teorema de donsker

Declaración en teoría de la probabilidad.

Principio de invariancia de Donsker para paseo aleatorio simple . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En teoría de la probabilidad , el teorema de Donsker (también conocido como principio de invariancia de Donsker , o teorema del límite central funcional ), llamado así en honor a Monroe D. Donsker , es una extensión funcional del teorema del límite central para funciones de distribución empíricas. Específicamente, el teorema establece que una versión apropiadamente centrada y escalada de la función de distribución empírica converge a un proceso gaussiano .

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media 0 y varianza 1. Sea . El proceso estocástico se conoce como paseo aleatorio . Definir el paseo aleatorio reescalado difusivamente (proceso de suma parcial) mediante ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

El teorema del límite central afirma que converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana estándar como . El principio de invariancia de Donsker ^{[1] [2]} extiende esta convergencia a toda la función . Más precisamente, en su forma moderna, el principio de invariancia de Donsker establece que: Como variables aleatorias que toman valores en el espacio de Skorokhod , la función aleatoria converge en distribución a un movimiento browniano estándar como ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$ ${\displaystyle W(1)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$ ${\displaystyle W^{(n)}}$ ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov para distribuciones uniformes.

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov para distribuciones normales

Declaración formal

Sea F _n la función de distribución empírica de la secuencia de variables aleatorias iid con función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F _n por ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

indexado por x  ∈  R . Según el teorema del límite central clásico , para x fija , la variable aleatoria G _n ( x ) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G ( x ) con media cero y varianza F ( x )(1 −  F ( x ) ) a medida que crece el tamaño de la muestra n .

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La secuencia de G _n ( x ), como elementos aleatorios del espacio de Skorokhod , converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dada por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$ ${\displaystyle {F}(t).}$

El proceso G ( x ) se puede escribir como B ( F ( x )) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario.

Historia y resultados relacionados

Kolmogorov (1933) demostró que cuando F es continua , el supremo y el supremo del valor absoluto convergen en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B ( t ), ver la prueba de Kolmogorov-Smirnov . En 1949, Doob preguntó si la convergencia en la distribución se mantenía para funcionales más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio funcional adecuado . ^[3] ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$

En 1952, Donsker estableció y demostró (no del todo correctamente) ^[4] una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en la ley de G _n al puente browniano es válida para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t durante el intervalo [0,1]. ^[2]

Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la mensurabilidad de los funcionales de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d , llamada métrica de Skorokhod , en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], tal que la convergencia de d a una función continua es equivalente a la convergencia de la norma sup, y demostraron que G _n converge legalmente en el puente browniano. ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$

Posteriormente, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la mensurabilidad y la necesidad de la métrica de Skorokhod. Se puede probar ^[4] que existen X _i , iid uniforme en [0,1] y una secuencia de puentes brownianos continuos de muestra B _n , tal que

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }}$

es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós-Major-Tusnády .

Ver también

• Teorema de Glivenko-Cantelli
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Referencias

1. Donsker, médico (1951). "Un principio de invariancia para ciertos teoremas de límite de probabilidad". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense (6). SEÑOR  0040613.
2. Donsker, MD (1952). "Justificación y ampliación del enfoque heurístico de Doob a los teoremas de Kolmogorov-Smirnov". Anales de estadística matemática . 23 (2): 277–281. doi : 10.1214/aoms/1177729445 . SEÑOR  0047288. Zbl  0046.35103.
3. Doob, Joseph L. (1949). "Enfoque heurístico de los teoremas de Kolmogorov-Smirnov". Anales de estadística matemática . 20 (3): 393–403. doi : 10.1214/aoms/1177729991 . Señor  0030732. Zbl  0035.08901.
4. Dudley, RM (1999). Teoremas del límite central uniforme . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46102-3.