Exponente crítico

Los exponentes críticos describen el comportamiento de las magnitudes físicas cerca de transiciones de fase continuas . Se cree, aunque no está demostrado, que son universales, es decir, que no dependen de los detalles del sistema físico, sino solo de algunas de sus características generales. Por ejemplo, para sistemas ferromagnéticos en equilibrio térmico, los exponentes críticos dependen solo de:

la dimensión del sistema
El alcance de la interacción
La dimensión del giro

Estas propiedades de los exponentes críticos están respaldadas por datos experimentales. Los resultados analíticos se pueden lograr teóricamente en la teoría del campo medio en dimensiones altas o cuando se conocen soluciones exactas, como el modelo de Ising bidimensional . El tratamiento teórico en dimensiones genéricas requiere el enfoque del grupo de renormalización o, para sistemas en equilibrio térmico, las técnicas de bootstrap conforme . Las transiciones de fase y los exponentes críticos aparecen en muchos sistemas físicos, como el agua en el punto crítico , en sistemas magnéticos, en superconductividad, en percolación y en fluidos turbulentos. La dimensión crítica por encima de la cual son válidos los exponentes del campo medio varía con los sistemas e incluso puede ser infinita.

Definición

El parámetro de control que impulsa las transiciones de fase suele ser la temperatura, pero también pueden ser otras variables macroscópicas como la presión o un campo magnético externo. Para simplificar, la siguiente discusión funciona en términos de temperatura; la traducción a otro parámetro de control es sencilla. La temperatura a la que se produce la transición se denomina temperatura crítica $T c$ . Queremos describir el comportamiento de una cantidad física $f$ en términos de una ley de potencia en torno a la temperatura crítica; introducimos la temperatura reducida

\tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}

que es cero en la transición de fase , y define el exponente crítico como: ${\estilo de visualización k}$

k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}

Esto da como resultado la ley de potencia que estábamos buscando:

f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0

Es importante recordar que esto representa el comportamiento asintótico de la función $f (τ)$ cuando $τ \to 0$ .

De manera más general, se podría esperar

f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)

Principales exponentes

Supongamos que el sistema en equilibrio térmico tiene dos fases diferentes caracterizadas por un parámetro de orden $Ψ$ , que se desvanece en $T c$ y por encima de él .

Consideremos por separado las fases de la fase desordenada ( $τ > 0$ ), la fase ordenada ( $τ < 0$ ) y la temperatura crítica ( $τ = 0$ ). Siguiendo la convención estándar, los exponentes críticos relacionados con la fase ordenada se colocan con prima. Otra convención estándar es utilizar el superíndice/subíndice + (−) para el estado desordenado (ordenado). En general, la ruptura espontánea de la simetría ocurre en la fase ordenada.

Las siguientes entradas se evalúan en $J = 0$ (excepto la entrada $δ )$

Los exponentes críticos se pueden derivar de la energía libre específica $f (J, T)$ en función de la fuente y la temperatura. La longitud de correlación se puede derivar de la función $F [J; T]$ . En muchos casos, los exponentes críticos definidos en las fases ordenadas y desordenadas son idénticos.

Cuando la dimensión crítica superior es cuatro, estas relaciones son precisas cerca del punto crítico en sistemas bidimensionales y tridimensionales. Sin embargo, en cuatro dimensiones, las leyes de potencia se modifican mediante factores logarítmicos. Estos no aparecen en dimensiones arbitrariamente cercanas a cuatro, pero no exactamente, lo que puede utilizarse como una forma de evitar este problema . ^[1]

Exponentes críticos del campo medio de sistemas tipo Ising

Los valores de los exponentes críticos de la teoría clásica de Landau (también conocida como teoría del campo medio ) para un campo escalar (del cual el modelo de Ising es el ejemplo prototípico) se dan por

\alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3

Si añadimos términos derivados convirtiéndolo en un campo medio de la teoría de Ginzburg-Landau , obtenemos

\eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}

Uno de los principales descubrimientos en el estudio de los fenómenos críticos es que la teoría del campo medio de los puntos críticos sólo es correcta cuando la dimensión espacial del sistema es superior a una determinada dimensión llamada dimensión crítica superior , que excluye las dimensiones físicas 1, 2 o 3 en la mayoría de los casos. El problema con la teoría del campo medio es que los exponentes críticos no dependen de la dimensión espacial. Esto conduce a una discrepancia cuantitativa por debajo de las dimensiones críticas, donde los verdaderos exponentes críticos difieren de los valores del campo medio. Incluso puede conducir a una discrepancia cualitativa en una dimensión espacial baja, donde de hecho ya no puede existir un punto crítico, aunque la teoría del campo medio todavía predice que existe uno. Este es el caso del modelo de Ising en la dimensión 1, donde no hay transición de fase. La dimensión espacial donde la teoría del campo medio se vuelve cualitativamente incorrecta se llama dimensión crítica inferior.

Valores experimentales

El valor de $α$ medido con mayor precisión es −0,0127(3) para la transición de fase del helio superfluido (la llamada transición lambda ). El valor se midió en un transbordador espacial para minimizar las diferencias de presión en la muestra. ^[2] Este valor está en un desacuerdo significativo con las determinaciones teóricas más precisas ^[3]^[4]^[5] provenientes de las técnicas de expansión a alta temperatura, los métodos de Monte Carlo y el bootstrap conforme . ^[6]

Problema sin resolver en física :

Explique la discrepancia entre las determinaciones experimentales y teóricas del exponente crítico de capacidad térmica

α

para la transición superfluida en helio-4 . ^[6]

(más problemas sin resolver en física)

Predicciones teóricas

Los exponentes críticos se pueden evaluar mediante métodos de Monte Carlo de modelos de red. La precisión de este método de primer principio depende de los recursos computacionales disponibles, que determinan la capacidad de ir al límite de volumen infinito y reducir los errores estadísticos. Otras técnicas se basan en la comprensión teórica de las fluctuaciones críticas. La técnica más ampliamente aplicable es el grupo de renormalización . El bootstrap conforme es una técnica desarrollada más recientemente, que ha logrado una precisión insuperable para los exponentes críticos de Ising .

Funciones de escalado

A la luz de las escalas críticas, podemos reexpresar todas las magnitudes termodinámicas en términos de magnitudes adimensionales. En una situación lo suficientemente cercana al punto crítico, todo puede reexpresarse en términos de ciertas relaciones de las potencias de las magnitudes reducidas. Éstas son las funciones de escala.

El origen de las funciones de escala se puede ver en el grupo de renormalización. El punto crítico es un punto fijo infrarrojo . En un entorno suficientemente pequeño del punto crítico, podemos linealizar la acción del grupo de renormalización. Esto significa básicamente que reescalar el sistema por un factor de $a$ será equivalente a reescalar los operadores y los campos fuente por un factor de $a Δ$ para algún $Δ$ . Por lo tanto, podemos repararmetrizar todas las cantidades en términos de cantidades independientes de la escala reescaladas.

Relaciones de escalamiento

Durante mucho tiempo se creyó que los exponentes críticos eran los mismos por encima y por debajo de la temperatura crítica, p. ej. $α \equiv α'$ o $γ \equiv γ'$ . Ahora se ha demostrado que esto no es necesariamente cierto: cuando una simetría continua se descompone explícitamente en una simetría discreta por anisotropías irrelevantes (en el sentido del grupo de renormalización), entonces los exponentes $γ$ y $γ'$ no son idénticos. ^[7]

Los exponentes críticos se indican con letras griegas. Pertenecen a clases de universalidad y obedecen a las relaciones de escala e hiperescala.

{\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}

Estas ecuaciones implican que sólo hay dos exponentes independientes, por ejemplo, $ν$ y $η$ . Todo esto se desprende de la teoría del grupo de renormalización . ^{[ Aclaración necesaria ]}

Teoría de la percolación

Las transiciones de fase y los exponentes críticos también aparecen en los procesos de percolación donde la concentración de sitios "ocupados" o enlaces de una red son el parámetro de control de la transición de fase (en comparación con la temperatura en las transiciones de fase clásicas en física). Uno de los ejemplos más simples es la percolación de Bernoulli en una red cuadrada bidimensional. Los sitios se ocupan aleatoriamente con probabilidad . Un grupo se define como una colección de sitios ocupados vecinos más cercanos. Para valores pequeños de los sitios ocupados se forman solo pequeños grupos locales. En el umbral de percolación (también llamado probabilidad crítica) se forma un grupo que se extiende a través de sitios opuestos del sistema, y tenemos una transición de fase de segundo orden que se caracteriza por exponentes críticos universales. ^[8]^[9] Para la percolación, la clase de universalidad es diferente de la clase de universalidad de Ising. Por ejemplo, el exponente crítico de longitud de correlación es para la percolación de Bernoulli 2D en comparación con para el modelo de Ising 2D. Para una descripción general más detallada, consulte Exponentes críticos de percolación . ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización p}$ $p_{c}\aproximadamente 0,5927$ $\nu =4/3$ $\nu =1$

Anisotropía

Hay algunos sistemas anisotrópicos donde la longitud de correlación depende de la dirección.

La percolación dirigida también puede considerarse como percolación anisotrópica. En este caso, los exponentes críticos son diferentes y la dimensión crítica superior es 5. ^[10]

Puntos multicríticos

Se pueden producir comportamientos más complejos en puntos multicríticos , en la frontera o en las intersecciones de variedades críticas. Se pueden alcanzar ajustando el valor de dos o más parámetros, como la temperatura y la presión.

Propiedades estáticas versus dinámicas

Los ejemplos anteriores se refieren exclusivamente a las propiedades estáticas de un sistema crítico. Sin embargo, las propiedades dinámicas del sistema también pueden volverse críticas. En particular, el tiempo característico, $τ char$ , de un sistema diverge como $τ char \propto ξ z$ , con un exponente dinámico $z$ . Además, las grandes clases de universalidad estática de modelos equivalentes con exponentes críticos estáticos idénticos se descomponen en clases de universalidad dinámica más pequeñas , si se exige que también los exponentes dinámicos sean idénticos.

Los exponentes críticos de equilibrio se pueden calcular a partir de la teoría de campos conforme .

Véase también dimensión de escala anómala .

Criticidad autoorganizada

También existen exponentes críticos para la criticidad autoorganizada de los sistemas disipativos .

Véase también

Clase de universalidad para los valores numéricos de exponentes críticos
Redes complejas
Gráficos aleatorios
Desigualdad de Rushbrooke
Escalamiento de Widom
Arranque conforme
Exponentes críticos de Ising
Exponentes críticos de percolación
Ciencia de redes
Teoría de la percolación
Teoría de grafos

Enlaces externos y literatura

Hagen Kleinert y Verena Schulte-Frohlinde, Propiedades críticas de las teorías φ4 , World Scientific (Singapur, 2001); Tapa blanda ISBN 981-02-4658-7
Toda, M., Kubo, R., N. Saito, Física estadística I , Springer-Verlag (Berlín, 1983); Tapa dura ISBN 3-540-11460-2
JMYeomans, Mecánica estadística de las transiciones de fase , Oxford Clarendon Press
HE Stanley Introducción a las transiciones de fase y fenómenos críticos , Oxford University Press, 1971
Clases de universalidad de Sklogwiki
Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
Zinn-Justin, J. (2010). "Fenómenos críticos: enfoque teórico de campo" Artículo de Scholarpedia Scholarpedia, 5(5):8346.
D. Poland, S. Rychkov, A. Vichi, "El bootstrap conforme: teoría, técnicas numéricas y aplicaciones", Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
F. Leonard y B. Delamotte Los exponentes críticos pueden ser diferentes en los dos lados de una transición: Un mecanismo genérico , Phys. Rev. Lett. 115, 200601 (2015), https://arxiv.org/abs/1508.07852,

Referencias

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^ Lipa, JA; Nissen, J.; Stricker, D.; Swanson, D.; Chui, T. (2003). "Calor específico del helio líquido en gravedad cero muy cerca del punto lambda". Physical Review B . 68 (17): 174518. arXiv : cond-mat/0310163 . Código Bibliográfico :2003PhRvB..68q4518L. doi :10.1103/PhysRevB.68.174518. S2CID 55646571.
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^ Chester, Shai M.; Landry, Walter; Liu, Junyu; Poland, David; Simmons-Duffin, David; Su, Ning; Vichi, Alessandro (2020). "Extracción del espacio OPE y exponentes críticos precisos del modelo $O(2)$". Journal of High Energy Physics . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Código Bibliográfico :2020JHEP...06..142C. doi :10.1007/JHEP06(2020)142. S2CID 208910721.
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^ Leonard, F.; Delamotte, B. (2015). "Los exponentes críticos pueden ser diferentes en los dos lados de una transición". Phys. Rev. Lett . 115 (20): 200601. arXiv : 1508.07852 . Bibcode :2015PhRvL.115t0601L. doi :10.1103/PhysRevLett.115.200601. PMID 26613426. S2CID 22181730.
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^ Kinzel, W. (1982). Deutscher, G. (ed.). "Percolación dirigida". Percolación y procesos .