Ley de probabilidad total

Concepto en teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad , la ley (o fórmula ) de la probabilidad total es una regla fundamental que relaciona las probabilidades marginales con las probabilidades condicionales . Expresa la probabilidad total de un resultado que se puede lograr mediante varios eventos distintos , de ahí el nombre.

Declaración

La ley de probabilidad total es ^[1] un teorema que establece, en su caso discreto, si es un conjunto finito o contablemente infinito de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos , entonces para cualquier evento : ${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$

o, alternativamente, ^[1]

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}$

donde, para cualquier , si , entonces estos términos simplemente se omiten de la suma ya que es finito. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(B_{n})=0}$ ${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$

La sumatoria puede interpretarse como un promedio ponderado y, en consecuencia, la probabilidad marginal a veces se denomina "probabilidad promedio"; ^[2] "probabilidad general" se utiliza a veces en escritos menos formales. ^[3] ${\displaystyle P(A)}$

La ley de probabilidad total también se puede enunciar para probabilidades condicionales:

${\displaystyle P({A|C})={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})}$

Tomando lo anterior y suponiendo que es un evento independiente de cualquiera de los siguientes : ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$

Caso continuo

La ley de la probabilidad total se extiende al caso del condicionamiento sobre eventos generados por variables aleatorias continuas. Sea un espacio de probabilidad . Supongamos que es una variable aleatoria con función de distribución y un evento en . Entonces la ley de probabilidad total establece ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).}$

Si admite una función de densidad , entonces el resultado es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}}$

${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}$

Además, para el caso específico donde , donde es un conjunto de Borel, esto produce ${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.}$

Ejemplo

Supongamos que dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica X funcionan durante más de 5000 horas en el 99 % de los casos, mientras que las bombillas de la fábrica Y funcionan durante más de 5000 horas en el 95 % de los casos. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles y Y suministra el 40% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla comprada funcione durante más de 5000 horas?

Aplicando la ley de probabilidad total tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle P(B_{X})={6 \over 10}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica X ;
• ${\displaystyle P(B_{Y})={4 \over 10}}$es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica Y ;
• ${\displaystyle P(A\mid B_{X})={99 \over 100}}$es la probabilidad de que una bombilla fabricada por X funcione durante más de 5000 horas;
• ${\displaystyle P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}}$es la probabilidad de que una bombilla fabricada por Y funcione durante más de 5000 horas.

Así, cada bombilla comprada tiene un 97,4% de posibilidades de funcionar durante más de 5.000 horas.

Otros nombres

El término ley de probabilidad total a veces se entiende como la ley de alternativas , que es un caso especial de la ley de probabilidad total que se aplica a variables aleatorias discretas . ^{[ cita necesaria ]} Un autor utiliza la terminología de la "Regla de probabilidades condicionales promedio", ^[4] mientras que otro se refiere a ella como la "ley continua de alternativas" en el caso continuo. ^[5] Este resultado lo dan Grimmett y Welsh ^[6] como teorema de partición , nombre que también le dan a la ley relacionada de expectativa total .

Ver también

• Ley de expectativa total
• Ley de varianza total
• Ley de covarianza total
• Ley de acumulación total
• Distribución marginal

Notas

1. Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Tablas y fórmulas de estadística y probabilidad estándar CRC , CRC Press. ISBN  1-58488-059-7 página 31.
2. Paul E. Pfeiffer (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad. Publicaciones de Courier Dover. págs. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
3. Déborah Rumsey (2006). Probabilidad para tontos. Para Dummies. pag. 58.ISBN _ 978-0-471-75141-0.
4. Jim Pitman (1993). Probabilidad. Saltador. pag. 41.ISBN _ 0-387-97974-3.
5. Kenneth Baclawski (2008). Introducción a la probabilidad con R. CRC Press. pag. 179.ISBN _ 978-1-4200-6521-3.
6. Probabilidad: introducción , de Geoffrey Grimmett y Dominic Welsh , Oxford Science Publications, 1986, teorema 1B.

Referencias

• Introducción a la probabilidad y la estadística por Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, página 159.
• Teoría de la Estadística , por Mark J. Schervish, Springer, 1995.
• Esquema de probabilidad de Schaum, segunda edición , por John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw-Hill Professional, 2010, página 89.
• Un primer curso sobre modelos estocásticos , por HC Tijms, John Wiley and Sons, 2003, páginas 431–432.
• Un curso intermedio sobre probabilidad , por Alan Gut, Springer, 1995, páginas 5–6.