Semimartingala

Tipo de proceso estocástico

En teoría de probabilidad , un proceso estocástico de valor real X se denomina semimartingala si se puede descomponer como la suma de una martingala local y un proceso de variación finita adaptado a càdlàg . Las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la clase más grande de procesos con respecto a los cuales se pueden definir la integral de Itô y la integral de Stratonovich .

La clase de semimartingalas es bastante amplia (incluye, por ejemplo, todos los procesos continuamente diferenciables, el movimiento browniano y los procesos de Poisson ). Las submartingalas y las supermartingalas juntas representan un subconjunto de las semimartingalas.

Definición

Un proceso de valor real X definido en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F ,( F _t ) _{t  ≥ 0} ,P) se denomina semimartingala si se puede descomponer como

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$

donde M es una martingala local y A es un proceso adaptado de càdlàg de variación localmente acotada . Esto significa que para casi todos los intervalos compactos , la trayectoria de la muestra es de variación acotada. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle I\subset [0,\infty )}$ ${\displaystyle I\ni s\mapsto A_{s}(\omega )}$

Un proceso con valor R ⁿ X = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) es una semimartingala si cada uno de sus componentes X ⁱ es una semimartingala.

Definición alternativa

En primer lugar, los procesos predecibles simples se definen como combinaciones lineales de procesos de la forma H _t = A 1 _{{ t > T }} para tiempos de parada T y variables aleatorias medibles F _T A . La integral H ⋅ X para cualquier proceso predecible simple H y proceso de valor real X es

${\displaystyle H\cdot X_{t}:=1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$

Esto se extiende a todos los procesos simples y predecibles por la linealidad de H ⋅ X en H .

Un proceso X con valor real es una semimartingala si es càdlàg, adaptado, y para cada t ≥ 0,

${\displaystyle \left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ is\ simple\ predictable\ and\ }}|H|\leq 1\right\}}$

está limitada en probabilidad. El teorema de Bichteler-Dellacherie establece que estas dos definiciones son equivalentes (Protter 2004, p. 144).

Ejemplos

• Los procesos adaptados y continuamente diferenciables son procesos continuos, de variación localmente finita y, por lo tanto, semimartingalas.
• El movimiento browniano es una semimartingala.
• Todas las martingalas , submartingalas y supermartingalas de càdlàg son semimartingalas.
• Los procesos de Itō que satisfacen una ecuación diferencial estocástica de la forma dX = σdW + μdt son semimartingalas. Aquí, W es un movimiento browniano y σ, μ son procesos adaptados.
• Cada proceso de Lévy es una semimartingala.

Aunque la mayoría de los procesos continuos y adaptados estudiados en la literatura son semimartingalas, este no siempre es el caso.

• El movimiento browniano fraccional con parámetro de Hurst H ≠ 1/2 no es una semimartingala.

Propiedades

• Las semimartingalas forman la clase más grande de procesos para los cuales se puede definir la integral de Itō .
• Las combinaciones lineales de semimartingalas son semimartingalas.
• Los productos de semimartingalas son semimartingalas, lo cual es una consecuencia de la fórmula de integración por partes para la integral de Itō .
• La variación cuadrática existe para cada semimartingala.
• La clase de semimartingalas está cerrada bajo detención opcional , localización , cambio de tiempo y cambio absolutamente continuo de medida de probabilidad (ver Teorema de Girsanov ).
• Si X es una semimartingala de valor R ^m y f es una función dos veces continuamente diferenciable de R ^m a R ⁿ , entonces f ( X ) es una semimartingala. Esto es una consecuencia del lema de Itō .
• La propiedad de ser una semimartingala se conserva al reducirse la filtración. Más precisamente, si X es una semimartingala con respecto a la filtración F _t , y está adaptada con respecto a la subfiltración G _t , entonces X es una G _t -semimartingala.
• (Expansión contable de Jacod) La propiedad de ser una semimartingala se conserva al ampliar la filtración mediante un conjunto contable de conjuntos disjuntos. Supongamos que F _t es una filtración y G _t es la filtración generada por F _t y un conjunto contable de conjuntos medibles disjuntos. Entonces, cada F _t -semimartingala es también una G _t -semimartingala. (Protter 2004, p. 53)

Descomposiciones de semimartingala

Por definición, cada semimartingala es una suma de una martingala local y un proceso de variación finita. Sin embargo, esta descomposición no es única.

Semimartingalas continuas

Una semimartingala continua se descompone de manera única como X = M + A , donde M es una martingala local continua y A es un proceso continuo de variación finita que comienza en cero. (Rogers y Williams 1987, p. 358)

Por ejemplo, si X es un proceso de Itō que satisface la ecuación diferencial estocástica d X _t = σ _t d W _t + b _t dt, entonces

${\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.}$

Semimartingalas especiales

Una semimartingala especial es un proceso con valores reales cuya descomposición es , donde es una martingala local y es un proceso de variación finita predecible que comienza en cero. Si existe esta descomposición, entonces es única hasta un conjunto P-nulos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=M^{X}+B^{X}}$ ${\displaystyle M^{X}}$ ${\displaystyle B^{X}}$

Toda semimartingala especial es una semimartingala. A la inversa, una semimartingala es una semimartingala especial si y sólo si el proceso X _t ^*  ≡ sup _{s  ≤  t}  |X _s | es localmente integrable (Protter 2004, p. 130).

Por ejemplo, cada semimartingala continua es una semimartingala especial, en cuyo caso M y A son ambos procesos continuos.

Descomposiciones multiplicativas

Recordemos que denota el exponente estocástico de la semimartingala . Si es una semimartingala especial tal que ^{[ aclaración necesaria ]} , entonces y es una martingala local. ^[1] El proceso se denomina compensador multiplicativo de y la identidad la descomposición multiplicativa de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta B^{X}\neq -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

Semimartingalas puramente discontinuas / semimartingalas cuadráticas de salto puro

Una semimartingala se denomina puramente discontinua (Kallenberg 2002) si su variación cuadrática [ X ] es un proceso de salto puro de variación finita, es decir,

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}}$.

Según esta definición, el tiempo es una semimartingala puramente discontinua aunque no presente saltos en absoluto. La terminología alternativa (y preferida) semimartingala cuadrática de salto puro para una semimartingala puramente discontinua (Protter 2004, p. 71) está motivada por el hecho de que la variación cuadrática de una semimartingala puramente discontinua es un proceso de salto puro. Toda semimartingala de variación finita es una semimartingala cuadrática de salto puro. Un proceso continuo adaptado es una semimartingala cuadrática de salto puro si y solo si es de variación finita.

Para cada semimartingala X existe una única martingala local continua que comienza en cero, de modo que es una semimartingala cuadrática de salto puro (He, Wang y Yan 1992, p. 209; Kallenberg 2002, p. 527). La martingala local se denomina parte martingala continua de X . ${\displaystyle X^{c}}$ ${\displaystyle X-X^{c}}$ ${\displaystyle X^{c}}$

Obsérvese que es específico de la medida. Si y son dos medidas equivalentes, entonces es típicamente diferente de , mientras que tanto y son semimartingalas cuadráticas de salto puro. Por el teorema de Girsanov es un proceso continuo de variación finita, que produce . ${\displaystyle X^{c}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X^{c}(P)}$ ${\displaystyle X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X-X^{c}(P)}$ ${\displaystyle X-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X^{c}(P)-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle [X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}}$

Componentes de tiempo continuo y tiempo discreto de una semimartingala

Cada semimartingala tiene una descomposición única donde , el componente no salta en tiempos predecibles, y el componente es igual a la suma de sus saltos en tiempos predecibles en la topología de semimartingala. Entonces se tiene . ^[2] Ejemplos típicos del componente "qc" son el proceso de Itô y el proceso de Lévy . El componente "dp" a menudo se toma como una cadena de Markov pero en general los tiempos de salto predecibles pueden no ser puntos aislados; por ejemplo, en principio puede saltar en cada tiempo racional. Observe también que no es necesariamente de variación finita, aunque es igual a la suma de sus saltos (en la topología de semimartingala ). Por ejemplo, en el intervalo de tiempo tome para tener incrementos independientes, con saltos en tiempos que toman valores con igual probabilidad. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },}$$ ${\displaystyle X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {qc} }}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle [X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle \{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \pm 1/n}$

Semimartingalas en un colector

El concepto de semimartingalas, y la teoría asociada del cálculo estocástico, se extiende a procesos que toman valores en una variedad diferenciable . Un proceso X en la variedad M es una semimartingala si f ( X ) es una semimartingala para cada función suave f de M a R . (Rogers & Williams 1987, p. 24) El cálculo estocástico para semimartingalas en variedades generales requiere el uso de la integral de Stratonovich .

Véase también

• Sigma-martingala

Referencias

1. Lépingle, Dominique; Mémin, Jean (1978). "Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete (en francés). 42 (3). Proposición II.1. doi : 10.1007/BF00641409 . ISSN  0044-3719.
2. Černý, Aleš; Ruf, Johannes (1 de noviembre de 2021). "Semimartingalas de puro salto". Bernoulli . 27 (4): 2631. arXiv : 1909.03020 . doi :10.3150/21-BEJ1325. ISSN  1350-7265. S2CID  202538473.

• He, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Teoría de semimartingala y cálculo estocástico , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
• Kallenberg, Olav (2002), Fundamentos de la probabilidad moderna (2.ª ed.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
• Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2.ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Rogers, LCG; Williams, David (1987), Difusiones, procesos de Markov y martingalas , vol. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, BV (2018), Introducción al cálculo estocástico , Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4