proceso de salchicha

Proceso estocástico que generaliza el movimiento browniano.

Una única realización de un proceso Wiener unidimensional

Una única realización de un proceso Wiener tridimensional

En matemáticas , el proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo con valor real llamado así en honor al matemático estadounidense Norbert Wiener por sus investigaciones sobre las propiedades matemáticas del movimiento browniano unidimensional. ^[1] A menudo también se le llama movimiento browniano debido a su conexión histórica con el proceso físico del mismo nombre observado originalmente por el botánico escocés Robert Brown . Es uno de los procesos de Lévy más conocidos ( procesos estocásticos de càdlàg con incrementos estacionarios independientes ) y ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas , economía , finanzas cuantitativas , biología evolutiva y física .

El proceso de Wiener juega un papel importante tanto en la matemática pura como en la aplicada. En matemáticas puras, el proceso de Wiener dio lugar al estudio de las martingalas de tiempo continuo . Es un proceso clave en términos del cual se pueden describir procesos estocásticos más complicados. Como tal, juega un papel vital en el cálculo estocástico , los procesos de difusión e incluso la teoría del potencial . Es el proceso impulsor de la evolución de Schramm-Loewner . En matemáticas aplicadas , el proceso de Wiener se utiliza para representar la integral de un proceso gaussiano de ruido blanco , por lo que es útil como modelo de ruido en ingeniería electrónica (ver ruido browniano ), errores de instrumentos en la teoría de filtrado y perturbaciones en la teoría de control .

El proceso de Wiener tiene aplicaciones en todas las ciencias matemáticas. En física se utiliza para estudiar el movimiento browniano , la difusión de partículas diminutas suspendidas en un fluido y otros tipos de difusión mediante las ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . También forma la base para la rigurosa formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica (mediante la fórmula de Feynman-Kac , se puede representar una solución a la ecuación de Schrödinger en términos del proceso de Wiener) y el estudio de la inflación eterna en cosmología física . También es prominente en la teoría matemática de las finanzas , en particular en el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes .

Caracterizaciones del proceso Wiener

El proceso Wiener se caracteriza por las siguientes propiedades: ^[2] ${\displaystyle W_{t}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ casi seguramente
2. ${\displaystyle W}$tiene incrementos independientes : para cada uno , los incrementos futuros son independientes de los valores pasados , ${\displaystyle t>0,}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t},}$ ${\displaystyle u\geq 0,}$ ${\displaystyle W_{s}}$ ${\displaystyle s<t.}$
3. ${\displaystyle W}$tiene incrementos gaussianos: se distribuye normalmente con media y varianza , ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).}$
4. ${\displaystyle W}$tiene caminos casi seguramente continuos: es casi seguro que es continuo en . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Que el proceso tenga incrementos independientes significa que si 0 ≤ s ₁ < t ₁ ≤ s ₂ < t ₂ entonces W _{t 1} − W _{s 1} y W _{t 2} − W _{s 2} son variables aleatorias independientes, y la condición similar se cumple para n incrementos.

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es casi seguramente una martingala continua con W ₀ = 0 y variación cuadrática [ W _t , W _t ] = t (lo que significa que W _t ² − t también es una martingala).

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie de senos cuyos coeficientes son N (0, 1) variables aleatorias independientes. Esta representación se puede obtener utilizando el teorema de Karhunen-Loève .

Otra caracterización de un proceso de Wiener es la integral definida (desde el tiempo cero hasta el tiempo t ) de un proceso gaussiano de media cero, varianza unitaria y correlación delta ("blanco") . ^[3]

El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de un paseo aleatorio u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos estacionarios independientes. Esto se conoce como teorema de Donsker . Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier vecindad fija del origen con una frecuencia infinita), mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores (donde un proceso de Wiener multidimensional es un proceso tal que sus coordenadas sean procesos de Wiener independientes). ^[4] A diferencia del paseo aleatorio, es invariante de escala , lo que significa que

$${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$$

αmedida de Wienerley de probabilidadfunciones continuas gg (0) = 0integralintegral de Wiener

El proceso de Wiener como límite del paseo aleatorio.

Sean variables aleatorias iid con media 0 y varianza 1. Para cada n , defina un proceso estocástico de tiempo continuo ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$

$${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}$$

nEl teorema de Donsker^[5] ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$ ${\displaystyle N(0,t-s)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle W_{n}}$

Propiedades de un proceso de Wiener unidimensional

Cinco procesos muestreados, con la desviación estándar esperada en gris.

Propiedades básicas

La función de densidad de probabilidad incondicional sigue una distribución normal con media = 0 y varianza = t , en un tiempo fijo t :

$${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

La expectativa es cero:

$${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

La varianza , usando la fórmula computacional, es t :

$${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

Estos resultados se derivan inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal , centrada en cero. De este modo

$${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$

Covarianza y correlación

La covarianza y la correlación (donde ): ${\displaystyle s\leq t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

Estos resultados se derivan de la definición de que los incrementos que no se superponen son independientes, de los cuales sólo se utiliza la propiedad de que no están correlacionados. Suponer que . ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

Sustituyendo

$${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

Dado que y son independientes, ${\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

De este modo

$${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t ₁ < t ₂ :

$${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$

Z

Representación de Viena

Wiener (1923) también dio una representación de una trayectoria browniana en términos de una serie aleatoria de Fourier . Si son variables gaussianas independientes con media cero y varianza uno, entonces ${\displaystyle \xi _{n}}$

$${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$$

$${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$

${\displaystyle [0,1]}$

$${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$

teorema de Karhunen-Loève ${\displaystyle [0,c]}$

Máximo corriendo

La distribución conjunta del máximo en carrera.

$${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$

W _t

$${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

Para obtener la distribución incondicional de , integre sobre −∞ < w ≤ m : ${\displaystyle f_{M_{t}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

la función de densidad de probabilidad de una distribución seminormal . La expectativa ^[6] es

$${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

Si en algún momento el proceso de Wiener tiene un valor conocido , es posible calcular la distribución de probabilidad condicional del máximo en el intervalo (cf. Distribución de probabilidad de puntos extremos de un proceso estocástico de Wiener ). La función de distribución de probabilidad acumulada del valor máximo, condicionada por el valor conocido , es: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle W_{t}}$

$${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

autosimilitud

Una demostración de la escala browniana, que muestra la disminución de c . Tenga en cuenta que las características promedio de la función no cambian al hacer zoom y tenga en cuenta que el zoom se acerca cuadráticamente más rápido en sentido horizontal que vertical. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

escala browniana

Para cada c > 0 el proceso es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Inversión del tiempo

El proceso para 0 ≤ t ≤ 1 se distribuye como W _t para 0 ≤ t ≤ 1 . ${\displaystyle V_{t}=W_{1}-W_{1-t}}$

inversión de tiempo

El proceso es otro proceso Wiener. ${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$

Invariancia proyectiva

Considere un proceso de Wiener , condicionado de modo que (que se cumple casi con seguridad) y como de costumbre . Entonces los siguientes son todos los procesos de Wiener (Takenaka 1988): ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }tW(t)=0}$ ${\displaystyle W(0)=0}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{1,s}(t)&=&W(t+s)-W(s),\quad s\in \mathbb {R} \\W_{2,\sigma }(t)&=&\sigma ^{-1/2}W(\sigma t),\quad \sigma >0\\W_{3}(t)&=&tW(-1/t).\end{array}}}$$

PSL(2,R)acción grupal ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle W_{g}(t)=(ct+d)W\left({\frac {at+b}{ct+d}}\right)-ctW\left({\frac {a}{c}}\right)-dW\left({\frac {b}{d}}\right),}$ ${\displaystyle (W_{g})_{h}=W_{gh}.}$

Invariancia conforme en dos dimensiones.

Sea un proceso de Wiener bidimensional, considerado como un proceso de valores complejos con . Sea un conjunto abierto que contenga 0 y esté asociado al tiempo de Markov: ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle W(0)=0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{D}}$

$${\displaystyle \tau _{D}=\inf\{t\geq 0|W(t)\not \in D\}.}$$

función holomorfa ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(W_{t})}$ ${\displaystyle f(D)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S(t)}$

$${\displaystyle Y(t)=f(W(\sigma (t)))}$$

$${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{t}|f'(W(s))|^{2}\,ds}$$

$${\displaystyle \sigma (t)=S^{-1}(t):\quad t=\int _{0}^{\sigma (t)}|f'(W(s))|^{2}\,ds.}$$

Una clase de martingalas brownianas

Si un polinomio p ( x , t ) satisface la ecuación diferencial parcial

$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$

$${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$

martingala

Ejemplo: es una martingala, que muestra que la variación cuadrática de W en [0, t ] es igual a t . De ello se deduce que el tiempo esperado de la primera salida de W de (− c , c ) es igual a c ² . ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

De manera más general, para cada polinomio p ( x , t ) el siguiente proceso estocástico es una martingala:

$${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$

a

$${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

Ejemplo: el proceso ${\displaystyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$

$${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$

t ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

$${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

Sobre funciones p ( xa , t ) más generales que los polinomios, véase martingalas locales .

Algunas propiedades de las rutas de muestra

El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de medida Wiener completa. Es decir, una ruta (función de muestra) del proceso de Wiener tiene casi con seguridad todas estas propiedades.

Propiedades cualitativas

• Para cada ε > 0, la función w toma valores (estrictamente) positivos y (estrictamente) negativos en (0, ε).
• La función w es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna parte (como la función de Weierstrass ).
• Para cualquiera , es casi seguro que no es -Hölder continuo , y casi seguramente -Hölder continuo. ^[7] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}+\epsilon )}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}-\epsilon )}$
• Los puntos de máximo local de la función w son un conjunto denso contable; los valores máximos son diferentes por pares; cada máximo local es agudo en el siguiente sentido: si w tiene un máximo local en t entonces
  $${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$$
  Lo mismo se aplica a los mínimos locales.
• La función w no tiene puntos de incremento local, es decir, ningún t > 0 satisface lo siguiente para algunos ε en (0, t ): primero, w ( s ) ≤ w ( t ) para todos los s en ( t − ε, t ), y segundo, w ( s ) ≥ w ( t ) para todos los s en ( t , t + ε). (El aumento local es una condición más débil que el hecho de que w aumente en ( t − ε , t + ε ).) Lo mismo se aplica a la disminución local.
• La función w tiene una variación ilimitada en cada intervalo.
• La variación cuadrática de w sobre [0, t ] es t .
• Los ceros de la función w son un conjunto perfecto nada denso de medida de Lebesgue 0 y dimensión de Hausdorff 1/2 (por lo tanto, incontables).

Propiedades cuantitativas

Ley del logaritmo iterado

$${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}$$

Módulo de continuidad

Módulo de continuidad local:

$${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Módulo global de continuidad (Lévy):

$${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Teorema de duplicación de dimensiones

Los teoremas de duplicación de dimensiones dicen que la dimensión de Hausdorff de un conjunto bajo un movimiento browniano se duplica casi con seguridad.

Hora local

La imagen de la medida de Lebesgue en [0, t ] debajo del mapa w (la medida de avance ) tiene una densidad L _t . De este modo,

$${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$$

fL _tL _txhora localxwtxababwtxxttxfunción singularno atómicaw

Estas propiedades de continuidad no son triviales. Considere que la hora local también se puede definir (como la densidad de la medida de avance) para una función suave. Entonces, sin embargo, la densidad es discontinua, a menos que la función dada sea monótona. En otras palabras, existe un conflicto entre el buen comportamiento de una función y el buen comportamiento de su hora local. En este sentido, la continuidad de la hora local del proceso de Wiener es otra manifestación de la falta de suavidad de la trayectoria.

Tarifa de información

La tasa de información del proceso de Wiener con respecto a la distancia de error al cuadrado, es decir, su función cuadrática de distorsión de velocidad , viene dada por ^[8]

$${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}$$

código binariobitscódigo binarioerror cuadrático medio ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle TR(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2^{TR(D)}}$ ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle D-\varepsilon }$

En muchos casos, es imposible codificar el proceso Wiener sin probarlo primero. Cuando se muestrea el proceso de Wiener a intervalos antes de aplicar un código binario para representar estas muestras, el equilibrio óptimo entre la tasa de código y el error cuadrático medio esperado (al estimar el proceso de Wiener en tiempo continuo) sigue la representación paramétrica ^[9]. ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle R(T_{s},D)}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$

$${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$

${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$ ${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$ ${\displaystyle T_{s}/6}$

Procesos relacionados

Procesamiento Wiener con deriva ( azul ) y sin deriva ( rojo ).

Procesamiento Wiener 2D con deriva ( azul ) y sin deriva ( rojo ).

El generador de un movimiento browniano es 1 ⁄ 2 veces el operador de Laplace-Beltrami . La imagen de arriba es del movimiento browniano en una variedad especial: la superficie de una esfera.

El proceso estocástico definido por

$${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$$

proceso de Wiener con deriva μ²los procesos continuos de Lévy

Dos procesos aleatorios en el intervalo de tiempo [0, 1] aparecen, en términos generales, al condicionar el proceso de Wiener para que desaparezca en ambos extremos de [0,1]. Sin más condicionamientos, el proceso toma valores tanto positivos como negativos en [0, 1] y se llama puente browniano . Condicionado también a permanecer positivo en (0, 1), el proceso se denomina excursión browniana . ^[10] En ambos casos un tratamiento riguroso implica un procedimiento limitante, ya que la fórmula P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B ) no se aplica cuando P ( B ) = 0.

Se puede escribir un movimiento browniano geométrico.

$${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$$

Es un proceso estocástico que se utiliza para modelar procesos que nunca pueden tomar valores negativos, como el valor de las acciones.

El proceso estocástico

$${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$$

proceso de Ornstein-Uhlenbeck ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$

El tiempo de alcanzar un único punto x > 0 mediante el proceso de Wiener es una variable aleatoria con la distribución de Lévy . La familia de estas variables aleatorias (indexadas por todos los números positivos x ) es una modificación continua por la izquierda de un proceso de Lévy . La modificación continua hacia la derecha de este proceso está dada por los tiempos de la primera salida de intervalos cerrados [0, x ].

El tiempo local L = ( L ^x _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} de un movimiento browniano describe el tiempo que pasa el proceso en el punto x . Formalmente

$${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$$

δfunción delta de Diraclos teoremas de Ray-Knight

martingalas brownianas

Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X _t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0 , t ] (más formalmente: la medida de Wiener del conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t ] pertenece a A ). Entonces el proceso X _t es una martingala continua. Su propiedad martingala se desprende inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial: un caso especial de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso Wiener.

Movimiento browniano integrado

La integral de tiempo del proceso de Wiener.

$${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$

movimiento browniano integradoproceso de Wiener integradoNt ^3/3[11][12] ${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$

Para el caso general del proceso definido por

$${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$

${\displaystyle a>0}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$

$${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$

${\displaystyle V_{f}(t)}$ ${\displaystyle V_{f}(t+a)}$ ${\displaystyle V_{f}(t)}$

$${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$

Z

$${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$

$${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$

isometría de Itônfórmula de Cauchy para la integración repetida ${\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$ ${\displaystyle f(t)=t}$ ${\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$

Cambio de tiempo

Cada martingala continua (comenzando en el origen) es un proceso de Wiener con cambio de tiempo.

Ejemplo: 2 W _t = V (4 t ) donde V es otro proceso de Wiener (diferente de W pero distribuido como W ).

Ejemplo. donde y V es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$ ${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

En general, si M es una martingala continua, entonces donde A ( t ) es la variación cuadrática de M en [0, t ] y V es un proceso de Wiener. ${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$

Corolario. (Véase también los teoremas de convergencia de la martingala de Doob ) Sea M _t una martingala continua y

$${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$

$${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

Entonces sólo son posibles los dos casos siguientes:

$${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$

$${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$$

${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$ ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$

Especialmente, una martingala continua no negativa tiene un límite finito (ya que t → ∞) casi con seguridad.

Todo lo indicado (en esta subsección) para las martingalas se aplica también a las martingalas locales .

Cambio de medida

Una amplia clase de semimartingalas continuas (especialmente, de procesos de difusión ) se relacionan con el proceso de Wiener mediante una combinación de cambio de tiempo y cambio de medida .

Utilizando este hecho, las propiedades cualitativas indicadas anteriormente para el proceso de Wiener pueden generalizarse a una amplia clase de semimartingalas continuas. ^{[13] [14]}

Proceso Wiener de valor complejo

El proceso de Wiener de valores complejos puede definirse como un proceso aleatorio de valores complejos de la forma donde y son procesos de Wiener independientes (de valor real). ^[15] ${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

autosimilitud

Escala browniana, inversión del tiempo, inversión del tiempo: lo mismo que en el caso del valor real.

Invariancia de rotación: para cada número complejo tal que el proceso sea otro proceso de Wiener de valor complejo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|=1}$ ${\displaystyle c\cdot Z_{t}}$

Cambio de tiempo

Si es una función completa , entonces el proceso es un proceso Wiener de valor complejo con cambio de tiempo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$

Ejemplo: donde ${\displaystyle Z_{t}^{2}=\left(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2}\right)+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$

$${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$$

${\displaystyle U}$

A diferencia del caso de valor real, una martingala de valor complejo generalmente no es un proceso de Wiener de valor complejo con cambio de tiempo. Por ejemplo, la martingala no lo es (aquí y son procesos de Wiener independientes, como antes). ${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

hoja browniana

La hoja browniana es una generalización multiparamática. La definición varía según los autores, algunos definen la hoja browniana para que tenga un parámetro de tiempo específicamente bidimensional, mientras que otros la definen para dimensiones generales. ${\displaystyle t}$

Ver también

Notas

1. Obras completas de N.Wiener vol.1
2. Durrett, Rick (2019). "Movimiento browniano". Probabilidad: teoría y ejemplos (5ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781108591034.
3. Huang, acero T.; Cambanis, Stamatis (1978). "Integrales de Wiener estocásticas y múltiples para procesos gaussianos". Los anales de la probabilidad . 6 (4): 585–614. doi : 10.1214/aop/1176995480 . ISSN  0091-1798. JSTOR  2243125.
4. "Constantes de caminata aleatoria de Pólya". Wolfram MathWorld .
5. Steven Lalley, Finanzas matemáticas 345 Conferencia 5: Movimiento browniano (2001)
6. Shreve, Steven E. (2008). Cálculo estocástico para finanzas II: modelos de tiempo continuo . Saltador. pag. 114.ISBN _ 978-0-387-40101-0.
7. Mörters, Peter; Peres, Yuval; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2010). Movimiento browniano . Serie de Cambridge en matemáticas estadísticas y probabilísticas. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 18.ISBN _ 978-0-521-76018-8.
8. T. Berger, "Tasas de información de los procesos de Wiener", en IEEE Transactions on Information Theory, vol. 16, núm. 2, págs. 134-139, marzo de 1970. doi: 10.1109/TIT.1970.1054423
9. Kipnis, A., Goldsmith, AJ y Eldar, YC, 2019. La función de tasa de distorsión de los procesos Wiener muestreados. Transacciones IEEE sobre teoría de la información, 65 (1), páginas 482-499.
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Referencias

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• Rígido, Henry; Bosques, John (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3ª ed.). Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Martingalas continuas y movimiento browniano (Segunda ed.). Springer-Verlag.
• Takenaka, Shigeo (1988), "Sobre la invariancia proyectiva del movimiento browniano", Proc Japan Acad , 64 : 41–44.

enlaces externos

• Movimiento browniano para el niño en edad escolar
• Movimiento browniano, "diverso y ondulado"
• Analiza la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con videos.
• "La predicción de Einstein finalmente se hizo realidad un siglo después": una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
• "Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas".