Función de probabilidad

Distribución de probabilidad de variable discreta

La gráfica de una función de masa de probabilidad. Todos los valores de esta función deben ser no negativos y sumar 1.

En probabilidad y estadística , una función de masa de probabilidad (a veces llamada función de probabilidad o función de frecuencia ^[1] ) es una función que da la probabilidad de que una variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor. ^[2] A veces también se la conoce como función de densidad de probabilidad discreta . La función de masa de probabilidad es a menudo el medio principal para definir una distribución de probabilidad discreta , y dichas funciones existen para variables aleatorias escalares o multivariadas cuyo dominio es discreto.

Una función de masa de probabilidad se diferencia de una función de densidad de probabilidad (PDF) en que esta última está asociada con variables aleatorias continuas en lugar de discretas. Una PDF debe integrarse en un intervalo para generar una probabilidad. ^[3]

El valor de la variable aleatoria que tiene la mayor masa de probabilidad se llama moda .

Definicion formal

La función de masa de probabilidad es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta y proporciona los valores posibles y sus probabilidades asociadas. Es la función definida por ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to [0,1]}$

${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$

para , ^[3] donde es una medida de probabilidad . también se puede simplificar como . ^[4] ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{X}(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$

Las probabilidades asociadas con todos los valores (hipotéticos) deben ser no negativas y sumar 1,

$${\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$$

$${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0.}$$

Pensar en la probabilidad como masa ayuda a evitar errores ya que la masa física se conserva al igual que la probabilidad total de todos los resultados hipotéticos . ${\displaystyle x}$

Medir la formulación teórica.

Una función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede verse como un caso especial de dos construcciones teóricas de medidas más generales: la distribución de y la función de densidad de probabilidad de con respecto a la medida de conteo . Esto lo hacemos más preciso a continuación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos que es un espacio de probabilidad y que es un espacio medible cuyo álgebra σ subyacente es discreta, por lo que, en particular, contiene conjuntos singleton de . En esta configuración, una variable aleatoria es discreta siempre que su imagen sea contable. La medida pushforward —llamada distribución de en este contexto— es una medida de probabilidad cuya restricción a conjuntos singleton induce la función de masa de probabilidad (como se mencionó en la sección anterior) ya que para cada . ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle (B,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X\colon A\to B}$ ${\displaystyle X_{*}(P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{X}\colon B\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)}$ ${\displaystyle b\in B}$

Ahora supongamos que es un espacio de medida equipado con la medida de conteo μ. La función de densidad de probabilidad de con respecto a la medida de conteo, si existe, es la derivada de radón-Nikodym de la medida de avance de (con respecto a la medida de conteo), por lo que y es una función de a los reales no negativos. Como consecuencia, para cualquiera que tengamos ${\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b\in B}$

$${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),}$$

demostrando que es, de hecho, una función de masa de probabilidad. ${\displaystyle f}$

Cuando existe un orden natural entre los resultados potenciales , puede ser conveniente asignarles valores numéricos (o n -tuplas en el caso de una variable aleatoria multivariada discreta ) y considerar también valores que no están en la imagen de . Es decir, puede definirse para todos los números reales y para todos como se muestra en la figura. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)=0}$ ${\displaystyle x\notin X(S)}$

La imagen de tiene un subconjunto contable en el que la función de masa de probabilidad es uno. En consecuencia, la función de masa de probabilidad es cero para todos los valores de , excepto para un número contable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle x}$

La discontinuidad de las funciones de masa de probabilidad está relacionada con el hecho de que la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta también es discontinua. Si es una variable aleatoria discreta, entonces significa que el evento casual es cierto (es cierto en el 100% de las ocurrencias); por el contrario, significa que el acontecimiento casual es siempre imposible. Esta afirmación no es cierta para una variable aleatoria continua , para la cual, para cualquier posible . La discretización es el proceso de convertir una variable aleatoria continua en una discreta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X=x)=1}$ ${\displaystyle (X=x)}$ ${\displaystyle P(X=x)=0}$ ${\displaystyle (X=x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X=x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Finito

Hay tres distribuciones principales asociadas, la distribución de Bernoulli , la distribución binomial y la distribución geométrica .

• Distribución de Bernoulli: ber(p) , se utiliza para modelar un experimento con solo dos resultados posibles. Los dos resultados suelen codificarse como 1 y 0.
  $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{if }}x{\text{ is 1}}\\1-p,&{\text{if }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}}$$
  Un ejemplo de la distribución de Bernoulli es lanzar una moneda al aire. Supongamos que es el espacio muestral de todos los resultados de un solo lanzamiento de una moneda justa, y que es la variable aleatoria definida al asignar 0 a la categoría "cruz" y 1 a la categoría "cara". Dado que la moneda es justa, la función de masa de probabilidad es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$
  $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}$$
• Distribución binomial, modela el número de éxitos cuando alguien dibuja n veces con reemplazo. Cada sorteo o experimento es independiente, con dos resultados posibles. La función de masa de probabilidad asociada es . ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

  

  La función de masa de probabilidad de un dado justo . Todos los números del dado tienen la misma probabilidad de aparecer en la parte superior cuando el dado deja de rodar.

  Un ejemplo de distribución binomial es la probabilidad de obtener exactamente un 6 cuando alguien lanza un dado justo tres veces.
• La distribución geométrica describe la cantidad de pruebas necesarias para lograr un éxito. Su función de masa de probabilidad es . ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$
  Un ejemplo es lanzar una moneda hasta que aparezca la primera "cara". denota la probabilidad del resultado "cara" y denota el número de lanzamientos de moneda necesarios. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$
  Otras distribuciones que se pueden modelar utilizando una función de masa de probabilidad son la distribución categórica (también conocida como distribución generalizada de Bernoulli) y la distribución multinomial .
• Si la distribución discreta tiene dos o más categorías, una de las cuales puede ocurrir, tenga o no un ordenamiento natural, cuando hay un solo ensayo (empate), se trata de una distribución categórica.
• Un ejemplo de distribución discreta multivariada y de su función de masa de probabilidad lo proporciona la distribución multinomial . Aquí, las múltiples variables aleatorias son el número de éxitos en cada una de las categorías después de un número determinado de intentos, y cada masa de probabilidad distinta de cero da la probabilidad de una cierta combinación de números de éxitos en las distintas categorías.

Infinito

La siguiente distribución exponencialmente decreciente es un ejemplo de una distribución con un número infinito de resultados posibles: todos los números enteros positivos:

$${\displaystyle {\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{for }}i=1,2,3,\dots }$$

Caso multivariado

Dos o más variables aleatorias discretas tienen una función de masa de probabilidad conjunta, que da la probabilidad de cada posible combinación de realizaciones para las variables aleatorias.

Referencias

1. 7.2 - Funciones de masa de probabilidad | STAT 414 - PennState - Facultad de Ciencias de Eberly
2. Stewart, William J. (2011). Probabilidad, cadenas de Markov, colas y simulación: la base matemática del modelado de rendimiento. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 105.ISBN​ 978-1-4008-3281-1.
3. Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender por qué y cómo . Dekking, Michel, 1946-. Londres: Springer. 2005.ISBN​ 978-1-85233-896-1. OCLC  262680588.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: otros ( enlace )
4. Rao, Singiresu S. (1996). Optimización de ingeniería: teoría y práctica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-55034-5. OCLC  62080932.

Otras lecturas

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Distribuciones discretas univariadas (2ª ed.). Wiley. pag. 36.ISBN​ 0-471-54897-9.