Puente browniano

Un proceso en física

Movimiento browniano, fijado en ambos extremos. Esto representa un puente browniano.

Un puente browniano es un proceso gaussiano de tiempo continuo B ( t ) cuya distribución de probabilidad es la distribución de probabilidad condicional de un proceso estándar de Wiener W ( t ) (un modelo matemático del movimiento browniano ) sujeto a la condición (cuando está estandarizado) de que W ( T ) = 0, de modo que el proceso esté fijado al mismo valor tanto en t  = 0 como en t  =  T . Más precisamente:

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

El valor esperado del puente en cualquier t en el intervalo [0, T ] es cero, con varianza , lo que implica que la mayor incertidumbre está en el medio del puente, con incertidumbre cero en los nodos. La covarianza de B ( s ) y B ( t ) es , o s (T −  t )/T si s  <  t . Los incrementos en un puente browniano no son independientes. ${\displaystyle \textstyle {\frac {t(T-t)}{T}}}$ ${\displaystyle \min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}}$

Relación con otros procesos estocásticos

Si es un proceso estándar de Wiener (es decir, para , se distribuye normalmente con valor esperado y varianza , y los incrementos son estacionarios e independientes ), entonces ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle t\geq 0}$ ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle t}$

${\displaystyle B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,}$

es un puente browniano para . Es independiente de ^[1] ${\textstyle t\in [0,T]}$ ${\textstyle W(T)}$

Por el contrario, si es un puente browniano para y es una variable aleatoria normal estándar independiente de , entonces el proceso ${\textstyle B(t)}$ ${\textstyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle Z}$ ${\textstyle B}$

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ\,}$

es un proceso de Wiener para . De manera más general, un proceso de Wiener para se puede descomponer en ${\textstyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.}$

Otra representación del puente browniano basada en el movimiento browniano es, por ejemplo, ${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle B(t)={\frac {T-t}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{T-t}}\right).}$

Por el contrario, para ${\textstyle t\in [0,\infty ]}$

${\displaystyle W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).}$

El puente browniano también puede representarse como una serie de Fourier con coeficientes estocásticos, como

${\displaystyle B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}}$

donde son variables aleatorias normales estándar independientes distribuidas de forma idéntica (véase el teorema de Karhunen-Loève ). ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }$

Un puente browniano es el resultado del teorema de Donsker en el área de procesos empíricos . También se utiliza en la prueba de Kolmogorov-Smirnov en el área de inferencia estadística .

Sea , entonces la función de distribución acumulativa de está dada por ^[2] ${\displaystyle K=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq x)=1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}e^{-2k^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-(2k-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.}$$

Observaciones intuitivas

Un proceso estándar de Wiener satisface W (0) = 0 y, por lo tanto, está "atado" al origen, pero otros puntos no están restringidos. En un proceso de puente browniano, por otro lado, no solo es B (0) = 0, sino que también requerimos que B ( T ) = 0, es decir, el proceso está "atado" en t = T también. Así como un puente literal está sostenido por pilones en ambos extremos, se requiere que un puente browniano satisfaga las condiciones en ambos extremos del intervalo [0, _{T ]} . ( En una ligera generalización, a veces se requiere B ( t1 ) =  a y B ( t2 ) =  b donde t1 , t2 _, a y b son constantes _conocidas ).

Supongamos que hemos generado una serie de puntos W (0), W (1), W (2), W (3), etc. de una trayectoria del proceso de Wiener mediante simulación por ordenador. Ahora se desea rellenar puntos adicionales en el intervalo [0, T ], es decir, interpolar entre los puntos ya generados W (0) y W ( T ). La solución es utilizar un puente browniano que se requiere para pasar por los valores W (0) y W ( T ).

Caso general

Para el caso general cuando W ( t ₁ ) = a y W ( t ₂ ) = b , la distribución de B en el tiempo t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ ) es normal , con media

${\displaystyle a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)}$

y varianza

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},}$

y la covarianza entre B ( s ) y B ( t ), con s  <  t es

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.}$

Referencias

1. Aspectos del movimiento browniano, Springer, 2008, R. Mansuy, M. Yor página 2
2. Marsaglia G, Tsang WW, Wang J (2003). "Evaluación de la distribución de Kolmogorov". Revista de software estadístico . 8 (18): 1–4. doi : 10.18637/jss.v008.i18 .

• Glasserman, Paul (2004). Métodos de Monte Carlo en ingeniería financiera . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.