El cálculo de Itô , llamado así por Kiyosi Itô , extiende los métodos del cálculo a procesos estocásticos como el movimiento browniano (véase proceso de Wiener ). Tiene importantes aplicaciones en las finanzas matemáticas y en las ecuaciones diferenciales estocásticas .
El concepto central es la integral estocástica de Itô, una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos: donde H es un proceso integrable al cuadrado localmente adaptado a la filtración generada por X (Revuz & Yor 1999, Capítulo IV), que es un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala . El resultado de la integración es entonces otro proceso estocástico. Concretamente, la integral de 0 a cualquier t particular es una variable aleatoria , definida como un límite de una cierta secuencia de variables aleatorias. Las trayectorias del movimiento browniano no satisfacen los requisitos para poder aplicar las técnicas estándar del cálculo. Así, con el integrando como un proceso estocástico, la integral estocástica de Itô equivale a una integral con respecto a una función que no es diferenciable en ningún punto y tiene variación infinita en cada intervalo de tiempo. La idea principal es que la integral se puede definir siempre que el integrando H sea adaptado , lo que en términos generales significa que su valor en el momento t solo puede depender de la información disponible hasta ese momento. En términos generales, se elige una secuencia de particiones del intervalo de 0 a t y se construyen sumas de Riemann . Cada vez que calculamos una suma de Riemann, utilizamos una instancia particular del integrador. Es crucial qué punto de cada uno de los intervalos pequeños se utiliza para calcular el valor de la función. Luego, el límite se toma en probabilidad cuando la malla de la partición tiende a cero. Se deben tener en cuenta numerosos detalles técnicos para demostrar que este límite existe y es independiente de la secuencia particular de particiones. Normalmente, se utiliza el extremo izquierdo del intervalo.
Entre los resultados importantes del cálculo de Itô se encuentran la fórmula de integración por partes y el lema de Itô , que es una fórmula de cambio de variables . Estas se diferencian de las fórmulas del cálculo estándar debido a los términos de variación cuadrática .
En finanzas matemáticas , la estrategia de evaluación descrita de la integral se conceptualiza como que primero decidimos qué hacer, luego observamos el cambio en los precios. El integrando es la cantidad de acciones que poseemos, el integrador representa el movimiento de los precios y la integral es la cantidad de dinero que tenemos en total, incluido el valor de nuestras acciones, en un momento dado. Los precios de las acciones y otros activos financieros negociados se pueden modelar mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o, más a menudo, el movimiento browniano geométrico (ver Black-Scholes ). Luego, la integral estocástica de Itô representa el pago de una estrategia de negociación de tiempo continuo que consiste en mantener una cantidad H t de la acción en el momento t . En esta situación, la condición de que H esté adaptada corresponde a la restricción necesaria de que la estrategia de negociación solo puede hacer uso de la información disponible en cualquier momento. Esto evita la posibilidad de ganancias ilimitadas a través de la clarividencia : comprar la acción justo antes de cada repunte en el mercado y vender antes de cada caída. De manera similar, la condición de que H esté adaptado implica que la integral estocástica no divergirá cuando se calcule como un límite de sumas de Riemann (Revuz y Yor 1999, Capítulo IV).
El proceso Y definido antes como es en sí mismo un proceso estocástico con parámetro de tiempo t , que también se escribe a veces como Y = H · X (Rogers & Williams 2000). Alternativamente, la integral se escribe a menudo en forma diferencial dY = H dX , que es equivalente a Y − Y 0 = H · X . Como el cálculo de Itô se ocupa de procesos estocásticos de tiempo continuo, se supone que se da un espacio de probabilidad filtrado subyacente. El σ-álgebra representa la información disponible hasta el tiempo t , y un proceso X se adapta si X t es -medible. Un movimiento browniano B se entiende como un movimiento -browniano, que es simplemente un movimiento browniano estándar con las propiedades de que B t es -medible y que B t + s − B t es independiente de para todo s , t ≥ 0 (Revuz & Yor 1999).
La integral de Itô se puede definir de manera similar a la integral de Riemann–Stieltjes , es decir, como un límite en la probabilidad de las sumas de Riemann ; dicho límite no existe necesariamente en términos de trayectorias. Supóngase que B es un proceso de Wiener (movimiento browniano) y que H es un proceso continuo por la derecha ( càdlàg ), adaptado y acotado localmente. Si es una secuencia de particiones de [0, t ] con un ancho de malla que tiende a cero, entonces la integral de Itô de H con respecto a B hasta el tiempo t es una variable aleatoria.
Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad .
Para algunas aplicaciones, como los teoremas de representación de martingala y los tiempos locales , la integral es necesaria para procesos que no son continuos. Los procesos predecibles forman la clase más pequeña que está cerrada bajo límites de secuencias y contiene todos los procesos adaptados continuos por la izquierda. Si H es cualquier proceso predecible tal que ∫ 0 t H 2 ds < ∞ para cada t ≥ 0, entonces se puede definir la integral de H con respecto a B , y se dice que H es B -integrable. Cualquier proceso de este tipo se puede aproximar mediante una secuencia H n de procesos continuos por la izquierda, adaptados y acotados localmente, en el sentido de que en probabilidad. Entonces, la integral de Itô es donde, nuevamente, se puede demostrar que el límite converge en probabilidad. La integral estocástica satisface la isometría de Itô que se cumple cuando H está acotado o, de manera más general, cuando la integral en el lado derecho es finita.
Un proceso de Itô se define como un proceso estocástico adaptado que puede expresarse como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo.
Aquí, B es un movimiento browniano y se requiere que σ sea un proceso B -integrable predecible, y μ sea predecible e ( Lebesgue ) integrable. Es decir, para cada t . La integral estocástica se puede extender a tales procesos Itô,
Esto se define para todos los integrandos acotados localmente y predecibles. En términos más generales, se requiere que Hσ sea B -integrable y Hμ sea integrable según Lebesgue, de modo que dichos procesos predecibles H se denominan X -integrables.
Un resultado importante para el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô . En su forma más simple, para cualquier función f dos veces continuamente diferenciable en los números reales y el proceso de Itô X como se describió anteriormente, establece que es en sí mismo un proceso de Itô que satisface
Esta es la versión de cálculo estocástico de la fórmula de cambio de variables y la regla de la cadena . Se diferencia del resultado estándar debido al término adicional que involucra la segunda derivada de f , que proviene de la propiedad de que el movimiento browniano tiene una variación cuadrática distinta de cero .
La integral de Itô se define con respecto a una semimartingala X . Estos son procesos que se pueden descomponer como X = M + A para una martingala local M y un proceso de variación finita A . Ejemplos importantes de tales procesos incluyen el movimiento browniano , que es una martingala , y los procesos de Lévy . Para un proceso H continuo por la izquierda, acotado localmente y adaptado , existe la integral H · X , y se puede calcular como un límite de sumas de Riemann. Sea π n una secuencia de particiones de [0, t ] con malla que tiende a cero,
Este límite converge en probabilidad. La integral estocástica de procesos continuos por la izquierda es lo suficientemente general para estudiar gran parte del cálculo estocástico. Por ejemplo, es suficiente para aplicaciones del lema de Itô, cambios de medida a través del teorema de Girsanov y para el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas . Sin embargo, es inadecuada para otros temas importantes como los teoremas de representación de martingala y las horas locales .
La integral se extiende a todos los integrandos predecibles y acotados localmente, de una manera única, de modo que se cumple el teorema de convergencia dominada . Es decir, si H n → H y | H n | ≤ J para un proceso acotado localmente J , entonces en probabilidad. La unicidad de la extensión desde integrandos continuos por la izquierda a predecibles es un resultado del lema de clase monótona .
En general, la integral estocástica H · X puede definirse incluso en casos en los que el proceso predecible H no está acotado localmente. Si K = 1 / (1 + | H |) entonces K y KH están acotados. La asociatividad de la integración estocástica implica que H es X -integrable, con integral H · X = Y , si y solo si Y 0 = 0 y K · Y = ( KH ) · X . El conjunto de procesos X -integrables se denota por L ( X ) .
Las siguientes propiedades se pueden encontrar en trabajos como (Revuz & Yor 1999) y (Rogers & Williams 2000):
Al igual que en el cálculo ordinario, la integración por partes es un resultado importante en el cálculo estocástico. La fórmula de integración por partes para la integral de Itô difiere del resultado estándar debido a la inclusión de un término de covariación cuadrática . Este término proviene del hecho de que el cálculo de Itô trata con procesos con variación cuadrática distinta de cero, lo que solo ocurre para procesos de variación infinita (como el movimiento browniano). Si X e Y son semimartingalas, entonces donde [ X , Y ] es el proceso de covariación cuadrática.
El resultado es similar al teorema de integración por partes para la integral de Riemann-Stieltjes pero tiene un término de variación cuadrática adicional .
El lema de Itô es la versión de la regla de la cadena o fórmula de cambio de variables que se aplica a la integral de Itô. Es uno de los teoremas más poderosos y frecuentemente utilizados en el cálculo estocástico. Para una semimartingala continua n -dimensional X = ( X 1 ,..., X n ) y una función f dos veces continuamente diferenciable de R n a R , establece que f ( X ) es una semimartingala y, Esto difiere de la regla de la cadena utilizada en el cálculo estándar debido al término que involucra la covariación cuadrática [ X i , X j ] . La fórmula se puede generalizar para incluir una dependencia temporal explícita en y de otras maneras (ver el lema de Itô ).
Una propiedad importante de la integral de Itô es que conserva la propiedad de la martingala local . Si M es una martingala local y H es un proceso predecible acotado localmente, entonces H · M también es una martingala local. Para los integrandos que no están acotados localmente, hay ejemplos en los que H · M no es una martingala local. Sin embargo, esto solo puede ocurrir cuando M no es continua. Si M es una martingala local continua, entonces un proceso predecible H es M -integrable si y solo si para cada t , y H · M es siempre una martingala local.
La afirmación más general para una martingala local discontinua M es que si ( H 2 · [ M ]) 1/2 es localmente integrable , entonces H · M existe y es una martingala local.
Para los integrandos acotados, la integral estocástica de Itô preserva el espacio de martingalas integrables cuadradas , que es el conjunto de martingalas càdlàg M tales que E[ M t 2 ] es finito para todo t . Para cualquier martingala integrable cuadrada M , el proceso de variación cuadrática [ M ] es integrable, y la isometría de Itô establece que Esta igualdad se cumple de manera más general para cualquier martingala M tal que H 2 · [ M ] t sea integrable. La isometría de Itô se utiliza a menudo como un paso importante en la construcción de la integral estocástica, al definir H · M como la única extensión de esta isometría desde una cierta clase de integrandos simples a todos los procesos acotados y predecibles.
Para cualquier p > 1 , y un integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de martingalas p -integrables. Estas son martingalas càdlàg tales que E(| M t | p ) es finito para todo t . Sin embargo, esto no siempre es cierto en el caso donde p = 1 . Hay ejemplos de integrales de procesos predecibles acotados con respecto a martingalas que no son en sí mismas martingalas.
El proceso máximo de un proceso càdlàg M se escribe como M* t = sup s ≤ t | M s | . Para cualquier p ≥ 1 e integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de martingalas càdlàg M tal que E[( M* t ) p ] es finito para todo t . Si p > 1 entonces este es el mismo que el espacio de martingalas p -integrables, por las desigualdades de Doob .
Las desigualdades de Burkholder–Davis–Gundy establecen que, para cualquier p ≥ 1 dado , existen constantes positivas c , C que dependen de p , pero no de M o de t tales que para todas las martingalas locales càdlàg M . Estas se utilizan para mostrar que si ( M* t ) p es integrable y H es un proceso predecible acotado entonces y, en consecuencia, H · M es una martingala p -integrable. De manera más general, esta afirmación es verdadera siempre que ( H 2 · [ M ]) p /2 sea integrable.
Las pruebas de que la integral de Itô está bien definida suelen proceder observando primero integrandos muy simples, como procesos constantes por partes, continuos por la izquierda y adaptados donde la integral se puede escribir explícitamente. Tales procesos predecibles simples son combinaciones lineales de términos de la forma H t = A 1 { t > T } para tiempos de parada T y F T -variables aleatorias medibles A , para las cuales la integral es Esto se extiende a todos los procesos predecibles simples por la linealidad de H · X en H .
Para un movimiento browniano B , la propiedad de que tiene incrementos independientes con media cero y varianza Var( B t ) = t se puede utilizar para demostrar la isometría de Itô para integrandos predecibles simples. Mediante una extensión lineal continua , la integral se extiende únicamente a todos los integrandos predecibles que satisfacen de tal manera que la isometría de Itô todavía se mantiene. Luego se puede extender a todos los procesos B -integrables por localización . Este método permite definir la integral con respecto a cualquier proceso Itô.
Para una semimartingala general X , se puede utilizar la descomposición X = M + A en una martingala local M más un proceso de variación finita A . Luego, se puede demostrar que la integral existe por separado con respecto a M y A y se puede combinar utilizando linealidad, H · X = H · M + H · A , para obtener la integral con respecto a X . La integral estándar de Lebesgue–Stieltjes permite definir la integración con respecto a procesos de variación finita, por lo que la existencia de la integral de Itô para semimartingalas se seguirá de cualquier construcción para martingalas locales.
Para una martingala integrable cuadrada M de càdlàg , se puede utilizar una forma generalizada de la isometría de Itô. Primero, se utiliza el teorema de descomposición de Doob-Meyer para mostrar que existe una descomposición M 2 = N + ⟨ M ⟩ , donde N es una martingala y ⟨ M ⟩ es un proceso continuo hacia la derecha, creciente y predecible que comienza en cero. Esto define de forma única ⟨ M ⟩ , que se conoce como la variación cuadrática predecible de M . La isometría de Itô para martingalas integrables cuadradas es entonces que se puede demostrar directamente para integrandos predecibles simples. Al igual que con el caso anterior para el movimiento browniano, se puede utilizar una extensión lineal continua para extender de forma única a todos los integrandos predecibles que satisfacen E [ H 2 · ⟨ M ⟩ t ] < ∞ . Este método se puede extender a todas las martingalas integrables cuadradas locales por localización. Finalmente, la descomposición de Doob-Meyer se puede utilizar para descomponer cualquier martingala local en la suma de una martingala integrable al cuadrado local y un proceso de variación finita, lo que permite construir la integral de Itô con respecto a cualquier semimartingala.
Existen muchas otras demostraciones que aplican métodos similares pero que evitan la necesidad de utilizar el teorema de descomposición de Doob-Meyer, como el uso de la variación cuadrática [ M ] en la isometría de Itô, el uso de la medida de Doléans para submartingalas o el uso de las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy en lugar de la isometría de Itô. Esta última se aplica directamente a las martingalas locales sin tener que tratar primero el caso de la martingala integrable al cuadrado.
Existen pruebas alternativas que solo hacen uso del hecho de que X es càdlàg, adaptado, y el conjunto { H · X t : | H | ≤ 1 es simplemente previsible} está acotado en probabilidad para cada tiempo t , lo que es una definición alternativa de que X es una semimartingala. Se puede utilizar una extensión lineal continua para construir la integral para todos los integrandos continuos por la izquierda y adaptados con límites por la derecha en todas partes (caglad o procesos L). Esto es lo suficientemente general como para poder aplicar técnicas como el lema de Itô (Protter 2004). Además, se puede utilizar una desigualdad de Khintchine para demostrar el teorema de convergencia dominada y extender la integral a integrandos predecibles generales (Bichteler 2002).
El cálculo de Itô se define, en primer lugar, como un cálculo integral, como se ha explicado anteriormente. Sin embargo, también existen diferentes nociones de "derivada" con respecto al movimiento browniano:
El cálculo de Malliavin proporciona una teoría de diferenciación para variables aleatorias definidas en el espacio de Wiener , incluida una fórmula de integración por partes (Nualart 2006).
El siguiente resultado permite expresar las martingalas como integrales de Itô: si M es una martingala integrable al cuadrado en un intervalo de tiempo [0, T ] con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano B , entonces existe un único proceso integrable al cuadrado adaptado en [0, T ] tal que casi con seguridad, y para todo t ∈ [0, T ] (Rogers & Williams 2000, Teorema 36.5). Este teorema de representación puede interpretarse formalmente como que α es la "derivada temporal" de M con respecto al movimiento browniano B , ya que α es precisamente el proceso que debe integrarse hasta el tiempo t para obtener M t − M 0 , como en el cálculo determinista.
En física, se utilizan habitualmente ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS), como las ecuaciones de Langevin , en lugar de integrales estocásticas. En este caso, una ecuación diferencial estocástica de Itô (EDS) suele formularse mediante donde es ruido blanco gaussiano con y se utiliza la convención de suma de Einstein .
Si es una función de x k , entonces se debe utilizar el lema de Itô :
Una SDE de Itô como la anterior también corresponde a una SDE de Stratonovich que se lee
Las ecuaciones diferenciales simples se presentan con frecuencia en física en forma de Stratonovich, como límites de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por ruido coloreado si el tiempo de correlación del término de ruido se acerca a cero. Para un tratamiento reciente de diferentes interpretaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, véase, por ejemplo, (Lau & Lubensky 2007).
![{\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f5fc2b9759e287913ded34591bc8a65aa692e4)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a265a323327ada269b8274f69f5cc32b2c5a7303)
![{\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868ff6012b1a0ebd76b097c5e19b5c8ded625075)
![{\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04788f464478e123f2dd76c5cf218b2f29e22d93)
![{\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09761dedcd41375c04fcb14ad694b7688f3e521f)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea7c20b63849c1e82be22d8a100a87e765fe6c1)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05344ceb54b8ff56400197d893d6bb9cfe8c4e33)
![{\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec16b391c724561cadb8e4f492b3773b532e864)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192977d677a2dbbbef8e53111d77e6a47ff62780)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68c94316bb6b4a630de8650583892efc2b3417c)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d12b0be0680cfb887788924b6a9a0e0d81dea21)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962b677f5ae8810c10b309a2f5296a8ede3dc52d)
