Martingala local

Proceso estocástico con secuencia de tiempos de parada, por lo que cada proceso detenido es martingala.

En matemáticas , una martingala local es un tipo de proceso estocástico que satisface la versión localizada de la propiedad de la martingala . Toda martingala es una martingala local; toda martingala local acotada es una martingala; en particular, toda martingala local acotada desde abajo es una supermartingala, y toda martingala local acotada desde arriba es una submartingala; sin embargo, una martingala local no es en general una martingala, porque su expectativa puede verse distorsionada por valores grandes de probabilidad pequeña. En particular, un proceso de difusión sin deriva es una martingala local, pero no necesariamente una martingala.

Las martingalas locales son esenciales en el análisis estocástico (véase cálculo de Itô , semimartingala y teorema de Girsanov ).

Definición

Sea un espacio de probabilidad ; sea una filtración de ; sea un proceso estocástico adaptado en el conjunto . Entonces se llama martingala local si existe una secuencia de tiempos de parada tales que ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle F_{*}=\{F_{t}\mid t\geq 0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\colon [0,\infty )\times \Omega \rightarrow S}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle \tau _{k}\colon \Omega \to [0,\infty )}$

• Es casi seguro que están aumentando : ; ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\left\{\tau _{k}<\tau _{k+1}\right\}=1}$
• la divergencia es casi segura: ; ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\left\{\lim _{k\to \infty }\tau _{k}=\infty \right\}=1}$
• El proceso detenido es una -martingala para cada . $${\displaystyle X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}}$$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Ilustración de la martingala local. Panel superior: Múltiples caminos simulados del proceso que se detiene al alcanzar . Esto muestra el comportamiento de ruina del jugador y no es una martingala. Panel inferior: Caminos de con un criterio de detención adicional: el proceso también se detiene cuando alcanza una magnitud de . Esto ya no sufre el comportamiento de ruina del jugador y es una martingala. ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle k=2.0}$

Sea W _t el proceso de Wiener y T  = min{  t  :  W _t  = −1 } el momento del primer impacto de −1. El proceso detenido W _{min{  t ,  T  }} es una martingala. Su esperanza es 0 en todo momento; sin embargo, su límite (cuando t  → ∞) es igual a −1 casi con seguridad (una especie de ruina del jugador ). Un cambio de tiempo conduce a un proceso

${\displaystyle \displaystyle X_{t}={\begin{cases}W_{\min \left({\tfrac {t}{1-t}},T\right)}&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

El proceso es casi con toda seguridad continuo; sin embargo, su expectativa es discontinua. ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} X_{t}={\begin{cases}0&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Este proceso no es una martingala, pero sí una martingala local. Se puede elegir una secuencia localizadora como si existiera tal t , en caso contrario . Esta secuencia diverge casi con seguridad, ya que para todos los k suficientemente grandes (es decir, para todos los k que excedan el valor máximo del proceso X ). El proceso detenido en τ _k es una martingala. ^{[detalles 1]} ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=k\}}$ ${\displaystyle \tau _{k}=k}$ ${\displaystyle \tau _{k}=k}$

Ejemplo 2

Sea W _t el proceso de Wiener y ƒ una función medible tal que Entonces el siguiente proceso es una martingala: ${\displaystyle \operatorname {E} |f(W_{1})|<\infty .}$

${\displaystyle X_{t}=\operatorname {E} (f(W_{1})\mid F_{t})={\begin{cases}f_{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\f(W_{1})&{\text{for }}1\leq t<\infty ;\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle f_{s}(x)=\operatorname {E} f(x+W_{s})=\int f(x+y){\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-y^{2}/(2s)}\,dy.}$

La función delta de Dirac (estrictamente hablando, no es una función), al usarse en lugar de conduce a un proceso definido informalmente como y formalmente como ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle Y_{t}=\operatorname {E} (\delta (W_{1})\mid F_{t})}$

${\displaystyle Y_{t}={\begin{cases}\delta _{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty ,\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle \delta _{s}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2s)}.}$

El proceso es continuo casi con toda seguridad (ya que casi con toda seguridad), sin embargo, su expectativa es discontinua, ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle W_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {E} Y_{t}={\begin{cases}1/{\sqrt {2\pi }}&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Este proceso no es una martingala, pero es una martingala local. Se puede elegir una secuencia de localización como ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:Y_{t}=k\}.}$

Ejemplo 3

Sea el proceso de Wiener de valor complejo , y ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\ln |Z_{t}-1|\,.}$

El proceso es continuo casi con seguridad (ya que no llega a 1, casi con seguridad), y es una martingala local, ya que la función es armónica (en el plano complejo sin el punto 1). Se puede elegir una secuencia localizadora como Sin embargo, la esperanza de este proceso no es constante; además, ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle u\mapsto \ln |u-1|}$ ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=-k\}.}$

${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}\to \infty }$   como ${\displaystyle t\to \infty ,}$

lo cual se puede deducir del hecho de que el valor medio de sobre el círculo tiende a infinito cuando . (De hecho, es igual a para r ≥ 1 pero a 0 para r ≤ 1). ${\displaystyle \ln |u-1|}$ ${\displaystyle |u|=r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \ln r}$

Martingalas a través de martingalas locales

Sea una martingala local. Para demostrar que es una martingala basta con demostrar que en L 1 (como ) para cada t , es decir, aquí está el proceso detenido. La relación dada implica que casi con seguridad. El teorema de convergencia dominada asegura la convergencia en L ¹ siempre que ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {E} |M_{t}^{\tau _{k}}-M_{t}|\to 0;}$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}=M_{t\wedge \tau _{k}}}$ ${\displaystyle \tau _{k}\to \infty }$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (*)\quad \operatorname {E} \sup _{k}|M_{t}^{\tau _{k}}|<\infty }$    para cada t .

Por lo tanto, la condición (*) es suficiente para que una martingala local sea una martingala. Una condición más fuerte ${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (**)\quad \operatorname {E} \sup _{s\in [0,t]}|M_{s}|<\infty }$    para cada t

También es suficiente.

Precaución. La condición más débil

${\displaystyle \textstyle \sup _{s\in [0,t]}\operatorname {E} |M_{s}|<\infty }$    para cada t

no es suficiente. Además, la condición

${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,\infty )}\operatorname {E} \mathrm {e} ^{|M_{t}|}<\infty }$

todavía no es suficiente; para un contraejemplo véase el Ejemplo 3 más arriba.

Un caso especial:

${\displaystyle \textstyle M_{t}=f(t,W_{t}),}$

donde es el proceso de Wiener y es dos veces continuamente diferenciable . El proceso es una martingala local si y solo si f satisface la EDP ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle f:[0,\infty )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}f(t,x)=0.}$

Sin embargo, esta EDP por sí misma no garantiza que sea una martingala. Para aplicar (**) es suficiente la siguiente condición sobre f : para cada y t existe tal que ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle C=C(\varepsilon ,t)}$

${\displaystyle \textstyle |f(s,x)|\leq C\mathrm {e} ^{\varepsilon x^{2}}}$

Para todos y ${\displaystyle s\in [0,t]}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Detalles técnicos

1. Para los instantes anteriores a 1 es una martingala, ya que un movimiento browniano detenido lo es. Después del instante 1 es constante. Queda por comprobarlo en el instante 1. Por el teorema de convergencia acotada, la expectativa en 1 es el límite de la expectativa en ( n -1)/ n (cuando n tiende a infinito), y esta última no depende de n . El mismo argumento se aplica a la expectativa condicional. ^{[ vago ]}

Referencias

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.