforme en la percolación . [3]
Aplicaciones
Lawler, Schramm y Werner (2001b) utilizaron SLE 6 para demostrar la conjetura de Mandelbrot (1982) de que el límite del movimiento browniano planar tiene dimensión fractal 4/3.
Stanislav Smirnov demostró que la percolación crítica en la red triangular estaba relacionada con SLE 6. [4] Combinado con el trabajo anterior de Harry Kesten , [5] esto condujo a la determinación de muchos de los exponentes críticos para la percolación. [ 6] Este avance, a su vez, permitió un análisis más profundo de muchos aspectos de este modelo. [7] [8]
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Lectura adicional
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Kager, Wouter; Nienhuis, Bernard (2004), "Una guía para la evolución estocástica de Loewner y sus aplicaciones", J. Stat. Phys. , 115 (5/6): 1149–1229, arXiv : math-ph/0312056 , Bibcode :2004JSP...115.1149K, doi :10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be, S2CID 7239233
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Norris, JR (2010), Introducción a las evoluciones de Schramm-Loewner (PDF)
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