Teorema de probabilidad
En matemáticas , la desigualdad de Khintchine , que lleva el nombre de Aleksandr Khinchin y se escribe de múltiples formas en el alfabeto latino, es un teorema de probabilidad y también se utiliza con frecuencia en análisis . Heurísticamente, dice que si elegimos números complejos y los sumamos, cada uno de ellos multiplicado por un signo aleatorio , entonces el valor esperado del módulo de la suma , o el módulo al que estará más cercano en promedio, no estará muy lejos de .
![{\displaystyle x_{1},\dots,x_{N}\in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pm 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Declaración
Sean variables aleatorias iid con for , es decir, una secuencia con
distribución de Rademacher . Deja y deja . Entonces
![{\displaystyle P(\varepsilon _ {n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=1,\ldots,N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<p<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{p}\left(\sum _ {n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E } \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left (\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para algunas constantes que dependen únicamente de (consulte Valor esperado para notación). Haagerup encontró los valores agudos de las constantes (Ref. 2; consulte la Ref. 3 para una prueba más simple). Es una cuestión sencilla de ver cuándo y cuándo .![{\displaystyle A_{p},B_{p}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle A_ {p}, B_ {p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{p}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{p}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<p\leq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Haagerup descubrió que
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{p}&={\begin{casos}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2 }(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{casos }}\\&{\text{y}}\\B_{p}&={\begin{casos}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1) /2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y es la función Gamma . Cabe señalar en particular que coincide exactamente con los momentos de una distribución normal .![{\displaystyle p_{0}\aproximadamente 1,847}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle B_ {p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Usos en análisis
Los usos de esta desigualdad no se limitan a aplicaciones en la teoría de la probabilidad . Un ejemplo de su uso en análisis es el siguiente: si dejamos que sea un operador lineal entre dos espacios L p y , , con norma acotada , entonces se puede usar la desigualdad de Khintchine para demostrar que
![{\displaystyle L^{p}(X,\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{p}(Y,\nu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|T\|<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\|\left(\sum _ {n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{ p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1 /2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para alguna constante que depende solo de y . [ cita necesaria ]![{\displaystyle C_{p}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|T\|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalizaciones
Para el caso de las variables aleatorias de Rademacher , Pawel Hitczenko demostró [1] que la versión más nítida es:
![{\displaystyle A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _ {n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\ suma _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_ {n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_ {n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde , y y son constantes universales independientes de .![{\displaystyle b=\lfloor p\rfloor }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí suponemos que no son negativos ni crecientes.![{\displaystyle x_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Pawel Hitczenko, "Sobre la serie Rademacher". Probabilidad en espacios de Banach, 9 págs. 31-36. ISBN 978-1-4612-0253-0
- Thomas H. Wolff , "Conferencias sobre análisis armónicos". Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Serie de conferencias universitarias vol. 29, 2003. ISBN 0-8218-3449-5
- Uffe Haagerup, "Las mejores constantes de la desigualdad de Khintchine", Studia Math. 70 (1981), núm. 3, 231–283 (1982).
- Fedor Nazarov y Anatoliy Podkorytov, "Ball, Haagerup y funciones de distribución", Análisis complejo, operadores y temas relacionados, 247–267, Oper. Teoría Avanzada. Appl., 113, Birkhäuser, Basilea, 2000.