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Teorema de Donsker

Principio de invariancia de Donsker para una caminata aleatoria simple en .

En teoría de la probabilidad , el teorema de Donsker (también conocido como principio de invariancia de Donsker o teorema del límite central funcional ), llamado así por Monroe D. Donsker , es una extensión funcional del teorema del límite central para funciones de distribución empírica. Específicamente, el teorema establece que una versión apropiadamente centrada y escalada de la función de distribución empírica converge a un proceso gaussiano .

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media 0 y varianza 1. Sea . El proceso estocástico se conoce como paseo aleatorio . Defina el paseo aleatorio reescalado de forma difusa (proceso de suma parcial) mediante

El teorema del límite central afirma que converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana estándar como . El principio de invariancia de Donsker [1] [2] extiende esta convergencia a toda la función . Más precisamente, en su forma moderna, el principio de invariancia de Donsker establece que: Como variables aleatorias que toman valores en el espacio de Skorokhod , la función aleatoria converge en distribución a un movimiento browniano estándar como

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov para distribuciones uniformes.
Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov para distribuciones normales

Declaración formal

Sea F n la función de distribución empírica de la secuencia de variables aleatorias iid con función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F n mediante

indexado por x  ∈  R . Por el teorema clásico del límite central , para x fijo , la variable aleatoria G n ( x ) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G ( x ) con media cero y varianza F ( x )(1 −  F ( x )) a medida que el tamaño de la muestra n crece.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La secuencia de G n ( x ), como elementos aleatorios del espacio de Skorokhod , converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dada por

El proceso G ( x ) se puede escribir como B ( F ( x )) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario.

Boceto de prueba

Para distribuciones de probabilidad continuas, se reduce al caso en que la distribución es uniforme mediante la transformada inversa .

Dada cualquier secuencia finita de tiempos , tenemos que se distribuye como una distribución binomial con media y varianza .

De manera similar, la distribución conjunta de es una distribución multinomial. Ahora bien, la aproximación del límite central para distribuciones multinomiales muestra que converge en la distribución a un proceso gaussiano con matriz de covarianza con entradas , que es precisamente la matriz de covarianza para el puente browniano.

Historial y resultados relacionados

Kolmogorov (1933) demostró que cuando F es continua , el supremo y el supremo del valor absoluto convergen en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B ( t ), véase la prueba de Kolmogorov-Smirnov . En 1949, Doob preguntó si la convergencia en distribución se mantenía para funcionales más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio de funciones adecuado . [3]

En 1952, Donsker formuló y demostró (no del todo correctamente) [4] una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en la ley de G n al puente browniano se cumple para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t sobre el intervalo [0,1]. [2]

Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la mensurabilidad de los funcionales de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d , llamada métrica de Skorokhod , en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], de modo que la convergencia para d a una función continua es equivalente a la convergencia para la norma sup , y demostraron que G n converge en la ley en el puente browniano.

Más tarde, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la mensurabilidad y la necesidad de la métrica de Skorokhod. Se puede demostrar [4] que existen X i , iid uniformes en [0,1] y una secuencia de puentes brownianos muestrales continuos B n , tales que

es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós–Major–Tusnády .

Véase también

Referencias

  1. ^ Donsker, MD (1951). "Un principio de invariancia para ciertos teoremas de límite de probabilidad". Memorias de la American Mathematical Society (6). MR  0040613.
  2. ^ ab Donsker, MD (1952). "Justificación y extensión del enfoque heurístico de Doob a los teoremas de Kolmogorov-Smirnov". Anales de estadística matemática . 23 (2): 277–281. doi : 10.1214/aoms/1177729445 . MR  0047288. Zbl  0046.35103.
  3. ^ Doob, Joseph L. (1949). "Enfoque heurístico de los teoremas de Kolmogorov-Smirnov". Anales de estadística matemática . 20 (3): 393–403. doi : 10.1214/aoms/1177729991 . MR  0030732. Zbl  0035.08901.
  4. ^ ab Dudley, RM (1999). Teoremas del límite central uniforme . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46102-3.