Distribución binomial

Distribución de probabilidad

Distribución binomial para n y k como en el triángulo de Pascal. La probabilidad de que una bola en una caja de Galton con 8 capas ( n  = 8) termine en el contenedor central ( k  = 4) es . ${\displaystyle p=0.5}$


${\displaystyle 70/256}$

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución binomial con parámetros n y p es la distribución de probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes , cada uno de los cuales plantea una pregunta de sí o no , y cada uno con su propio resultado con valor booleano : éxito (con probabilidad p ) o fracaso (con probabilidad ). Un único experimento de éxito/fracaso también se denomina ensayo de Bernoulli o experimento de Bernoulli, y una secuencia de resultados se denomina proceso de Bernoulli ; para un solo ensayo, es decir, n  = 1, la distribución binomial es una distribución de Bernoulli . La distribución binomial es la base de la popular prueba binomial de significancia estadística . ^[1] ${\displaystyle q=1-p}$

La distribución binomial se utiliza frecuentemente para modelar el número de éxitos en una muestra de tamaño n extraída con reemplazo de una población de tamaño N. Si el muestreo se realiza sin reemplazo, los sorteos no son independientes y por lo tanto la distribución resultante es una distribución hipergeométrica , no binomial. Sin embargo, para N mucho mayor que n , la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación y se utiliza ampliamente.

Definiciones

Función de probabilidad

En general, si la variable aleatoria X sigue la distribución binomial con parámetros n ∈ y p ∈ [0,1], escribimos X  ~ B( n ,  p ). La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli (con la misma tasa p ) viene dada por la función de masa de probabilidad : ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

para k  = 0, 1, 2, ...,  n , donde

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

es el coeficiente binomial , de ahí el nombre de la distribución. La fórmula se puede entender de la siguiente manera: k éxitos ocurren con probabilidad p ^k y n  −  k fracasos ocurren con probabilidad . Sin embargo, los k éxitos pueden ocurrir en cualquier lugar entre las n pruebas, y existen diferentes formas de distribuir k éxitos en una secuencia de n pruebas. ${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Al crear tablas de referencia para la probabilidad de distribución binomial, normalmente la tabla se completa con hasta n /2 valores. Esto se debe a que para k  >  n /2, la probabilidad se puede calcular por su complemento como

${\displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$

Mirando la expresión f ( k ,  n ,  p ) como función de k , hay un valor de k que la maximiza. Este valor k se puede encontrar calculando

${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$

y comparándolo con 1. Siempre hay un número entero M que satisface ^[2]

${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$

f ( k ,  n ,  p ) es monótona creciente para k  <  M y monótona decreciente para k  >  M , con la excepción del caso en el que ( n  + 1) p es un número entero. En este caso, hay dos valores para los cuales f es máxima: ( n  + 1) p y ( n  + 1) p  − 1. M es el resultado más probable (es decir, el más probable, aunque todavía puede ser improbable). en general) de las pruebas de Bernoulli y se llama modo .

De manera equivalente, . Tomando la función suelo , obtenemos . ^{[nota 1]} ${\displaystyle M-p<np\leq M+1-p}$ ${\displaystyle M=floor(np)}$

Ejemplo

Supongamos que una moneda sesgada sale cara con una probabilidad de 0,3 al lanzarla. La probabilidad de ver exactamente 4 caras en 6 lanzamientos es

${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa se puede expresar como:

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$

¿Dónde está el "piso" debajo de k , es decir, el mayor número entero menor o igual que k ? ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$

También se puede representar en términos de la función beta incompleta regularizada , de la siguiente manera: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}}$

que es equivalente a la función de distribución acumulativa de la distribución F : ^[4]

${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$

A continuación se dan algunos límites de forma cerrada para la función de distribución acumulativa.

Propiedades

Valor esperado y varianza

Si X ~ B ( n , p ), es decir, X es una variable aleatoria distribuida binomialmente, siendo n el número total de experimentos y p la probabilidad de que cada experimento produzca un resultado exitoso, entonces el valor esperado de X es: ^{[5 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$

Esto se desprende de la linealidad del valor esperado junto con el hecho de que X es la suma de n variables aleatorias de Bernoulli idénticas, cada una con un valor esperado p . En otras palabras, si son variables aleatorias de Bernoulli idénticas (e independientes) con parámetro p , entonces y ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}+\cdots +X_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$

La varianza es:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}$

Esto también se deriva del hecho de que la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de las varianzas.

Momentos más altos

Los primeros 6 momentos centrales , definidos como , están dados por ${\displaystyle \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np(1-p),\\\mu _{3}&=np(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\\mu _{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\\mu _{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).\end{aligned}}}$

Los momentos no centrales satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}}$

y en general ^{[6] [7]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},}$

¿Dónde están los números de Stirling de segunda especie y es la potencia decreciente de ? Sigue una cota simple ^[8] que limita los momentos binomiales mediante los momentos de Poisson superiores : ${\displaystyle \textstyle \left\{{c \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]\leq \left({\frac {c}{\log(c/(np)+1)}}\right)^{c}\leq (np)^{c}\exp \left({\frac {c^{2}}{2np}}\right).}$

Esto muestra que si , entonces es como máximo un factor constante alejado de ${\displaystyle c=O({\sqrt {np}})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]^{c}}$

Modo

Generalmente la moda de una distribución binomial B ( n ,  p ) es igual a , donde es la función suelo . Sin embargo, cuando ( n  + 1) p es un número entero y p no es ni 0 ni 1, entonces la distribución tiene dos modas: ( n  + 1) p y ( n  + 1) p  − 1. Cuando p es igual a 0 o 1, el modo será 0 yn correspondientemente . Estos casos se pueden resumir de la siguiente manera: ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$

${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$

Prueba: deja

${\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$

For solo tiene un valor distinto de cero con . Para encontramos y para . Esto prueba que la moda es 0 para y para . ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle f(n)=1}$ ${\displaystyle f(k)=0}$ ${\displaystyle k\neq n}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=1}$

Dejar . Encontramos ${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$.

De esto se sigue

${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}$

Entonces, cuando es un número entero, entonces y es una moda. En el caso de que , entonces solo es un modo. ^[9] ${\displaystyle (n+1)p-1}$ ${\displaystyle (n+1)p-1}$ ${\displaystyle (n+1)p}$ ${\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor }$

Mediana

En general, no existe una fórmula única para encontrar la mediana de una distribución binomial e incluso puede que no sea única. Sin embargo, se han establecido varios resultados especiales:

• Si es un número entero, entonces la media, la mediana y la moda coinciden e son iguales . ^{[10] [11]} ${\displaystyle np}$ ${\displaystyle np}$
• Cualquier mediana m debe estar dentro del intervalo . ^[12] ${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$
• Una mediana m no puede estar demasiado alejada de la media: . ^[13] ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{{\ln 2},\max\{p,1-p\}\}}$
• La mediana es única e igual a m  =  redondo ( np ) cuando (excepto en el caso en que yn es impar). ^[12] ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{p,1-p\}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$
• Cuando p es un número racional (con la excepción de y n impar), la mediana es única. ^[14] ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$
• Cuando yn es impar, cualquier número m en el intervalo es una mediana de la distribución binomial. Si yn es par , entonces es la mediana única. ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\bigl (}n-1{\bigr )}\leq m\leq {\frac {1}{2}}{\bigl (}n+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle m={\frac {n}{2}}}$

límites de cola

Para k ≤ np , se pueden derivar límites superiores para la cola inferior de la función de distribución acumulativa , la probabilidad de que haya como máximo k éxitos. Desde entonces , estos límites también pueden verse como límites para la cola superior de la función de distribución acumulativa para k ≥ np . ${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$ ${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$

La desigualdad de Hoeffding produce la cota simple

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$

que sin embargo no es muy ajustado. En particular, para p = 1, tenemos que F ( k ; n , p ) = 0 (para k , n fijo con k  <  n ), pero el límite de Hoeffding se evalúa como una constante positiva.

Se puede obtener un límite más nítido a partir del límite de Chernoff : ^[15]

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right)}$

donde D ( a || p ) es la entropía relativa (o divergencia Kullback-Leibler) entre una moneda a y una moneda p (es decir, entre la distribución de Bernoulli( a ) y Bernoulli( p )):

${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\log {\frac {a}{p}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$

Asintóticamente, este límite es razonablemente estrecho; ver ^[15] para más detalles.

También se pueden obtener límites inferiores en la cola , conocidos como límites anticoncentración. Aproximando el coeficiente binomial con la fórmula de Stirling se puede demostrar que ^[16] ${\displaystyle F(k;n,p)}$

${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right),}$

lo que implica el límite más simple pero más flexible

${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$

Para p = 1/2 y k ≥ 3 n /8 para n par , es posible hacer constante el denominador: ^[17]

${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

Cuando se conoce n , el parámetro p se puede estimar utilizando la proporción de éxitos:

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$

Este estimador se encuentra utilizando el estimador de máxima verosimilitud y también el método de los momentos . Este estimador es insesgado y uniforme con varianza mínima , demostrado mediante el teorema de Lehmann-Scheffé , ya que se basa en un estadístico mínimo suficiente y completo (es decir: x ). También es consistente tanto en probabilidad como en MSE .

También existe un estimador de Bayes de forma cerrada para p cuando se utiliza la distribución Beta como distribución previa conjugada . Cuando se utiliza un general como a priori, el estimador de la media posterior es: ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.}$

El estimador de Bayes es asintóticamente eficiente y a medida que el tamaño de la muestra se acerca al infinito ( n → ∞), se acerca a la solución MLE . ^[18] El estimador de Bayes está sesgado (cuánto depende de los antecedentes), es admisible y consistente en probabilidad.

Para el caso especial de utilizar la distribución uniforme estándar como a priori no informativo , el estimador de la media posterior se convierte en: ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha =1,\beta =1)=U(0,1)}$

${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.}$

(Un modo posterior debería conducir simplemente al estimador estándar). Este método se llama regla de sucesión , que fue introducido en el siglo XVIII por Pierre-Simon Laplace .

Cuando se estima p con eventos muy raros y una n pequeña (por ejemplo: si x=0), el uso del estimador estándar conduce a lo que a veces es poco realista e indeseable. En tales casos existen varios estimadores alternativos. ^[19] Una forma es utilizar el estimador de Bayes, lo que lleva a: ${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$

${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.}$

Otro método consiste en utilizar el límite superior del intervalo de confianza obtenido mediante la regla de tres :

${\displaystyle {\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.}$

Intervalos de confianza

Incluso para valores bastante grandes de n , la distribución real de la media es significativamente anormal. ^[20] Debido a este problema se han propuesto varios métodos para estimar intervalos de confianza.

En las ecuaciones para intervalos de confianza siguientes, las variables tienen el siguiente significado:

• n ₁ es el número de éxitos de n , el número total de intentos
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$es la proporción de éxitos
• ${\displaystyle z}$es el cuantil de una distribución normal estándar (es decir, probit ) correspondiente a la tasa de error objetivo . Por ejemplo, para un nivel de confianza del 95% el error  = 0,05, entonces  = 0,975 y  = 1,96. ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle z}$

método Wald

${\displaystyle {\widehat {p\,}}\pm z{\sqrt {\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}}.}$

Puede añadirse una corrección de continuidad de 0,5/ n . ^{[ se necesita aclaración ]}

Método Agresti-Coull

^[21]

${\displaystyle {\tilde {p}}\pm z{\sqrt {\frac {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})}{n+z^{2}}}}}$

Aquí la estimación de p se modifica a

${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {n_{1}+{\frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}}$

Este método funciona bien para y . ^[22] Ver aquí para . ^[23] Para utilizar el método Wilson (puntuación) a continuación. ${\displaystyle n>10}$ ${\displaystyle n_{1}\neq 0,n}$ ${\displaystyle n\leq 10}$ ${\displaystyle n_{1}=0,n}$

método arcoseno

^[24]

${\displaystyle \sin ^{2}\left(\arcsin \left({\sqrt {\widehat {p\,}}}\right)\pm {\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right).}$

Método Wilson (puntuación)

La notación en la siguiente fórmula difiere de las fórmulas anteriores en dos aspectos: ^[25]

• En primer lugar, z _x tiene una interpretación ligeramente diferente en la siguiente fórmula: tiene su significado habitual de 'el x -ésimo cuantil de la distribución normal estándar', en lugar de ser una abreviatura de 'el (1 −  x )-ésimo cuantil'.
• En segundo lugar, esta fórmula no utiliza un más-menos para definir los dos límites. En cambio, se puede usar para obtener el límite inferior o para obtener el límite superior. Por ejemplo: para un nivel de confianza del 95%, el error  = 0,05, por lo que se obtiene el límite inferior utilizando , y el límite superior utilizando . ${\displaystyle z=z_{\alpha /2}}$ ${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z=z_{\alpha /2}=z_{0.025}=-1.96}$ ${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.96}$

${\displaystyle {\frac {{\widehat {p\,}}+{\frac {z^{2}}{2n}}+z{\sqrt {{\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}+{\frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\frac {z^{2}}{n}}}}}$^[26]

Comparación

El método denominado "exacto" ( Clopper-Pearson ) es el más conservador. ^[20] ( Exacto no significa perfectamente exacto; más bien, indica que las estimaciones no serán menos conservadoras que el valor real).

El método Wald, aunque comúnmente recomendado en los libros de texto, es el más sesgado. ^{[ se necesita aclaración ]}

Distribuciones relacionadas

Sumas de binomios

Si X  ~ B( n ,  p ) e Y  ~ B( m ,  p ) son variables binomiales independientes con la misma probabilidad p , entonces X  +  Y es nuevamente una variable binomial; su distribución es Z=X+Y  ~ B( n+m ,  p ): ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$

Una variable aleatoria distribuida binomial X  ~ B( n ,  p ) puede considerarse como la suma de n variables aleatorias distribuidas por Bernoulli. Entonces, la suma de dos variables aleatorias distribuidas binomialmente X  ~ B( n ,  p ) e Y  ~ B( m ,  p ) es equivalente a la suma de n  +  m variables aleatorias distribuidas de Bernoulli, lo que significa Z=X+Y  ~ B( n+m ,  p ). Esto también se puede demostrar directamente mediante la regla de la suma.

Sin embargo, si X e Y no tienen la misma probabilidad p , entonces la varianza de la suma será menor que la varianza de una variable binomial distribuida como ${\displaystyle B(n+m,{\bar {p}}).\,}$

Distribución binomial de Poisson

La distribución binomial es un caso especial de la distribución binomial de Poisson , que es la distribución de una suma de n ensayos de Bernoulli independientes no idénticos B ( pi ₎ . ^[28]

Relación de dos distribuciones binomiales

Este resultado fue obtenido por primera vez por Katz y sus coautores en 1978. ^[29]

Sean X ~ B( n , p ₁ ) e Y ~ B( m , p ₂ ) independientes. Sea T = ( X / n )/( Y / m ) .

Entonces log( T ) tiene una distribución aproximadamente normal con media log( p ₁ / p ₂ ) y varianza ((1/ p ₁ ) − 1)/ n + ((1/ p ₂ ) − 1)/ m .

Binomios condicionales

Si X  ~ B( n ,  p ) e Y  | X  ~ B( X ,  q ) (la distribución condicional de Y , dado  X ), entonces Y es una variable aleatoria binomial simple con distribución Y  ~ B( n ,  pq ).

Por ejemplo, imaginemos lanzar n pelotas a una canasta U _X y tomar las pelotas que impactan y lanzarlas a otra canasta U _Y. Si p es la probabilidad de acertar U _X entonces X  ~ B( n ,  p ) es el número de bolas que aciertan U _X . Si q es la probabilidad de golpear U _Y entonces el número de bolas que golpean U _Y es Y  ~ B( X ,  q ) y por lo tanto Y  ~ B( n ,  pq ).

[Prueba]

Dado que y , por la ley de probabilidad total , ${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ ${\displaystyle Y\sim B(X,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[Y=m]&=\sum _{k=m}^{n}\Pr[Y=m\mid X=k]\Pr[X=k]\\[2pt]&=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\end{aligned}}}$

Dado que la ecuación anterior se puede expresar como ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}{\tbinom {k}{m}}={\tbinom {n}{m}}{\tbinom {n-m}{k-m}},}$

${\displaystyle \Pr[Y=m]=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}}$

Factorizar y extraer de la suma todos los términos que no dependen de ellos ahora produce ${\displaystyle p^{k}=p^{m}p^{k-m}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}p^{m}q^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k-m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\right)\\[2pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}\left(p(1-q)\right)^{k-m}(1-p)^{n-k}\right)\end{aligned}}}$

Después de sustituir en la expresión anterior, obtenemos ${\displaystyle i=k-m}$

${\displaystyle \Pr[Y=m]={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{i=0}^{n-m}{\binom {n-m}{i}}(p-pq)^{i}(1-p)^{n-m-i}\right)}$

Observe que la suma (entre paréntesis) anterior es igual al teorema del binomio . Sustituyendo esto finalmente se obtiene ${\displaystyle (p-pq+1-p)^{n-m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(p-pq+1-p)^{n-m}\\[4pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(1-pq)^{n-m}\end{aligned}}}$

y así como se desee. ${\displaystyle Y\sim B(n,pq)}$

Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial, donde n  = 1. Simbólicamente, X  ~ B(1,  p ) tiene el mismo significado que X  ~ Bernoulli( p ). Por el contrario, cualquier distribución binomial, B( n ,  p ), es la distribución de la suma de n ensayos de Bernoulli independientes , Bernoulli( p ), cada uno con la misma probabilidad p . ^[30]

Aproximación normal

Función de masa de probabilidad binomial y aproximación de la función de densidad de probabilidad normal para n  = 6 y p  = 0,5

Si n es lo suficientemente grande, entonces la asimetría de la distribución no es demasiado grande. En este caso, una aproximación razonable a B( n ,  p ) viene dada por la distribución normal

${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}$

y esta aproximación básica se puede mejorar de forma sencilla utilizando una corrección de continuidad adecuada . La aproximación básica generalmente mejora a medida que n aumenta (al menos 20) y es mejor cuando p no está cerca de 0 o 1. ^[31] Se pueden usar varias reglas generales para decidir si n es lo suficientemente grande y p está lo suficientemente lejos de n. los extremos de cero o uno:

• Una regla ^[31] es que para n > 5 la aproximación normal es adecuada si el valor absoluto de la asimetría es estrictamente menor que 0,3; es decir, si

${\displaystyle {\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<0.3.}$

Esto se puede precisar utilizando el teorema de Berry-Esseen .

• Una regla más estricta establece que la aproximación normal es apropiada sólo si todo lo que esté dentro de 3 desviaciones estándar de su media está dentro del rango de valores posibles; es decir, sólo si

${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).}$

Esta regla de las 3 desviaciones estándar es equivalente a las siguientes condiciones, que también implican la primera regla anterior.

${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

[Prueba]

La regla es totalmente equivalente a solicitar que ${\displaystyle np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n)}$

${\displaystyle np-3{\sqrt {np(1-p)}}>0\quad {\text{and}}\quad np+3{\sqrt {np(1-p)}}<n.}$

Términos móviles en torno a los rendimientos:

${\displaystyle np>3{\sqrt {np(1-p)}}\quad {\text{and}}\quad n(1-p)>3{\sqrt {np(1-p)}}.}$

Ya que , podemos aplicar la potencia al cuadrado y dividir por los respectivos factores y , para obtener las condiciones deseadas: ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle np^{2}}$ ${\displaystyle n(1-p)^{2}}$

${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

Tenga en cuenta que estas condiciones implican automáticamente que . Por otro lado, aplica nuevamente la raíz cuadrada y divide por 3, ${\displaystyle n>9}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}>0\quad {\text{and}}\quad {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>0.}$

Restando el segundo conjunto de desigualdades del primero se obtiene:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>-{\frac {\sqrt {n}}{3}};}$

y así, se cumple la primera regla deseada,

${\displaystyle \left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<{\frac {\sqrt {n}}{3}}.}$

• Otra regla comúnmente utilizada es que ambos valores y deben ser mayores que ^{[32] [33]} o iguales a 5. Sin embargo, el número específico varía de una fuente a otra y depende de qué tan buena aproximación se desee. En particular, si se utiliza 9 en lugar de 5, la regla implica los resultados indicados en los párrafos anteriores. ${\displaystyle np}$ ${\displaystyle n(1-p)}$

[Prueba]

Supongamos que ambos valores y son mayores que 9. Dado que , tenemos fácilmente que ${\displaystyle np}$ ${\displaystyle n(1-p)}$ ${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle np\geq 9>9(1-p)\quad {\text{and}}\quad n(1-p)\geq 9>9p.}$

Sólo nos queda dividir ahora por los respectivos factores y , para deducir la forma alternativa de la regla de las 3 desviaciones estándar: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$

${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

El siguiente es un ejemplo de aplicación de una corrección de continuidad . Supongamos que se desea calcular Pr( X  ≤ 8) para una variable aleatoria binomial X . Si Y tiene una distribución dada por la aproximación normal, entonces Pr( X  ≤ 8) se aproxima mediante Pr( Y  ≤ 8,5). La suma de 0,5 es la corrección de continuidad; la aproximación normal no corregida da resultados considerablemente menos precisos.

Esta aproximación, conocida como teorema de Moivre-Laplace , ahorra mucho tiempo cuando se realizan cálculos a mano (los cálculos exactos con n grande son muy onerosos); históricamente, fue el primer uso de la distribución normal, introducido en el libro de Abraham de Moivre La doctrina de las posibilidades en 1738. Hoy en día, puede verse como una consecuencia del teorema del límite central ya que B( n ,  p ) es una suma de n variables de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas con parámetro  p . Este hecho es la base de una prueba de hipótesis , una "prueba z de proporción", para el valor de p usando x/n , la proporción muestral y el estimador de p , en una estadística de prueba común . ^[34]

Por ejemplo, supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n personas de una población grande y les preguntamos si están de acuerdo con una determinada afirmación. La proporción de personas que están de acuerdo dependerá, por supuesto, de la muestra. Si se tomaran muestras de grupos de n personas de forma repetida y verdaderamente aleatoria, las proporciones seguirían una distribución normal aproximada con una media igual a la verdadera proporción p de acuerdo en la población y con una desviación estándar.

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Aproximación de Poisson

La distribución binomial converge hacia la distribución de Poisson a medida que el número de ensayos tiende al infinito mientras que el producto np converge a un límite finito. Por lo tanto, la distribución de Poisson con parámetro λ = np se puede utilizar como una aproximación a B( n , p ) de la distribución binomial si n es suficientemente grande y p es suficientemente pequeño. Según reglas generales, esta aproximación es buena si n  ≥ 20 y p  ≤ 0,05 ^[35] tal que np ≤ 1, o si n > 50 y p < 0,1 tal que np < 5, ^[36] o si n  ≥ 100 y np  ≤ 10. ^{[37] [38]}

Respecto a la precisión de la aproximación de Poisson, véase Novak, ^[39] cap. 4, y referencias en el mismo.

Limitar distribuciones

• Teorema del límite de Poisson : cuando n se acerca a ∞ y p se acerca a 0 con el producto np mantenido fijo, la distribución binomial ( n ,  p ) se acerca a la distribución de Poisson con el valor esperado λ = np . ^[37]
• Teorema de Moivre-Laplace : cuando n se aproxima a ∞ mientras p permanece fijo, la distribución de

${\displaystyle {\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$

se aproxima a la distribución normal con valor esperado 0 y varianza  1. Este resultado a veces se expresa de manera vaga diciendo que la distribución de X es asintóticamente normal con valor esperado 0 y varianza  1. Este resultado es un caso específico del teorema del límite central .

Distribución beta

La distribución binomial y la distribución beta son visiones diferentes del mismo modelo de ensayos repetidos de Bernoulli. La distribución binomial es la PMF de k éxitos dados n eventos independientes, cada uno con una probabilidad p de éxito. Matemáticamente, cuando α = k + 1 y β = n − k + 1 , la distribución beta y la distribución binomial están relacionadas por ^{[ se necesita aclaración ]} un factor de n + 1 :

${\displaystyle \operatorname {Beta} (p;\alpha ;\beta )=(n+1)B(k;n;p)}$

Las distribuciones beta también proporcionan una familia de distribuciones de probabilidad previas para distribuciones binomiales en la inferencia bayesiana : ^[40]

${\displaystyle P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}}.}$

Dada una distribución previa uniforme, la distribución posterior de la probabilidad de éxito p dados n eventos independientes con k éxitos observados es una distribución beta. ^[41]

Generación de números aleatorios

Los métodos para la generación de números aleatorios donde la distribución marginal es una distribución binomial están bien establecidos. ^{[42] [43]} Una forma de generar muestras variables aleatorias a partir de una distribución binomial es utilizar un algoritmo de inversión. Para hacerlo, se debe calcular la probabilidad de que Pr( X = k ) para todos los valores k desde 0 hasta n . (Estas probabilidades deben sumar un valor cercano a uno, para abarcar todo el espacio muestral). Luego, al usar un generador de números pseudoaleatorios para generar muestras uniformemente entre 0 y 1, se pueden transformar las muestras calculadas en números discretos usando el probabilidades calculadas en el primer paso.

Historia

Esta distribución fue derivada por Jacob Bernoulli . Consideró el caso donde p = r /( r  +  s ) donde p es la probabilidad de éxito y r y s son números enteros positivos. Blaise Pascal había considerado anteriormente el caso en el que p  = 1/2, tabulando los coeficientes binomiales correspondientes en lo que ahora se reconoce como el triángulo de Pascal . ^[44]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Regresión logística
• Distribución multinomial
• Distribución binomial negativa
• Distribución beta binomial
• Medida binomial, un ejemplo de medida multifractal . ^[45]
• Mecánica estadística
• Lema de acumulación , la probabilidad resultante cuando XOR aplica variables booleanas independientes

Referencias

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1. Excepto el caso trivial de , que debe comprobarse por separado. ${\displaystyle p=0}$

Otras lecturas

• Hirsch, Werner Z. (1957). "Distribución binomial: éxito o fracaso, ¿qué probabilidades hay?". Introducción a la estadística moderna . Nueva York: MacMillan. págs. 140-153.
• Neter, Juan; Wasserman, William; Whitmore, GA (1988). Estadística Aplicada (Tercera ed.). Boston: Allyn y Bacon. págs. 185-192. ISBN 0-205-10328-6.

enlaces externos

• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariadas
• Calculadora de fórmula de distribución binomial
• Diferencia de dos variables binomiales: XY o |XY|
• Consultando la distribución de probabilidad binomial en WolframAlpha
• Intervalos de confianza (creíbles) para probabilidad binomial, p: calculadora en línea disponible en causaScientia.org